книги / Теория функций комплексной переменной
..pdf252 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8
§ 3. Решение задач дл я линейных диф ф ерен ци альн ы х уравнений операционным методом
В этом параграфе будут рассмотрены применения методов операционного исчисления к решению ряда задач для линейных дифференциальных уравнений.
1. Обыкновенные дифференциальны е ур>авнения. В § 1 мы уже видели, как с помощью операционных методов мож но свести задачу Коши с нулевыми начальными условиями для линейного дифференциального уравнения к простейшей алге браической задаче для изображения. Рассмотрим более общую задачу Коши:
аоУ(п)(t) + |
ai2/(n-1)(*) + . . . + any(t) = f(t), |
(8.88) |
2/(0) = 2/o, |
2/;(0) = 2/1, -• • 1 2/(n_1)(0) = 2/n—1 , |
(8.89) |
где oo, a i , ..., an, уо, 2/1, • • •, 2/n-i — заданные постоянные, f(t) — заданная функция независимой переменной t, которую мы бу дем полагать удовлетворяющей всем условиям существования
изображения1). Поскольку задача (8.88), (8.89) является линей ной, можно отдельно рассматривать решение однородного урав нения с начальными условиями (8.89) и решение неоднородного уравнения (8.88) с нулевыми начальными условиями.
Начнем с решения первой задачи. Как известно 2), для ее ре шения достаточно построить фундаментальную систему реше ний однородного уравнения (8.88). В качестве таковой выберем решения однородного уравнения
а0'ф{ь )+а1 ф<£ ~ 1 )(1 ) + . . .+ a n<fe(t) = 0 , fc = 0 ,1 , . . . , n - l , (8.90)
удовлетворяющие начальным условиям
# ( 0 ) |
к = |
0 ,1, ... ,п — 1, |
= « у , |
(8.91) |
|
|
j = |
0 ,1 , ... ,п — 1, |
где |
|
|
|
1, |
k = j |
|
0, |
к ± j. |
Очевидно, функции |
образуют фундаментальную систему, |
|
так как их определитель Вронского при t = 0 заведомо отличен от нуля. Решение задачи (8.88), (8.89) при f(t) = 0 через эти
1)Об условиях существования изображения см. с. 222.
2)См. выл. 3.
§3 |
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ |
253 |
функции выражается наиболее просто: п—1
=^2 vk^k(t)-
к=0
Для определения функций ^ ( t ) применим операционный метод. Имея в виду, что функция xpkft) и все ее производные до 71-го порядка удовлетворяют условиям существования изо
бражения1 ), в силу (8.91) и формулы (8.38) получим
.='ф *(р ). ФкЧ*) • - р [ф*(?) - |
"Шг > 3 1 , 2 , . . . , 71, |
|
где |
|
|
| |
3 < |
|
I |
1, ; > |
/г- |
Умножив обе части уравнения (8.90) на е pt и проинтегрировав по t, получим
Ф * (р ) - Р п (р )= П (р ), |
(8.92) |
||||
где полиномы Рп(р) и Рк(р) соответственно равны |
|
||||
Рп(р) = |
аоРп + |
oiРп~ 1 + • • - + ап |
|
||
и |
|
|
|
|
|
Pjfe(p) = а0рп |
+ |
а 1РП ^к+2^+ |
• • • + ап-(к+1)- |
(8.93) |
|
Из (8.92) |
|
|
|
|
|
Ф к(р) = |
Ш |
) ’ |
к = 0 ' |
1 ’ - - - ’ п ~ 1 |
(8-94) |
и, в частности, |
|
|
|
|
|
|
|
= Ш |
= Ш - |
(8-95) |
|
Формула (8.95) будет использована в дальнейшем. Оригиналы функций Ф*(р) могут быть найдены по формуле Меллина:
х+гоо |
|
|
Ф*(р) .= i>k(t) = ^ I ер‘ щ ^ у Ф , |
х > а , |
(8.96) |
х—zoo
где прямая х — а проходит правее всех особых точек подынте гральной функции из (8.96). Так как функция (8.94) представля ет собой отношение двух полиномов, то ее особыми точками мо гут быть лишь нули знаменателя Рп(р), причем все они являют ся полюсами. Кроме того, при t > 0 подынтегральная функция
г) Действительно, функции фк(<), как решения уравнения (8.90), явля ются гладкими функциями, растущими на бесконечности не быстрее, чем экспонента с линейным показателем. (Подробнее о свойствах решений ли нейных уравнении с постоянными коэффициентами см. вып. 3.)
§3 |
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ |
255 |
частных решений уравнения (8.90), удовлетворяющих началь ным условиям (8.91), через частные решения уравнения (8.90),
полученные с помощью характеристического уравнения1).
П р и м е р 1. Решить задачу Коши
, / IV>+ 2 у" + у = 0, |
уф) = !/'(0) = у"(0) = 0, |
у"'(0) = 1. |
Очевидно, решением задачи является функция ^>з(£), которая может быть найдена по формуле (8 96):
|
|
x + io o |
.pt |
dp |
|
|
</« = |
^ |
I |
(8.103) |
|||
p4 |
+ 2p2*+ 1’ |
|||||
|
|
|
|
x — гоо
Подынтегральная функция в (8.103) имеет две особые точки pi,2 = ±*, являющиеся полюсами второго порядка. Поэтому
, Р * . |
= - (sin t —t cost). (8.104) |
|
(P- г ) 2 J р = - *
Перейдем теперь к решению задачи Коши с нулевыми на чальными условиями для неоднородного уравнения (8.88):
£[!/(<)] = /(*)• В силу нулевых начальных условий, перейдя к изображениям 2) У(р) .= y(t), F(p) = /(<), получим
У(р)Р.(р) = Pip),
откуда
у(р) = Ш - |
(8Л05) |
Так как функция Y (р) является изображением, то ее оригинал в
1)О характеристическом уравнении см. вып. 3.
2)Заметим, что для существования изображения F(p) правой части урав нения (8.88), функции /(£), во многих случаях несущественно поведение этой функции при t —> оо. Действительно, нас часто интересует решение уравнения (8.88) лишь на ограниченном отрезке времени 0 ^ t ^ Т, ко торое полностью определяется заданием функции /(£) на этом отрезке и не зависит от поведения функции /(£) при t > Т. Поэтому мы можем из менять значения функции /(£) при t > Т как угодно, лишь бы условия существования изображения F(p) функции /(£) были выполнены. Напри мер, можно положить /(£) =0 при t > T . (Подчеркнем, что для определения изображения F(p) функция /(£) должна быть задана на всем бесконечном промежутке 0 ^ < оо.) При этом мы, конечно, будем получать различные изображения, однако их оригиналы, естественно, совпадают при t ^Т . Сле дует иметь в виду, что указанное положение относится не только к случаю уравнения (8.88), но и ко многим другим физическим задачам, в которых решение ищется на ограниченном промежутке изменения времени.
§3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ 257
температурный режим. Начальная температура стержня равна нулю. Математическая задача заключается в определении огра
ниченного для 0 < ж < оо, |
0 решения u(x,t) уравнения |
|
щ = а2ихх, |
х > 0, t > 0, |
(8.107) |
с дополнительными условиями |
|
|
и(х, 0) = 0, |
u(0 ,t) = q(t), |
(8.108) |
где q(t) — заданная функция времени, которую мы будем пред полагать удовлетворяющей условиям существования преобразо вания Лапласа. Предположим, что искомое решение u(x,t), а также его производные, входящие в уравнение (8.107), удовле творяют условиям существования преобразования Лапласа по t, причем условия ограниченности степени роста по t функции и(х, t) и ее производных не зависят от х. Тогда получим
u(x,t) |
= |
U(x,p), |
|
Ut{x,t) |
= |
pU(x,p) |
(8.109) |
uxx{x,t) == Uxx{x,p).
Вторая из формул (8.109) получена с учетом нулевого началь ного условия (8.108). Последняя из формул (8.109) имеет место в силу того, что сделанных предположений достаточно для вы числения производных несобственных интегралов, зависящих от параметра, путем дифференцирования по параметру подынте
гральных функций1).
Переходя к изображениям, вместо задачи (8.107), (8.108) для функции и(х> t) получаем краевую задачу для изображения
Щх,р):
Uxx(x,p) - Щ х ,р ) = 0, |
(8.110) |
и |
|
U(0,p) = Q(p), Щ х,р)\<М . |
(8.111) |
Это — краевая задача для обыкновенного дифференциального
уравнения, в которой переменная р играет роль параметра. Как легко видеть, решение задачи (8.110), (8.111) имеет вид
U(x,p) = Q(p)exp (—^■ x'j . |
(8.112) |
Решение и (ж, t) исходной задачи может быть найдено по его изо бражению (8.112) с помощью формулы Меллина, однако в слу чае произвольной функции Q(p) вычисление соответствующего интеграла может привести к значительным трудностям. Поэто му естественно попытаться обойти прямое вычисление интегра ла Меллина для определения оригинала функции (8.112). Заме тим, что выше мы нашли оригинал для функции (см. пример 4,9*
О См. вып. 2.
9 А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов
258 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8
с. 247)
1 е - “ ^ •=• 1 - * ( Д ) = £ / |
*»• |
(8-ПЗ) |
2V?
Поэтому, представив U(x,p) = Q(p) • р • exp f —— ж) • - и учтя,
\ CL / р
что согласно (8.113)
iexp ( - ^ х ) .= 1 - Ф ( ^ ) = G(x,t), |
(8.114) |
на основании теорем об изображении производной и свертки по лучим
t
U{x,p) = u(x,t) = J §-tG(x,t - T)q(r) dr.
о
Подставив явное выражение (8.114) функции G(x,t) и про изведя дифференцирование, получим выражение решения зада чи31) (8.107), (8.108) в виде
u(x,t) |
X |
[ |
( _ |
X2 |
q(j) |
dr. |
(8.115) |
ЧаурШJ |
|
4а2 (t —т) |
{t - т)з/2 |
||||
О
3. Краевая задача дл я уравнения в частны х произ водных. Изложенный в предыдущем пункте метод может быть формально перенесен и на решение краевой задачи для уравне ния в частных производных более общего вида.
Рассмотрим уравнение
Pn[u(x,t)] - L 2[U (M )] = /О М ), |
(8.116) |
где Рп[и] — линейный дифференциальный оператор с постоян ными коэффициентами вида
дпи |
5J1-1U |
ди |
■ РпМ - “о ^г + 0 1 |
|
+ • • • + O n-i|jr; |
1^2Н — линейный дифференциальный оператор второго поряд-
1) Заметим, что данное выражение получено в предположении существо вания решения, тем самым проведенные рассмотрения являются фактиче ски доказательством единственности решения данной задачи в рассматри ваемом классе функций. Если заранее не известно существование решения поставленной задачи, то необходимо показать, что формально полученное выражение (8.115) действительно представляет собой решение рассматри ваемой задачи.