книги / Теория функций комплексной переменной

ПР И Л О Ж Е Н И Е 4

МЕТО Д ВАТСОНА

Метод Ватсона применяется главным образом при суммиро­ вании и асимптотическом анализе рядов. Первоначально этот метод был предложен Г.Н. Ватсоном в 1919 г. при исследовании задачи о дифракции радиоволн на сфере. Методом разделения переменных легко получить аналитическое представление реше­ ния этой задачи в виде ряда по собственным функциям. Однако при длине падающей волны, многим меньшей радиуса сферы, что имеет место, например, в задачах о дифракции радиоволн на поверхности Земли, полученный ряд сходится чрезвычайно мед­ ленно. Ватсону удалось разработать метод, позволяющий пре­ образовать этот медленно сходящийся ряд в другой ряд, сходя­ щийся достаточно быстро. Этот метод и получил впоследствии название метода Ватсона.

Основная идея метода Ватсона необычайно проста и основы­ вается на том факте, что при вычислении интеграла по комп­ лексной переменной с помощью теории вычетов можно, различ­ ным образом замыкая контур интегрирования, получать пред­ ставление исходного интеграла в виде различных рядов. Однако, несмотря на простоту основной идеи метода Ватсона, его реали­ зация во многих конкретных случаях требует большого искус­ ства.

Проиллюстрируем основные положения метода Ватсона на

достаточно простых примерах1). Пусть требуется просуммиро­ вать ряд

ОО

w

п=—ОО

где а — некоторое положительное число.

х) Приведенные ниже примеры применения метода Ватсона были пред­ ложены С. Я. С е к е р ж-3 е н ь к о в и ч е м , которому авторы приносят искреннюю благодарность.

Заметим, что при а 1 численное суммирование ряда (1 ) с высокой точностью представляет собой не совсем тривиальную задачу.

Рассмотрим вспомогательный интеграл

с + + с -

где интегрирование производится на комплексной плоскости v по прямым С+ я С~, параллельным действительной оси и от­ стоящим от нее на расстоянии d в верхней и нижней полуплос­ костях, причем d < а (рис. 1). По прямой С+ интегрирование

Рис. 1

ведется справа налево, а по прямой С~ — в противоположном направлении. Несобственный интеграл (2) является абсолютно сходящимся. Действительно, имеет место очевидная оценка

-inи

Аналогичная оценка имеет место и при Im и = —d. Итак вто­ рой сомножитель в подынтегральной функции (2) ограничен, а

первый стремится к нулю, как 1 / И 2, что и обеспечивает абсо­ лютную сходимость интеграла (2).

Покажем, что интеграл (2) равен сумме исходного ряда (1). Построим вспомогательный интеграл

rv

ной контуром Г дг, подынтегральная функция (4) имеет полюсы

первого порядка в точках щ = к (к = 0, ± 1 , , ±N). Поэтому, вычисляя интеграл (4) с помощью теории вычетов, получим

интегралу (2). Действительно, в силу абсолютной сходимости несобственного интеграла (2) имеем

а интегралы по прямым 7 дг и 7 дг стремятся к нулю при N -ь оо, что легко установить на основании оценки

п= —оо

иисходная задача суммирования ряда (1 ) сводится к вычис­ лению интеграла (2). Последняя задача может быть решена

опять с помощью теории вычетов. Заметим, что подынтеграль­ ная функция в (2), кроме особых точек на действительной оси, имеет еще два полюса в точках v — ±ia. Для вычисления ин­ теграла по прямой £ + рассмотрим в верхней полуплоскости за­

его дуги полуокружности C'N. Легко видеть, что при Im и ^ d имеет место оценка, аналогичная (3)

откуда следует, что интеграл по дуге C'N стремится к нулю при N —Уоо. Поэтому, вычисляя интеграл по прямой С+ с помощью теории вычетов, получим

Аналогично

что и решает исходную задачу суммирования ряда (1 ). Рассмотренный пример, несмотря на его простоту, содержит

все основные элементы метода Ватсона. Этот метод асимпто­ тического исследования рядов состоит из ряда этапов. На пер­ вом этапе надо построить интеграл по комплексной переменной, равный сумме исходного ряда. Подынтегральная функция этого интеграла должна содержать множителем аналитическое про­ должение общего члена ряда в комплексную плоскость его но­ мера. Следующий этап заключается в независимом вычислении построенного интеграла. Во многих случаях удается получить выражение искомого интеграла через сумму вычетов подынте­ гральной функции в особых точках аналитического продолже­ ния общего члена ряда. Если число таких особых точек конечно, то мы получаем явное выражение для суммы исходного ряда, ес­ ли число этих особых точек бесконечно, то мы преобразуем ис­ ходный ряд в новый, который может оказаться более простым для асимптотического исследования.

В качестве следующего примера рассмотрим задачу вычис­ ления ряда

ОО

где 0 ^ 0 < 7г, а a — заданное положительное число, удовлетво­

ряющее условию а<С 1. Ряд (13) является типичным для многих задач математической физики, решение которых строится мето­ дом разделения переменных. Как легко видеть, в силу условия а <&1 большое число первых членов ряда имеет один и тот же

порядок (например, при а = 10 “ 4и в = 0 первые 1000 членов ря­ да по абсолютной величине изменяются от 1 до 0,995). Поэтому прямое численное суммирование ряда (13) при а<С 1 оказывает­ ся весьма затруднительным. Однако, применяя метод Ватсона, можно преобразовать ряд (13) в новый ряд, для которого легко

п

где контур интегрирования П на комплексной плоскости и пред­ ставляет собой бесконечную петлю, охватывающую положитель­ ную часть действительной оси (рис. 2) и пересекающую действи-

Рис. 2

тельную ось в точке и = 1/2. Интегрирование по контуру П про­ изводится в положительном направлении так, что действитель­ ная ось остается слева от направления движения. Легко видеть, что интеграл (14) равен исходному ряду (13). Действительно, рассмотрим интеграл

п„

В силу (28) и (31) заключаем, что функция f{v) на отрезке ИзЛ4 экспоненциально стремится к нулю при га —> оо и 0 < 7Г.

Переходя в (25) к пределу при n , m —> о о и р - > 0 и учтя (24) и (15), получим в силу приведенных оценок

ОО

струю сходимость ряда (35) при в < п. При достаточно малом а для практических расчетов можно ограничиться лишь первыми членами этого ряда.

Следует подчеркнуть, что конкретные применения метода Ватсона в каждом отдельном случае могут быть различными — по-разному можно строить интеграл, эквивалентный исходному ряду, различными способами можно проводить его вычисление. Наиболее эффективный путь реализации метода в каждом кон­ кретном случае должен выбираться, исходя из специфики ис­ следуемого ряда.