книги / Теория функций комплексной переменной
..pdfП Р И Л О Ж Е Н И Е 3
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теория функций многих комплексных переменных, являю щаяся естественным развитием теории функций одной комп лексной переменной, в последнее время представляет значи тельный интерес благодаря эффективным применениям мето дов этой теории в различных областях естествознания, в част ности в квантовой теории поля. В настоящем приложении да ется краткий обзор основ теории функций многих комплексных переменных.
1. Основные определения.
Будем рассматривать iV-мерное комплексное пространство CN, точки которого z — (zi, Z2 , . . . , ZN ) представляют собой упо рядоченную совокупность комплексных переменных zk — + + iyk. Комплексное пространство CN можно интерпретировать как обычное евклидово пространство действительных перемен ных ® i, yi, . . . , XJV, VN размерности 2N. Поэтому понятия откры той и замкнутой области, внутренней, внешней и граничной точ ки, ^-окрестности и т.д. вводятся так же, как и в теории функ ций многих действительных переменных1). Так, 5-окрестностью точки z° будем называть множество C(8,z°) точек z G C N, удо влетворяющих условию
\zk~zl| < 8к, к = 1 , 2 , . ..,iV.
Под символом 8 = (5i,. . . , 8N ) м ы понимаем упорядоченную со
вокупность действительных чисел 8к > 0. Множество точек z € 6 CN, удовлетворяющих условию \zk —z^\ <Тк (гк > 0) назы вается поликругом К"(г, г°) радиуса г = (ri, . . . , г#) с центром в точке z° = (я?,.. . , z%).
Функция w = f(z) = f(zi, . .. , ZN ) многих комплексных пере менных z — (z\,. . . , zjq), заданная на множестве Е С CN, опре-
1) См. вып. 2.
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ |
313 |
деляется законом, ставящим в соответствие каждому значе нию z £ Е определенное комплексное число w £ С1. Так как комплексное число w представляет собой пару действительных чисел и и v (w = и + iv), то задание функции f(z) на мно
жестве Е С C N есть одновременное задание на соответствую
щем множестве 27У-мерного евклидова пространства двух дей
ствительных функций и(х\,у\,.. .,хм,ун), v(x\,y\,.. .,хм,ум)
от 2N действительных переменных xi, t/i,. . . , хм:ум
f(z) = и(хi , . . . , ул) + iv(xi , . . . , ум)- |
(1 ) |
Функции и(х1 , . . . , ум) и w(®i,. . . , ум) называются соответствен но действительной и мнимой частями функции f(z).
Очевидно, что ряд понятий и свойств функций многих дей ствительных переменных может быть перенесен и на функции многих комплексных переменных. Так, функция f(z), заданная
на множестве Е С CN, непрерывна в точке z° £ Е, по сово купности переменных з ь ... ,зд , если для любого е > 0 можно
указать такое S = (J i, .. . , <ЗД, что для всех z £ |
C(6,z°) имеет |
место неравенство |
|
l/W - / ( * °) i < г- |
(2) |
В дальнейшем функцию f(z), непрерывную по совокупности |
|
переменных z\ , . . . , гм, мы будем просто называть |
непрерывной |
функцией. |
|
Если функция f(z) непрерывна в каждой точке z £ Е, то она называется непрерывной на множестве Е. Справедлива
Теорема 1 . Необходимым и достаточным условием непре рывности функции f(z) = u ( si , . . . , ум) + iv(xi , . . . , ум) па
множестве Е С CN является непрерывность по совокуп
ности переменных действительных функций и(х\,...,ум) и и(х\,... ,ум) 2N действительных переменных на соответ ствующем множестве евклидова пространства размерно сти 2 N.
Свойства непрерывных функций одной комплексной пере менной непосредственно переносятся на случай многих комп лексных переменных. Так, равномерно сходящийся в области G ряд непрерывных функций многих комплексных переменных сходится к непрерывной функции.
2 . П онятие аналитической функции многих комп лексны х переменны х. Так же как и в случае одной комп лексной переменной в теории функций многих комплексных пе ременных одним из основных понятий является понятие анали тической функции.
Пусть в области G С CN задана функция w = f(z) многих
комплексных переменных. Если мы фиксируем значения пере-
314 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 |
менных z® , . . . , |
. . . , Zff, то получим функцию |
fi{zi) |
f(z1 7• • • »zi—1>ziy zi-f-1) ■ • • J zN) |
одной комплексной переменной Z{, заданную в некоторой обла сти Gi комплексной плоскости Zi. Пусть при любых фиксирован ных значениях z j , . . . , z®^ , z±+ l , . . . , z# каждая функция fi(zi)
(г = 1 , 2, . . . , iV) является аналитической функцией комплексной переменной Z{ G G{. В этом случае функцию f(z) будем назы вать аналитической по каждой переменной в области G. Про изводные f[{zi) функции fi(zi) по переменной Zi будем называть
частными производными функции f(z) и обозначать через |
|
|||||
Очевидно, что |
|
|
|
|
||
df _ |
1- |
f(zi,... , zj-ijZj + A zj,zi+i,...,zN)~F(z\, . . . , zN) |
(3) |
|||
dzi |
д ,“ |
о |
|
bzi |
||
Частные производные |
могут быть выражены через частные |
|||||
производные функций и(хi , . . . , ум) и v(rci,. . . , ум): |
|
|||||
|
|
|
d f _ |
ди , |
•dv |
(4) |
|
|
|
dzi |
dxi |
г dxi ’ |
|
причем для них выполняются условия Коши-Римана |
|
|||||
|
|
ди |
dv |
ди |
dv |
(5) |
|
|
dxi |
dyi ’ |
dyi |
dxi' |
|
Введем теперь основное определение: |
|
|||||
Функцию |
f(z) многих |
комплексных переменных z |
= |
|||
= (zi,... J ZN ) будем называть аналитическойх) в области G, если в этой области функция f(z) аналитична по каждой пе
ременной Zi, а все ее частные производные |
непрерывны. |
Аналитические функции многих комплексных переменных обладают рядом замечательных свойств, подобных свойствам аналитической функции одной комплексной переменной. Ниже будет дан краткий обзор этих свойств, причем для простоты изложения будем рассматривать случай двух независимых пе ременных. Для большего числа переменных все рассуждения со храняют силу.
г) Так же как и в случае одной комплексной переменной, мы с целью облегчения последующих доказательств включили в определение аналити ческой функции многих комплексных переменных лишнее условие непре рывности частных производных, что, однако, не сужает рассматриваемого класса функций, как это следует из так называемой теоремы Гартогса (см., например, кн. : В. С. В л а д и м и р о в . Методы теории функций многих комплексных переменных. — М. : Наука, 1964).
316 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 |
литичной в области G = Gi х ... х GN - Формулы (9) и (10) и представляют собой обобщения формулы Коши (1 .59) на случай многих комплексных переменных.
Из этих формул можно получить ряд важных свойств ана литической функции многих комплексных переменных. В част ности, как и в случае одной комплексной переменной с помощью формулы (9) можно показать, что аналитическая функция двух комплексных переменных имеет частные производные всех по рядков, для которых справедливы выражения
dn+mf(zuz2) _ _n!m! f „ |
f |
ЖьСаЫСг |
/,-,ч |
|
dz^dzf |
4тг2 J |
|
(z i - C i)n+1 (*2 - C 2)m+1‘ |
' ' |
|
Cl |
C*2 |
|
|
Аналогично устанавливается справедливость принципа макси мума модуля и т.д.
Соответствующие результаты получаются из формулы (10) для аналитической функции многих комплексных переменных.
4. |
Степенные ряды . В случае двух независимых перемен |
||
ных степенным рядом назовем выражение |
|
||
|
СО |
СО |
|
|
У ! |
У ! Cn,m(z 1 — a l )n (^2 ~ 0>2)тJ |
( 1 2 ) |
|
п=0 т—0 |
|
|
где Сп,mj |
а 2 |
заданные комплексные числа. Имеет место |
|
утверждение, аналогичное теореме Абеля (теорема 2 .5 ). |
|
||
Теорема 2 . Если ряд (1 2) сходится абсолютно в точке zQ= = {z® ф fli, z% Ф аг)? то он абсолютно сходится внутри поли круга К(г°,а) радиуса r° = (|zj - ai|, |z\ - аг|), причем в любом
поликруге меньшего радиуса1) с центром в точке а ряд схо дится равномерно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу абсолютной сходимо сти ряда (1 2) в точке z° все члены ряда в этой точке равно мерно ограничены. Поэтому иьщет место оценка коэффициентов ряда (1 2)
__________М__________.
|z? - a i|n • Iz\ -аг)”1’
(13)
с общей константой M для всех коэффициентов. Возьмем произ вольную точку z —(z\yZ2 ) внутри поликруга К(г°, а) и положим
\z\ - oi| = qi\z\ - ai|, |*2 ~ a2| = 92^2 - a2|,
где 0 < gi < 1, 0 < <?2 < 1- Тогда, пользуясь оценкой (13), для
1) Будем говорить, что радиус |
поликруга К(Ф1\а) меньше радиуса |
|
поликруга К{г^2\ а), если |
< rj2\ . . . , |
< rffl. |
318 ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Выражение (17) дает представление исходного ряда в виде ряда
однородных полиномов относительно переменных z\ = |
z\ — ai, |
||
Z2 — Z2 — |
0>2 |
s |
|
|
|
|
|
|
Us(zuz2) = ^ 2 C k,s - k Z iZ 2s ~ k . |
(18) |
|
|
|
fc=0 |
|
Так |
как функции |
(2 1, 22) являются аналитическими по |
|
каждой переменной и ряд сходится равномерно внутри поли круга i f (Л, а), то в силу теоремы Вейерштрасса (теорема 2.3) функция f(z) также является аналитической по каждой пере менной внутри i f (Л, а), причем ее частные производные мож но вычислить путем почленного дифференцирования ряда (17). Как легко видеть, при этом радиус сходимости полученного ряда
равен радиусу сходимости ряда (12), и частные производные
и —■ непрерывны внутри K(Ria). Отсюда следует, что внутри
UZ2
поликруга сходимости степенной ряд (12) сходится к анали тической функции многих комплексных переменных.
Так же как и в случае одной комплексной переменной, легко установить, что коэффициенты степенного ряда (12) выража ются через значения частных производных его суммы в центре поликруга сходимости — точке а = (0 1, 02) — по формулам
Сп,т — |
1 дп+т f( |
ч |
(19) |
п\т\ dz™dzl? * * ' |
Z ' z=a |
||
|
|
|
5. Р я д Тейлора. Покажем теперь, что функции, аналити ческой в некотором поликруге i f (Л, а), может быть сопоставлен степенной ряд, сходящийся к данной функции внутри i f (Л, a). Имеет место
Теорема 3 . Функция / ( 2 ), аналитическая внутри поли круга i f (Л, а), единственным образом представляется внутри i f (Л, а) в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда
00 |
оо |
|
т = Е |
Е c ^ ( zi - |
- °2)т- |
п=0 т=0 |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем произвольную точку z € i f (Л, а). По формуле (9) имеем
= |
/ (С, - Л 0К 2- И ) d^ ' |
( 2 0 ) |
с{ |
с' |
|
где С[ и С2 — окружности с центрами в точках oi и аг ради усов R[ и 1$2, удовлетворяю1цих условиям \z\ —ai| < R[ < R\
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ |
319 |
и jz2 - а2| < # 2 < # 2- Из предыдущих рассуждений следует,
что рациональная дробь ^ _ z ^ —z ) может быть разложе
на в абсолютно и равномерно сходящийся относительно £i и ( 2 степенной ряд
1 |
оо |
оо |
(Zi - a0 W(g2 - a2)m |
/9П |
- Y |
T |
|||
(C1 - 2i)(C2 - |
Z 2 ) |
|
(ft - aO"+i(C2 - a2)"*+i * |
' ' |
|
n=0 m—0 |
|
|
|
Подставляя разложение (2 1) в (20) и повторно производя по членное интегрирование соответствующих равномерно сходя щихся рядов, получаем
ОО |
ОО |
|
|
/(*) = Е |
Е |
- ai)n(*2 - a2)m, |
(22) |
п—0 т=0
где через Сп>тобозначены выражения
Сп'т = |
/ ^ |
/ (С: - a,)»+4ft - аг)т+1 ^ 2’ |
^ |
|
|
С[ |
С' |
|
|
что в силу (1 1) можно переписать в виде |
|
|||
|
r |
1 |
dn+mf(z) I |
|
|
n>m |
n!m! |
Iz = a |
|
Так как z —произвольная точка К (i?, а), то из формулы (22) и следует разложимость функции, аналитической в поликруге K(R,a), в сходящийся степенной ряд.
Сопоставление формул (24) и (19) приводит к заключению об единственности разложения. Теорема доказана.
По аналогии с результатами, полученными для функции од ной комплексной переменной (см. теорему 2.6), разложение (22) естественно назвать рядом Тейлора функции f(z).
В заключение заметим, что радиус сходимости R0 ряда (22) может оказаться больше радиуса R поликруга K(R, о). В этом случае сумма этого ряда будет представлять собой функцию, аналитическую в поликруге K(R°>a) и совпадающую с исход ной аналитической функцией f(z) в поликруге К (J?, а) меньше го радиуса.
Проведенные рассмотрения непосредственно переносятся и на случай многих комплексных переменных.
6 . Аналитическое продолжение. Представление анали тической функции многих комплексных переменных с помо щью степенного ряда позволяет, так же как и в случае одной