книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Составим функциональный определитель системы (16.1.17):

дЧ>н дУй

Отсюда следует

det

ЭГ

В силу того, что функциональный определитель системы (16.1.17) отличен от нуля, согласно теореме существования и един­ ственности неявных функций в окрестности построенного решения Vv V2, ...» Vn системы (16.1.14), (16.1.15) функции V{, ..., Vn, как

и матрица А, непрерывны и имеют непрерывные производные по t [163].■

Поскольку эрмитову матрицу с помощью унитарного преобразо­ вания можно привести к вещественной диагональной матрице, можно сформулировать следующую теорему о скелетном разложе­ нии эрмитовой матрицы.

Т ео р е м а 16.1.1 (о скелетном разложении эрмитовой матри­ цы). Положительно-определенная эрмитова матрица А, собст­

где Н — (A, h2 ... hn) — квадратная матрица, все столбцы кото­ рой имеют одну и ту же эрмитову норму а. При этом

2е. rank Я = rank А.

3°. Если A(t) — непрерывная и непрерывно-дифференцируемая на [0, L) матрица, то H(t) также является на этом промежут­ ке непрерывной и непрерывно-дифференцируемой матрицей.

§ 16.2. Общие теоремы о /^-устойчивости и /^-неустойчивости

Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения, пред­ ставленную в виде

/0 С [0, оо), D = {*: ||*|| < d}. Отметим, что на функцию f(t, х) не накладывается условие / ( i , 0 ) s 0 .

Т е о р е м а 16.2.1 (об устойчивости). Если существует положи­

здесь и далее подразумевается взятой в силу уравнения (16:2.1)), то невозмущенное движение (система (16.2.1)) устойчиво на

1*о» ^*) <*д — устойчиво).

Д о к а з а т е л ь с т в о . На основании теоремы (16.1.1) (о скелет­ ном разложении эрмитовой матрицы) матрицу А формы V(i, х) мож­ но представить в виде

где Я — квадратная матрица, столбцы которой hv h2, ..., hn имеют одну и ту же эрмитову норму

В соответствии с условием 1* теоремы мы из соотношения (16.2.3) получаем при t = t0

(С0 С5)-‘ = [я((0)н-(г0) ] '‘-

Отсюда GQGQ= Я(?0)Я*(<0) и, значит,

Далее, на основании того же условия Г теоремы имеем, учиты­ вая, что A(t) — эрмитова матрица, A~x(t) = C?0G£. Отсюда, учиты­ вая, что G0 — матрица класса Кдо, находим

принадлежит классу К%. Действительно, эрмитова норма, напри­ мер, столбца Gj матрицы G согласно (16.2.7) равна

При / = /0 в силу (16.2.5) и (16.2.6) имеем

^с ('о) = Со-

Пусть х°(Г) — какое-нибудь решение уравнения (16.2.1), удов­ летворяющее условию

(G-‘(l0)x’(l0),G-'(t0)ж-('о)) « Р2.

Вдоль этого решения в силу условия 3’ теоремы К(/,лг°(/)) V(t0, x°(t0)). Поэтому, учитывая еще условие 2° тео­

ремы, имеем

« Г Ч 0 * Ч 0 . о - ‘ ( 0 * Ч 0 ) = ( ^ =

ние матрицы А"А при t = f,);

3". dVldt > 0 при I Е [*0, f j u Vx 6 Д то система (16.2.1) не­ устойчива на интервале [*0, Т).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим!, напротив, что система (16.2.1) при выполнении условий теоремы устойчива и, значит, существует

Пусть x°(t) — решение системы (16.2.1), удовлетворяющее ус­ ловию

(<Г‘ (<о)*Ч<„). G - '( 0 ^ ( 'o ) ) = p2'

В силу условия 1° теоремы имеем V(t0, х°(/0)) = р2, а из условия 3е следует неравенство

Пусть vmax(/j) — максимальное собственное значение матрицы

(7*(*j)G(/j). Имеет место неравенство vmax < 2оо2. Отсюда, прини­ мая во внимание условие 2° теоремы, находим |Ат|П(^) > vmax(^).

В силу последнего неравенства имеет место следующая цепочка

что противоречит условию (16.2.9). Значит, исходная предпосылка неверна и система (16.2.1) неустойчива. Теорема доказана. ■

Имеет место более сильная Т е о р е м а 16.2.3 (о неустойчивости). Если существуют поло­

жительно-определенная эрмитова форма V(t, х) = x*A(t)x и мо­ мент времени il Е [/0, Т) такие, что

Г. Л(*0) = (<V )’<V (G0 — заданная постоянная матрица класса Кд°);

2”. i S p / r ‘((,)>wI(rl);

устойчива на заданном интервале [/0, Т).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем сначала, что все решения урав­ нения (16.2.1). удовлетворяющие условию

удовлетворяют условию

*(*о)) = Х*(1о) AUo)x(t0) ^ р2.

Допустим, напротив, что имеется решение x°(t), не обладающее таким свойством. Тогда по непрерывности существует такой мо­ мент времени т:/0 < т < /,, что

В частности, К(/0, x°(f0)) > р2, но это противоречит неравенству

V(tQf x°(t))<V(xyx \ t 0))= р2,

которое следует из условия 3е теоремы.

Предположим теперь, что вопреки утверждению теоремы суще­ ствует такая матрица (7(0 класса К%у что все решения x(t), удов­ летворяющие условию

(G-'(tQ)x(tQ), G-l(t0)x(t0)) < р2,

удовлетворяют на [t0>Т) условию ((/"‘(О*» С7-1(/)лс) < р2. Введем в рассмотрение следующие множества:

где Vx и V2 — положительно-определенные эрмитовы формы с

матрицами А1 и А2 соответственно. Если Sp Л]"1> Sp Л21, то

(/Д(£/, П U2) — непустое множество.

где Я, = (А^ ••• А^>) — квадратная матрица, все столбцы которой имеют одну и ту же норму:

Н2 = (Ар> h^P) — квадратная матрица, все столбцы которой имеют одинаковую эрмитову норму, равную

В ходе доказательства теоремы 16.1.1 о скелетном разложении эрмитовой матрицы было доказано, что столбцами матрицы Я в разложениях (16.2.11) и (16.2.12) служат некоторые векторы (столбцовые матрицы), коллинеарные столбцовым матрицам фигурирующим в соотношении (16.1.14). Следователь­

(16.2.14) связаны друг с другом соотношением

(16.2.15)

В силу разложений (16.2.11) и (16.2.12) множества Ux и U2 пред­

ставляют соответственно множества точек, удовлетворяющих нера­ венства

(H2l(t)x, H2l(t)x)**pz. (16.2.17)

Для доказательства леммы достаточно доказать, что каждое ре­ шение х, удовлетворяющее неравенству (16.2.17), удовлетворяет и неравенству (16.2.16), в то время как имеются такие решения, для которых выполняется только неравенство (16.2.16). В силу (16.2.15)

°1 где к = — > 1, так как в соответствии с условием леммы а, > ст2.

Пусть в выделенный выше момент времени t2 точка х° удовлетво­ рит соотношению (16.2.17), т.е.

Луч h ^ s пересекает эллипсоид V,(r, x) = p2 при значении па­ раметра s = p и при этом точка пересечения находится от начала координат на расстоянии а,р. Луч fi\2h пересекает второй эллипсо­

ид V2(t, х) = р2 при s = р, а точка пересечения отстоит от начала координат на расстояние а2р.

Последние рассуждения свидетельствуют о том, что: 1) U{ П U2 — U2 , 2) Ux=*=Uv Но выполнение соотношений (1) и

(2) показывает, что Ux\ u t П U2 — непустое множество. Лемма до­

казана. ■ Вернемся к доказательству теоремы. В соответствии с принятым

предположением (об устойчивости системы) LlH(tx) С LfG(<j). Но это невозможно, так как в силу условия 2° теоремы множество

и, значит,

Но, с другой стороны, согласно лемме 16.2.1 при выполнении усло­

Полученное противоречие свидетельствует о неверности принятого предположения об устойчивости системы в условиях теоремы. Тем самым теорема доказана. ■

ГЛАВА 17

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

В настоящей главе показываются некоторые пути построения функций V(t, х), удовлетворяющих условиям устойчивости и не­ устойчивости приведенных в предыдущей главе теорем.

§ 17.1. Диагонализация линейной системы

Условия существования преобразования линейной системы к ди­ агональному виду и структура этого преобразования определяются следующей теоремой.

Т е о р е м а 17.1.1. Пусть P(t) — квадратная матрица порядка п, непрерывная на [/0, Т). Тогда преобразование

с невырожденной и дифференцируемой на [/0, Т) матрицей К пе­ реводит векторно-матричное уравнение

в уравнение

с диагональной и непрерывной на [f0, Т) матрицей Л тогда и только тогда, когда

где х — единственное решение матричного уравнения

% = РХ, *((„) = Е,

С — постоянная вырожденная матрица порядка п, a Z(t) — не­ прерывно-дифференцируемая и невырожденная на [/0, Т) диаго­ нальная матрица порядка п. ■

Из всего множества матриц К, определенных равенством (17.1.4), можно выделить подмножество тех, столбцы которых име­ ют наперед заданную эрмитову норму

\\Ка\\ =а(0> (ст= 1, 2,..., п),

где а(1) — заданная непрерывно-дифференцируемая положитель­ ная функция.

Доказательство этой теоремы легко получить из более общей теоремы о преобразовании линейной системы к другой с наперед заданной матрицей (теорема 12.2.2).

§ 17.2. Пучок решений линейной системы. Условия устойчивости линейной системы

Пусть G0 — заданная матрица класса К%о. Совокупность всех

решений линейной системы (17.1.2), берущих начало внутри и на поверхности эллипсоида

где А0 = (GQ*)*GQ', образует некоторый «пучок» решений. Поверх­ ность этого пучка представляется уравнением

где A(t) — решение матричного дифференциального уравнения

Матрица А(1) является эрмитовой и все ее собственные значения положительны. На основании теоремы о скелетном разложении эр­ митовой матрицы матрица A(t) представима в виде

где H(t) — квадратная матрица, все столбцы A,, h2, ...» hn которой имеют одинаковую эрмитову норму

о(0 - V ±Sp.4-40.

Пусть преобразование

приводит (17.1.2) к диагональному виду