книги / Механика грунтов
..pdfПосле простейших тригонометрических преобразований ус ловие предельного равновесия для сыпучих грунтов можнс представить так:
1 — 81П ср |
(44>) |
|
1 -(- 31П ср |
||
|
||
или |
|
|
- ^ = *§2^45°+ -|-). |
(44й) |
|
Отношение главных напряжений — носит также |
название |
|
а1 |
|
коэффициента бокового давления, при этом знак минус соот ветствует а к т и в н о му , а знак плюс — п а с с и в н о м у давле нию грунта, что подробно будет рассмотрено в § 4 настоящей главы. При рассмотрении условий прочности сыпучих грунтов из двух знаков, стоящих перед ср/2, следует выбрать знак ми нус, так как этому случаю будет соответствовать наименьшее значение отношения главных напряжений, определяющее ве
личину |
максимального |
угла отклонения |
вмакс * |
|
|
аз= |
а! *82 (45° — ср/2); |
(44ш) |
|
|
оз = |
^ 1§2 (45° + <р/2). |
||
|
|
|||
Если |
ввести обозначение |
|
|
|
которое в статике сыпучей среды |
обычно называют х а р а к т е |
|||
р и с т и к о й н а п р я ж е н и я , то, |
используя |
формулу (44), лег |
ко получить следующие уравнения для определения главных напряжений грунта, находящегося в предельно напряженном состоянии:
<*1= |
а (1 + з!п ср); |
(441у) |
|
а3 = |
а(1 — з1п ср). |
||
|
Необходимо отметить, что угол наибольшего отклонения и условие предельного равновесия можно выразить через состав
ляющие напряжений |
и т. Поставив в формулу (84) |
||
известные выражения для главных напряжений |
И т, |
||
будем иметь |
|
|
|
81П е“4кс— (а, + аг)» |
' |
04*) |
|
|
|||
Приведенные выражения |
(44) —(44у ) |
имеют |
первостепен |
ное значение для установления условий прочности, устойчивости и давления грунтов на ограждения.
Для |
г р у н т о в с в я з ных, |
согласно рис. |
128,6 и форму |
|
ле (45), |
будем иметь следующее у с л о в и е |
п р е д е л ь н о г о |
||
р а в н о в е с и я |
|
|
|
|
|
а1 Ь °31- '2Рь |
■81П <р. |
(45) |
|
|
|
|
||
Откуда |
|
аГ+ а3 |
|
|
|
:2з1п 9 |
(451) |
||
|
|
|
+ Л . |
|
а так как давление связности [формула (43')] |
|
|||
|
Р = |
|
с |
|
|
------- , |
|
е
где с — сцепление связного грунта, или начальный параметр прямолинейной огибающей кругов предельных напряжений, то условие предельного равновесия для связных грунтов может быть представлено так:
т (°‘У ‘ + |
(45") |
\ 2 |
/ |
или |
а1—а3 |
1 |
|
соз ср |
(45ш ) |
2 |
|
Из уравнения (45й ) получаем выражение |
|
а1 — ^з= |
21^ 9 соз 9 а1+°3 •2ссоз9, |
тождественное с уравнением (45ш )
В отдельных случаях представляется удобным выразить ус ловие предельного равновесия через составляющие напряже
ний, которое для связных грунтов принимает |
следующий вид: |
|||
К ~ °гУ +- ^ уг |
:31п29. |
(451У) |
||
(ау + аг Т |
ср)2 |
|||
|
|
В практических приложениях, например при графическом решении задач теории предельного равновесия, иногда удобнее пользоваться кругом предельных напряжений. Напомним неко торые его свойства, известные из курса сопротивления мате риалов.
Как известно, координаты точек круга напряжений изобра жают нормальные и касательные напряжения, действующие по всем площадкам, которые могут быть проведены через задан ную точку. Так, например, для определения напряжений, дейст вующих на некоторую площадку, составляющую угол а с на правлением главной площадки (рис. 128,6), необходимо про вести радиус СМ, составляющий угол 2а с осью а. Тогда ор дината точки М будет равна касательному напряжению та ,
действующему на рассматриваемую площадку, а абсцисса — нормальному напряжению ав, действующему на ту же пло щадку, что можно легко доказать и чисто геометрическим путем.
В условиях предельного равновесия, как указывалось ранее, угол максимального отклонения будет равен углу внутреннего трения грунта, т. е. 0макс = <р.
Таким образом, предельная прямая ОЕ будет наклонена под углом внутреннего трения <р к оси нормальных напряжений.
Если соединить точку касания предельной прямой и круга напряжений с концом отрезка, изображающего главное напря жение а3 (точка А на рис. 128,6), то направление ЕА опреде лит направление площадки скольжения.
По рис. 128,6 находим
< ВСЕ = 2р = 90° + ?,
откуда
< Р = 45°Т
Таким образом, в условиях предельного равновесия площад ки скольжения будут наклонены под углом ±^45°-|--—^ к на
правлению площадки, на которую действует наибольшее глав ное напряжение, или, что то же самое, под углом ± ^45°— к
направлению большего главного напряжения о1.
Площадки скольжения в массиве грунта, находящегося в состоянии предельного равновесия, образуют два семейства не прерывных поверхностей, которые называются п о в е р х н о с т я ми с к о л ь ж е н и я .
Таким образом, круг предельных напряжений дает возмож ность определить площадки скольжения для любой заданной точки при любом направлении действующих усилий.
При увеличении напряжений состояние предельного равно весия распространяется на соседние точки массива, в резуль
тате чего |
образуется особая |
о б л а с т ь п р е д е л ь н о г о р а в |
н о в е с ия , |
характерная тем, |
что во всех точках этой области |
сдвигающие напряжения достигают предельного сопротивления сдвигу.
Дифференциальные уравнения предельного равновесия грунтов в общем случае напряженного состояния
П л о с к а я з а д а ч а . В общем случае дифференциальные уравнения равновесия при плоском напряженном состоянии в системе координат (у, г ), считая, что ось У наклонена к гори-
зснту |
под |
углом 8, могут |
быть |
представлены |
в следующем |
виде *: |
|
дву |
дт |
|
|
|
|
|
(А) |
||
|
|
+ |
^ = Т 8 Ш 8 ; |
||
|
|
~дг + ^ Г = Т С 0 5 § , |
(Б) |
||
|
|
|
|||
где |
о |
ау и туг — соответствующие компоненты напря |
|||
|
|
жения; |
вес грунта. |
|
|
|
|
Т — объемный |
выраженным |
||
У с л о в и е м п р е д е л ь н о г о |
р а в н о в е с и я , |
через составляющие напряжения, согласно формуле (45]/ ) бу дет
(ау — <*гУ+ |
(В) |
|
К + |
: 8 1 П 2 Ср. |
|
+ 2^ С1§ <Р)Э |
|
|
Таким образом, для определения трех составляющих напря |
||
жения в данной точке |
имеются три уравнения: |
(А), (Б), (В), |
т. е. задача и в общей постановке является статически опреде
лимой. |
н а п р я ж е н и й , |
принимая |
во внима |
|
Х а р а к т е р и с т и к а |
||||
ние выражение (44), будет равна |
|
|
|
|
__—°з |
|
|
(Г) |
|
|
2 |
2бШ ср |
' |
|
|
|
|||
Выразив составляющие напряжений ау, ог и ту< |
через глав |
|||
ные напряжения ах и е3 |
и подставив их в дифференциальные |
уравнения равновесия плоской задачи для случая горизонталь ной границы полуплоскости, Ф. Кеттер после преобразований получил следующие выражения для уравнений предельного равновесия:
|
С08 ср д$1 + |
2а 8Ш ср |
= г |
81П (р + ср): |
||
|
|
да |
о . |
д? |
(85) |
|
|
|
Т С08 р. |
||||
|
С08 ср--------2а 81П ср — = |
|||||
Здесь |
— |
дз2 |
|
д$2 |
|
|
— частная производная по направлению линий |
||||||
-22- |
||||||
|
дзх |
скольжения |
первого |
семейства; |
||
|
да |
|||||
|
— то же, второго семейства; |
|||||
|
---- |
Р— угол, образуемый направлением линий сколь жения первого семейства с осью У (рис. 129);
5! и $2— элементы длины дуг линий скольжения.
1 Б. Н. Ж ем о ч к и н . Теория упругости. Краткий курс для инженеровстроителей. Госстройиздат, 1948.
|
В дальнейшем |
была |
по |
|
|||||
ставлена проблема |
решения |
|
|||||||
уравнений |
Кеттера |
|
совмест |
|
|||||
но |
с |
условиями предельно |
|
||||||
го |
равновесия |
для |
некото |
|
|||||
рых |
задач |
теории |
предель |
|
|||||
ного |
напряженного |
состоя |
|
||||||
ния |
грунтов. |
составляющие |
|
||||||
|
Выразим |
|
|||||||
напряжений для случая пло |
|
||||||||
ской задачи теории предель |
|
||||||||
ного равновесия грунтов че |
|
||||||||
рез |
|
характеристику |
напря |
|
|||||
жений а и угол а, составля |
|
||||||||
емый направлением |
наи |
|
|||||||
большего |
главного |
напря |
Рис. 129. Схема линий скольжения в |
||||||
жения а1 с горизонтальной |
|||||||||
случае плоской задачи |
|||||||||
осью У. На рис. 129 показа |
|
||||||||
ны |
|
два |
семейства |
линий |
|
скольжения, возникающих в линейно-деформируемом массиве грунта, находящемся в условиях предельного напряженного со стояния, причем в условиях плоской задачи оба семейства ли ний скольжения наклонены под углом (45°—9/2) к направлению большего главного напряжения а
Для составляющих напряжении |
имеем |
следующие выра- |
||
жения: |
с(1 4- 31П9 соз 2«) —СС^ср; |
|
||
= |
|
|||
аг = |
а(1 — зШ 9 соз 2а) — с |
9; |
(Д) |
|
ъуг = |
— а з1п 9 З1п 2а . |
|
|
|
|
|
|
||
Подставив в дифференциальные |
уравнения равновесия (А) |
и (Б) выражения составляющих напряжений (Д), тождествен но удовлетворяющие условию предельного равновесия [выраже
ние |
(В)], |
получим о с н о в н у ю |
с и с т е м у у р а в н е н и й пл о |
|||
с к о г о п р е д е л ь н о г о р а в н о в е с и я г р у н т о в 1: |
||||||
|
|
(1 51П 9 Соз 2а) -у- 4- з т 9 зШ 2а дг — |
||||
|
|
— 2аз1п9 ^з1п2а |
—соз 2а |
= |
у з1п 8; |
|
|
|
|
|
|
|
(86) |
|
|
з!п 9 зш 2а — + |
(1 |
31П 9 соз 2а) — 4- |
||
|
|
ду |
|
|
|
дг |
|
|
4- 2а 31П 9 (соз2а — 4- з т 2а — |
|
— у соз 8. |
||
1 |
|
\ |
ду |
дх |
|
|
В. В. |
С о к о л о в с к и й . |
Статика сыпучей |
среды, азд. 3, Физматгиз, |
Дифференциальные уравнения (86) имеют два семейства характеристик и принадлежат к г и п е р б о л и ч е с к о м у типу, разработка решений которых на базе канонических уравнений акад. С. А. Христиановича позволила проф. В. В. Соколовскому получить общее решение плоской задачи теории предельного равновесия и обобщение на случай криволинейной зависимости между сопротивлением сдвигу и нормальным давлением 1. Кро ме того, В. В. Соколовским поставлена и разрешена новая за дача теории предельного равновесия — задача о предельно устойчивой форме откосов, получен ряд новых строгих решений о несущей способности оснований, устойчивости откосов, дав лении грунтов на подпорные стенки, равновесии весомого кли на и разработан общий метод численного интегрирования урав нений предельного равновесия, с успехом примененный в рабо те проф. В. А. Флорина2. Графическое решение ряда задач тео рии предельного равновесия на основе использования геомет рических зависимостей дано проф. С. С. Голушкевичем3. Не которые решения пространственной осесимметричной задачи теории предельного равновесия получены проф. В. Г. Березанцевым4.
П р о с т р а н с т в е н н а я з а д а ч а . Для пространственной задачи при наличии осевой симметрии необходимо воспользо ваться цилиндрической системой координат.
Положительные направления координатных осей и состав ляющих напряжений показаны на рис. 130. Вследствие осевой симметрии (ось симметрии 2) касательные напряжения по ме ридиональным плоскостям отсутствуют (тг&=т$г==0;, поэто му напряженное состояние в данной точке определяется че
тырьмя составляющими напряжений |
сг, |
а, и %гг. Усло |
|
вие |
тг$="#г=0 показывает, что |
аъ является главным на |
пряжением. Сохраняя для главных напряжений в меридиональ
ных плоскостях обозначения |
<у и а3, |
будем считать |
|
а(/= а 2. |
|||||||||
Кроме |
того, |
с1 > с2> д3. |
Д л я случая пространственной з а |
||||||||||
дачи, |
помимо |
условия предельного равновесия |
(45), |
имеется |
|||||||||
условие того же вида, связывающее |
и <з3 или а2 и а3, т. е* |
||||||||||||
1 В. |
В. С о к о л о в с к и й . |
Статика „сыпучей |
среды. Изд-во АН СССР, |
||||||||||
1942, |
Е г о |
ж е. |
Плоское |
предельное |
равновесие горных |
пород. |
Известия |
||||||
АН СССР. |
ОТН, № |
9, |
1948. |
|
|
|
Госстройиздат, |
т. II, |
|||||
2 |
В |
А. |
Ф л о р и н . |
Основы механики грунтов. |
|||||||||
1961. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
С. |
С. Г о л у ш к е в и ч . |
Плоская задача |
теории |
предельного |
равно |
|||||||
весия |
сыпучей |
среды. |
Гостехиздат, |
1948. |
|
|
|
|
|
||||
4 |
В. Г. Б е р е з а н ц е в . Предельное состояние среды |
при напряженном |
состоянии, симметричном относительно оси. Прикладная математика и ме ханика, т. XII, № 1, 1948.
Применение |
этих |
уравнений |
од |
|
|
||
новременно с (45"') дает равенство |
|
|
|||||
двух главных напряжений: в первом |
|
|
|||||
случае о2= о 3 — деформация направ |
|
|
|||||
лена от оси 2, во втором случае с2=- |
|
|
|||||
=<з1— деформация |
направлена |
к |
|
|
|||
оси 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Для решения задачи в данном |
|
|
|||||
случае имеются |
четыре |
уравнения: |
|
|
|||
условие |
предельного |
равновесия |
|
|
|||
(45ш), |
одно из |
условий |
(а) и два |
|
'2 |
||
дифференциальных |
уравнения рав |
|
|||||
новесия: |
|
|
|
|
(б) |
|
|
даг |
+ — |
+ |
'а |
|
Рис. |
130. Схема напряже |
|
= 0; |
ний |
в случае осесимметрич |
|||||
дг |
г)?. |
' |
|
|
|
ной |
пространственной зада |
дг |
дг |
г = 7- |
(в) |
|
чи |
||
дт,гг |
|
|
|
|
|
|
|
В плоскости гг так же, как и в случае плоской задачи, будут два семейства линий скольжения, касательные к которым в
каждой точке составляют с направлением о2 угол |
)• |
|
Сохраняя в этой плоскости обозначения, принятые выше в пло скости 2У (см. рис. 129), получим для з и (3 следующие два дифференциальных, уравнения предельного равновесия:
да |
о , |
да . |
|
дР |
л , |
дЗ |
о |
+ |
[--- С05 р-|--------81П |
+ 2 а <р — соз рЧ-----з1п р |
|||||||
дг |
|
дг |
|
дг |
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ — [51п(Р + <р) (± ) сое Р |
1 |
|
т —п^+ ,?). |
|||||
|
Г |
|
|
СОЗ <р |
|
|
СОЗ<р |
|
|
(Р + |
О - ^ |
С05(р + |
?) —2а |
9 |
■^•81п (?+ ?)- |
||
|
|
|
|
|
|
дг |
|
|
— |
С 0 5 (Р + сР )|+ (± )-^-181п (Р+ ср)(±)С05 Р] |
<рх |
||||||
|
|
X 1(+ )з1п у _ |
_ у со8 Р |
|
|
|
СОЗ ср |
СОЗ <р |
Здесь (3представляет собой угол между касательной к линии скольжения первого семейства и осью Ог. Составляющие на пряжений определяются через а и (3 выражениями:
аг= |
а [1 + з1п ср 8Ш (2(3 + |
<р)1 — с |
<р;' |
|
о, = |
с[1 — з!п <р81П(2 ? + |
ср)] — С |
<р; |
, , |
тгг= |
— а 81П ср ео з;(2 (3 + ср); |
|
|
|
Ч = |
а [1 ( +) 5*п<р] — с с!§ ср. |
|
|
Знаки в скобках соответствуют уравнениям для случая на правления деформации грунта к оси 2. Приведенные уравнения для осесимметричной задачи получены В. Г. Березанцевым *.
§ 2. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ГРУНТОВ
Как было рассмотрено в предыдущем параграфе, характер
ными |
нагрузками при изучении |
п р о ч н о с т и г р у н т о в |
яв |
ляются: |
н а ч а л у возникновения |
пло |
|
1) |
нагрузка, соответствующая |
щадок сдвигов, т. е. площадок, для которых касательные и
нормальные |
напряжения |
связаны у с л о в и е м п р е д е л ь н о г о |
|||
равновесия, |
или, |
что то |
же самое, соответствующая о к о н ч а |
||
нию |
фазы у п л о т н е н и я и началу фазы |
развития значитель |
|||
ных |
сдвигов; |
при которой возникают |
значительные сдвиги |
||
2) |
нагрузка, |
масс грунта, что, как указывалось ранее, соответствует п о л н о
му |
р а з в и т и ю областей п р е д е л ь н о г о |
р а в н о в е с и я и, |
как |
правило, о к о н ч а н и ю формирования |
уплотненного ядра |
и п о л н о м у и с п о л ь з о в а н и ю н е с у щ е й с п о с о б н о с т и
г рунт а . |
п е р в о й нагрузки назовем н а ч а л ь н о й к ри |
Величину |
|
т и ч е с к о й |
нагрузкой, которая еще совершенно безопасна для |
сооружений, |
так как до ее достижения грунт всегда будет на |
ходиться в ф а з е у п л о т н е н и я , хотя и могут быть некоторые внутриобъемные сдвиги между отдельными частицами грунта.
Величину в т о р о й критической нагрузки, при которой в грунте возникают сплошные области предельного напряженного
состояния и и с ч е р п ы в а е т с я |
н е с у щ а я |
с п о с о б н о с т ь |
грунта, назовем п р е д е л ь н о й |
критической |
нагрузкой. |
Определение величины первой и второй |
критических нагру |
зок будет рассмотрено ниже на основе применения теории пре дельного равновесия, причем при определении предельной на грузки будет обращено внимание как на задачи, относящиеся1
1 В. Г. |
Б е р е з а н ц е в . Осесимметричная задача теории предельного |
равновесия |
сыпучей среды. Гостехиздат, 1953. |
к действию нагрузки на |
поверхности грунта в случае плос |
кой и пространственной |
задач), так и на величину ее |
при заглубленных фундаментах. В последнем случае не полу чено строгих решений вследствие чрезвычайной сложности за дачи, но предложены такие инженерные приближенные методы решения, которые дают величины предельной нагрузки, с доста точной для практических целей точностью близкие к получае мым экспериментально. Более же строгое решение подобных задач возможно лишь на базе решений смешанной задачи тео рии предельного равновесия и теории линейно-деформируемых гел 1.
Начальная критическая нагрузка на грунт
Пусть нагрузка, равномерно распределенная по полосе ши риной Ь, расположена на глубине к от поверхности грунта и имеет интенсивность р (рис. 131). Боковую пригрузку от веса
грунта |
выше |
плоскос |
|
|
|
|
||||
ти |
приложения |
поло |
|
|
|
|
||||
совой |
нагрузки |
заме |
|
|
|
|
||||
няем |
действием |
спло |
“7777 ПИШИ! |
пхнш п |
||||||
шной |
равномерно |
|
рас |
|||||||
пределенной |
нагрузки |
|
|
|
|
|||||
интенсивностью |
|
д/г, |
|
|
|
|
||||
где у — объемный вес |
|
|
|
|
||||||
грунта и к — глубина |
|
|
|
|
||||||
приложения |
полосовой |
|
|
|
|
|||||
нагрузки |
(глубина |
за |
|
|
|
|
||||
ложения |
фундамента). |
|
|
|
|
|||||
|
Вертикальные |
|
нап |
|
|
|
|
|||
ряжения |
от |
действия |
|
|
|
|
||||
собственного веса грун |
Рис. |
131. |
Схема действия |
полосообразной |
||||||
та |
при горизонтальной |
|||||||||
ограничивающей |
|
пло |
|
|
■нагрузки |
|
||||
скости равны: |
|
|
в1гр = |
Т(Л + 2), |
|
|||||
где 2 — глубина |
|
|
|
|||||||
расположения |
рассматриваемой точки ниже |
|||||||||
|
|
плоскости |
приложения |
нагрузки. |
|
|||||
|
Горизонтальные напряжения от действия собственного веса |
|||||||||
грунта |
равны: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
а3гр |
^а 1гр> |
|
|
где |
$ — коэффициент |
бокового |
давления.1 |
|
1 |
См. М. И. |
Г о р б у н о в-П о с а д о .в. Устойчивость фундаментов на |
песчаном |
основании. |
Госстройиздат, 1962. |
Так как состояние предельного равновесия грунтов соответ ствует пластическому состоянию твердых тел, при котором из менения формы происходят без изменения объема тела (т. е. когда коэффициент бокового расширения р. =0,5, а следова
тельно, 6= —^— = |
1 ), то и для грунтов в состоянии их пре- |
1 — ^ |
/ |
дельного равновесия с достаточной для практических целей точ
ностью |
можно допустить |
6= 1, т. е. |
|
|
°8гр = |
а1гр = |
Т(А + 2), |
где |
и с*3 — наибольшее и |
наименьшее главные напря |
|
|
жения. |
|
|
Величину главных напряжений в любой точке определим, используя формулу (71) с добавлением напряжений от собст
венного веса |
грунта: |
|
|
|
®1 = |
(2? + 81п 2?) + у {к Л |
г); |
|
ТС |
|
|
|
п-чь. |
|
(а) |
|
о3 = -— — (2,3 — 51п 2?) 4- у (к + |
г), |
|
|
% |
|
|
где 2(3— угол |
видимости |
(рис. 131). |
|
Интенсивность внешней полосообразной нагрузки р умень шена на величину 7к, так как на уровне подошвы фундамента собственный вес грунта учитывается как сплошная нагрузка.
Если в условие предельного равновесия (451 ) подставить значения выражений (а), то получим следующее уравнение:
-— — 81п 2р — з!п ф №— |
2^ 7Л -{- -ргА = |
с соз ф. |
|
||
Решим это уравнение относительно г: |
|
|
|
||
г = Р = т Ь ( * Ш 1 |
- |
2 р )---- ^ |
- |
к . |
(б ) |
7С7 \ 51П |
ср |
/ |
7 |
«Р |
|
Полученное выражение представляет собой уравнение гра ничной линии области предельного равновесия. Определим мак симальную ординату граничной линии, для чего возьмем пер вую производную от выражения (б) по (3 и приравняем ее нулю
й г __р — 7 /г С 0 5 2 3 тс7 . 81П<р
откуда
СОЗ 2(3= 81П ср или 2(3= — — <р.