Данный метод находит широкое применение при решении некоторых интегральных уравнений и различных краевых за дач математической физики с помощью интегральных преоб разований Лапласа, Фурье и ряда других. Первоначально этот метод был применен в совместной работе Н. Винера и Э. Хопфа (1931 г.) к решению интегральных уравнений с ядром, завися щим от разности аргументов, в случае полубесконечного проме жутка
ОО
и(х) = A J v(x —s)u(s) ds + f{x).
о
Вдальнейшем уравнения подобного вида рассматривались
В.А. Фокомх), внесшим большой вклад в развитие общих мето дов их решения.
Общий метод решения функциональных уравнений, полу чивший название метода Винера-Хопфа или метода фактори зации, был с успехом использован при решении многих задач дифракции и теории упругости, краевых задач для уравнения теплопроводности, интегральных уравнений теории переноса из лучения (так называемая проблема Милна) и многих других за
дач математической физики12). Не ставя своей целью строгое математическое обоснование метода Винера-Хопфа, мы изло жим его основную идею на примерах решения ряда практически важных задач.
1 . Вводны е замечания. Начнем с наводящих соображений, иллюстрирующих применение методов интегральных преобра
1) В. А. Фок. О некоторых интегральных уравнениях математической физики// Матем. сборник. 1944. Т. 14. С. 1.
2) Вольшое количество примеров применения метода Винера-Хопфа мож но найти в книге Б. Нобла, где приведена достаточно подробная библио графия. (Б. Н о б л . Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных — М. : ИЛ, 1962.)
282
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
зований при решении интегральных уравнений. Рассмотрим ин тегральное уравнение вида
ОО
и(ж) = A J v(x —s)u(s) ds + f(x)
(1)
—ОО
сядром v(x —s), зависящим от разности аргументов. Мы не будем здесь исследовать условий разрешимости этого уравнения и проводить обоснование методов его решения, а лишь укажем, что для действительных значений Л при выполнении условий
ОО
ОО
J \f(x)\*2dx < А,
A J \v(t)\dt<lj
(2)
— ОО
— ОО
где А — произвольное фиксированное число, уравнение (1) име
ет единственное решение1) и(х), интегрируемое с квадратом в бесконечном промежутке
ОО
J
\и(х)\2 dx < 00.
(3)
— ОО
Будем считать, что существуют преобразования
Ф урье2)
всех функций, входящих в уравнение (1):
ОО
U(к) =
V27T
f
u(x)etkxdx,
(4 )
J
—00
00
у {к) =
f
v(t)etkt dt,
(5 )
—00
00
F(fc) =
- | =
/
f(x)eikxdx.
(6 )
— ОО
Тогда, умножив (1) на —==егкхи проинтегрировав по бесконеч-
x) Подробно этот вопрос изложен, например, в кн.: В. Т и т ч м а р ш . Введение в теорию интегралов Фурье. — М. : Гостехиздат, 1948.
2) Определение преобразования Фурье и его основные свойства см. в вып. 2.
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА
283
Изменив в последнем слагаемом порядок интегрирования, пред ставим этот интеграл в виде
СЮ
00
1 (к) = -д= J
u(s)ds J etkxv(x — s) dx.
(8)
—oo
—сю
Сделаем замену переменной интегрирования, положив x —s = t. Тогда в силу (4) и (5)
оо
оо
/ ( & ) = *
Г u(s)eikads Г v(t)eikt dt = \V 2 ^U(k)V(k). (9)
\/27Г
J
J
—oo
—oo
Формула (9) фактически означает, что в случае преобразова ния Фурье справедлива формула преобразования свертки, полу ченная нами для одностороннего преобразования Лапласа (см. с. 232).
Теперь формулу (7) можно переписать в виде
и (к) = F(k) +
U(k)V(k).
(10)
Итак, с помощью преобразования Фурье нам удалось свести решение исходного интегрального уравнения (1) к решению ал гебраического уравнения (10) для преобразования Фурье иско мого решения. Решение последнего уравнения не представляет труда:
Щк) =
A\/2ir V(fc)'
(И)
1 -
Тем самым преобразование Фурье (И) решения исходного интегрального уравнения оказалось выраженным через преоб разования Фурье заданных функций — ядра и правой части уравнения. Само решение может быть легко выражено через его преобразование Фурье с, помощью известной формулы обратно
го преобразованиях):
ОО
F (k )e-ikx
„
1
и(х)
у/2тг f U(k)e~ikx dk =
1 - AV2^V(k)
(12)
— ОО
Формула (12) фактически решает задачу, однако она не всегда удобна для использования, так как требует вычисления преоб разования Фурье F(k) для каждой правой части /(ж). Во мно гих случаях более удобным оказывается представление решения неоднородного интегрального уравнения через ядро (резолъвен-
*) См. вып. 2.
284 ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ту) исходного уравнения:
00
и(я) = /0 е) + ^ / g(® - s)f(s) ds.
(13)
~оо
Чтобы получить требуемое представление, заметим, что форму ла (10) может быть преобразована к виду
Щк) - F(k) =
F(k)G(k),
(14)
где
V(k)
1 -\уД vV(k)'
Из соотношения (14) с помощью формулы обратного преоб разования (12), замечая, что в силу формулы (9) оригиналом функции \/2тг F(k)G(k) является функция
СЮ
f
g(x ~s)f(s)ds,
—ОО
где
00
gW
= 4
j
/
G(k)e~iktdk,
(16)
—ОО
получим
ОО
и{х) =
f(x) +
A f
g (x - s)f(s) ds.
(13)
—00
Таким образом, для определения решения исходного интеграль ного уравнения (1) достаточно найти функцию g(t), определен ную формулой (16).
Функция g(t) представляет собой решение уравнения (1) при специальном виде функции f (х). Действительно, из формул (11) и (15) следует, что при [/(к) = G(k) функция F(k) равна V(k). Это означает, что решением уравнения (1) при f(x) = v(x) яв ляется функция u(x) = g(x), т. е. резольвента уравнения (1) удо влетворяет интегральному уравнению
ОО
Ф ) = / v(x —s)g(s)ds + v(x).
(17)
—ОО
Пр и м е р 1. Решить интегральное уравнение
ОО
(18)
и(х) = A J v(x —s)u(s) ds + f(x),
—ОО
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА
285
где
v(t) =
е~а^,
а >
0.
Найдем функцию g(t), для чего вычислим
00
e~a^eiktdt — 1
2а
К(А) =
- ^
J
—00
у/Ък ос2 + к2 ’
Тогда по формуле (15)
* 4 * 0
<?(*) =
1
2а
2а\ ’
1 -
Ал/2^У(Л)
у/ 2^ к2 + а2 -
откуда
оо
оо
ае—ifct
м =
f
GW e~iktdk=
U
к2 + а2 ~ 2аА dk.
—оо
—00
(19)
(20)
(21)
(22)
Положим, что А < ^. Тогда интеграл (22) имеет смысл и легко
может быть вычислен с помощью теории вычетов путем приме нения леммы Жордана. После простых выкладок найдем
g(t) =
а exp (—\t\y/a2— 2<*А)
(23)
и, окончательно,
у/а2 — 2аА
ОО
и(х) = }{х) +
f exp (-|ж - s\y/a2 —2a\^j f(s) ds.
—OO
(24) Итак, применение рассмотренного метода, сводящего реше ние исходного интегрального уравнения (1) к решению алгебра ического уравнения, было связано с возможностью применения преобразования Фурье к входящим в это уравнение функциям и использования формулы свертки. Нашей ближайшей целью является перенесение рассматриваемых методов на решение ин тегральных уравнений с ядром, зависящим от разности аргу
ментов, в случае полубесконечного промежутка
ОО
и(х) = \ J v(x —s)u(s)ds + f(x).
(25)
о
Однако для этого нам понадобятся некоторые аналитические свойства преобразования Фурье, в частности определение обла стей аналитичности преобразования Фурье функций действи тельной переменной, как убывающих, так и возрастающих на бесконечности.
286
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
2. Аналитические
свойства преобразования Ф у р ь е .
Пусть функция f(x) определена при всех значениях —оо < х < < оо. Рассмотрим преобразование Фурье этой функции
00
F(k) = - j= f f(x)eikxdx.
(26)
-00
При этом будем считать, что параметр к, входящий в преобра зование (26), вообще говоря, может принимать и комплексные значения. Поставим вопрос о свойствах функции F(k), рассма триваемой как функция комплексной переменной к. Для этого представим функцию f(x) в виде
/(я) = /+(я) + /-(®)>
(27)
где функции f+(x) и f-(x)
соответственно равны
О,
х <
0,
, v = f
/(ж),
х <
О,
/(я),
х > О,
I
0,
х >
0.
Преобразование Фурье F(k) функции / ( х) при этом, очевид но, равно сумме преобразований Фурье Р+(к), F-(k)функций f+(x) и / _ (х). Мы выясним аналитические свойства функ ции F(k), установив аналитические свойства функций F+ (k) и F-(k).Итак, рассмотрим функцию
О,
х <
О,
(28)
/(ж),
х >
0.
Ее преобразованием Фурье является функция
00
F+ (k) =
/ М
Ф ,кх dx.
(29)
о
Повторяя рассуждения теорем 8.1 и 8.2, легко показать, что если функция }+{х) удовлетворяет условию
|/+(а;)| < Мет~х при х -* оо,
(30)
то функция F+ (к), определенная формулой (29), является ана литической функцией комплексной переменной к = а-\-гтв обла сти Im к > т_, причем в этой области F+(k) —¥0 при \к\ —> оо. С помощью рассуждений, аналогичных проведенным в теоре
ме 8.5, можно показать, что функции f+(x) и F+ (k)
связаны
обратным соотношением:
00 + *т
(31)
/ + ( * ) = 4 -
/
F+(k)e~ik* dk,
—оо+ гг
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА
287
где интегрирование производится по любой прямой Im А; =
т >
> т_, параллельной действительной оси на комплексной плос кости к.
При т_ < 0 (т. е. для убывающих на бесконечности функций }{х)) область аналитичности функции F+(k) содержит действи тельную ось и в формуле (31) можно проводить интегрирование вдоль действительной оси. Если т_ > 0 (т.е. функция f+(x) ра стет на бесконечности, но не быстрее, чем экспонента с линей ным показателем), то область аналитичности функции *+ (*) лежит над действительной осью комплексной плоскости к (при этом на действительной оси к интеграл (29) может расходиться). Аналогично, если функция
f (х) _ /
/(*).
х < °-
(32)
;
\
0,
х > 0
удовлетворяет условию
f~(x) < Мег+Х при х —)•—оо,
(33)
то ее преобразование Фурье, функция
Q
F .(k ) =
- j=
f f.(x)etkxdx,
(34)
—ОО
является аналитической функцией комплексной переменной к в области Im к < т+. Функция f-{x)выражается через функцию F-(x)с помощью соотношения
оо + »'т
/ - ( * ) = ^
/
F-(k)e~ikx dk,
(35)
—оо + гт
где Im к = т <
т+ .
Если т+ >
0, то область аналитичности функции F-(k)со
держит действительную ось.
Очевидно, при т_ < т+ функция F(k), определенная по фор муле (26), является аналитической функцией комплексной пе
ременной к в полосе т_ < Im к <
т+. При этом функции f(x) и
F(k) связаны обратным преобразованием Фурье:
оо + гг
F(k)e~'kx dk,
/ ( Ж) = -А = /
(36)
—оо + гт
где интегрирование производится по любой прямой, параллель ной действительной оси комплексной плоскости к, лежащей в полосе т_ < Im к = т < т+ . В частности, при т_ < 0 и т + > 0 функция F(k) является аналитической в полосе, содержащей действительную ось комплексной плоскости к.
288
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Так, функция V(x) =
е а1х1 при а >
0 обладает преобразо
ванием Фурье
i т о -
<37 >
являющимся аналитической функцией комплексной переменной к в полосе —а< Im к < а, содержащей действительную ось.
Перейдем теперь к изложению основной идеи метода Винера-Хопфа. Мы продемонстрируем ее сначала на примере
решения интегрального уравнения специального типа.
3.
Интегральные уравнения с ядром , зависящ им от
разности аргументов. Начнем с рассмотрения однородного
интегрального уравнения вида
00
и(х) = A f v(x —s)u(s) ds,
(38)
о
ядро которого, функция v(x —s), зависит от разности х — s = f и определено для всех значений своего аргумента —оо < £ < оо. Решение этого уравнения, очевидно, находится с точностью до произвольного множителя; он может быть найден из дополни тельных условий задачи, например условий нормировки. Будем считать, что уравнение (38) определяет функцию и(х) для всех значений переменной ж, как положительных, так и отрицатель ных. Введем функции и+ и м_:
О,
х < О,
и(х),
х < О,
«+(*)
и(х),
и-(х)
О,
(39)
х > О,
ч
х > 0.
Очевидно, и(х) = и+(х) + и_(ж), и уравнение (38) можно пере писать в виде
ОО
и+(х) = Л J
v(x —s)u+(s) ds,
х > 0,
(40)
о
ОО
и~(х) = Л J
v(x —s)u+(s) ds,
х < 0.
(41)
о
То есть функция и+(х) определяется из решения интегрального уравнения (40), а функция и-(х)выражается через функции и+(х) и v(x) с помощью квадратурной формулы (41). При этом имеет место соотношение
ОО
щ(х) + и-(х) = Л J v(x —s)u+(s) ds,
(42)
о
эквивалентное исходному уравнению (38).
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА
289
Пусть функция и(£) удовлетворяет условиям
|v(fl| < Мет-^
при
£ —Уоо,
(43)
|v(£)| < MeT+S
при
£ -> —оо,
где т_ < 0, т+ > 0. Тогда функция
00
v (* ) = 4 j
/
(44)
~00
является аналитической в полосе т_ < Im к <т+.
Будем искать решение уравнения (38), удовлетворяющее
условию*)
|гц-(ж)| < М\е^х при х -¥оо,
(45)
где /2 < т+ . При этом интегралы в правых частях соотношений (40) и (41), как несложно проверить, являются сходящимися, причем для функции и-(х)имеет место оценка
|w_(rc)| < M 2eT+I при х -> —оо.
(46)
Из условий (45) и (46) следует, что преобразование Фурье U+(k) и U-{к)функций гц.(ж)
и и-(х)являются аналитическими функциями комплексной перемен
ной к при Im & > fj, и Im к < т+ соответственно (на рис. 1 для опре деленности положено ц > Т-).
Перейдем теперь к решению ин тегрального уравнения (38) или эк вивалентного ему уравнения (42), для чего воспользуемся преобразова нием Фурье. С помощью формулы
(9) преобразования свертки, в спра ведливости которой в рассматрива емом случае полубесконечного про межутка легко убедиться непосред ственно, получим из (42)
т------------Imк=х+
1тк=ц
lmk=x~
U-(k),L-(k)
Рис. 1
U+ (k) + U~(к) = sfbtXV(k)U+(k),
или
L(k)U+(k) + U-(k) = О,
(47)
где
Цк) = l-V 2w \V (k ).
(48)
*) Мы не останавливаемся на доказательстве существования решения уравнения (40), обладающего указанным свойством. Подробнее см., напри мер, цитированную выше статью В.А. Фока.
290
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Итак, с помощью преобразования Фурье мы опять перешли от исходного интегрального уравнения к алгебраическому урав нению для преобразований. Однако теперь в уравнение (47) вхо дят уже две неизвестные функции. Вообще говоря, из одного алгебраического уравнения нельзя однозначно определить две неизвестные функции. Метод Винера-Хопфа позволяет решить эту задачу для определенного класса функций. Он в первую оче редь связан с изучением областей аналитичности, входящих в уравнение функций, и специальным представлением этого урав нения. Основная идея метода Винера-Хопфа заключается в сле дующем.
Пусть удалось представить уравнение (47) в виде
L+(k)U+{k) = -L_(*)0_(ife),
(49)
где левая часть является аналитической в верхней полуплоско сти Im к > ц, а правая — аналитической в нижней полуплос кости Im к < т+ , причем /z < т+, так что существует общая полоса аналитичности этих функций \i < Im к < т+ . Тогда в си лу единственности аналитического продолжения можно утвер ждать, что существует единственная целая функция комплекс ной переменной, совпадающая с левой частью (49) в верхней и правой частью (49) в нижней полуплоскости соответственно. Если при этом известно, что функции, входящие в (49), растут на бесконечности не быстрее, чем конечная степень Ап, то в си лу теоремы Лиувилля данная целая функция определяется с точностью до постоянных множителей. В частности, в случае ограниченной на бесконечности функции получим
L+(k)U+(k) = -L-(k)U -(k) = const.
(50)
Отсюда функции U+ (k) и U-(k)определяются однозначно. Итак, применим данную схему к решению уравнения (47).
Из проведенных выше рассмотрений следует, что области анали тичности функций £/+(&), U-{к)и L(k) = 1 — у/2тг XV(к) соответ ственно представляют собой верхнюю полуплоскость Im к > ц, нижнюю полуплоскость Im к < т+ и полосу т_ < Im к < т+. Тем
самым это уравнение справедливо в полосех) ц < Im к < т+ , яв ляющейся общей областью аналитичности всех входящих в это уравнение функций. Для преобразования уравнения (47) к виду (49) предположим, что возможно разложение функции L(k):
(51)
*) Мы для определенности положим ц > т_. В противном случае общей областью аналитичности будет полоса т_ < Im к < г+.
