книги / Теория функций комплексной переменной

П Р И Л О Ж Е Н И Е 1

М Е ТО Д П ЕРЕВАЛ А

Метод перевала широко применяется для построения асимп­ тотических разложений1) некоторых контурных2) интегралов от функций комплексной переменной. Мы будем рассматривать интегралы вида

С

где (p(z) и f(z) — функции комплексной переменной z, аналити­ ческие в некоторой области <7, содержащей кривую С, которая может быть и неограниченной; Л — большое положительное чис­ ло. Будем предполагать, что интеграл (1) существует, и поста­ вим своей целью получить асимптотическое разложение функ­ ции F(А) по обратным степеням параметра Л. С интегралами типа (1) часто приходится встречаться при исследовании инте­ гральных представлений ряда специальных функций, а также при решении многих задач математической физики и других разделов математики.

1 . Вводны е замечания. Начнем с некоторых наводя­ щих соображений. Рассмотрим интеграл, определяющий гамма-

функцию Эйлера3)

*) Напомним, что асимптотическим разложением функции /(х ) в окрест-

N

ности точки хо называется представление вида /(х ) = £ а.кфк(х) +

к=1

+ о(у?лг(х)), где ак — постоянные коэффициенты, а функции у?*(х) при х-У хо удовлетворяют условию yjjfe+i(x) = о(<рк(х)) (подробнее об асимпто­ тических разложениях см. вып. 2).

2) Следуя установившейся терминологии, мы здесь под контуром инте­ грирования понимаем не обязательно замкнутую кривую.

3) См. вып. 2.

и попробуем найти для него приближенное выражение при боль­ ших положительных значениях р. Заметим, что, представив жр = ер1пх, мы приведем рассматриваемый интеграл (2) к ви­ ду (1). Подынтегральная функция в (2) стремится к нулю при х — 0 и х —>оо. Поэтому величина этого интеграла в основном определяется значением подынтегральной функции в окрестно­ сти ее максимума. Преобразуем подынтегральную функцию к виду

Разложив функцию /(ж) в ^-окрестности точки ж = р в ряд Тей­ лора и, ограничившись первыми членами разложения, получим

Приближенные равенства имеют место вследствие того, что подынтегральная функция при |ж — р\ > S мала и быстро стре­

мится к нулю. Сделаем в интеграле (5) замену переменной ин­

тегрирования, положив \ 7т-(х —р) = у. Тогда

—ОО

Формула (6) и дает приближенное выражение интеграла (2) при больших значениях р. Как будет показано ниже, она пред­ ставляет собой первый член асимптотического разложения инте­ грала (2). Эта формула часто называется формулой Стирлинга.

При выводе этой формулы мы не оценивали точность сделан­ ных приближений, поэтому наши рассмотрения носят лишь ил­ люстративный характер. В дальнейшем будет проведена оценка точности формулы (6), а сейчас сделаем еще несколько заме­ чаний, позволяющих легче понять основную идею метода пере­ вала. Формула (6) выражает приближенное значение интегра­

ла (2) через значение подынтегральной функции в точке ее мак­ симума (рре-р ) и некоторый дополнительный множитель, соот­ ветствующий длине того отрезка интегрирования, на котором значение подынтегральной функции достаточно близко к мак­ симальному.

Обратимся теперь к интегралу (1), в котором подынтеграль­ ная функция является аналитической в области Q комплексной плоскости z. Этот интеграл также может быть приближенно вы­ числен через максимальное значение модуля подынтегральной функции с поправкой на быстроту ее убывания на контуре инте­ грирования. Если путь интегрирования, соединяющий точки Z\ и Z2 таков, что на небольшом его участке абсолютная величина подынтегральной функции достигает наибольшего значения, а затем быстро спадает, то естественно предположить, что найден­ ная величина дает хорошее приближение. Так как функция f(z) является аналитической в области то в силу теоремы Коши значение интеграла (1) определяется лишь заданием начальной z\ и конечной Z2 точек пути интегрирования, а не видом кривой С. Отсюда следует, что для заданного интеграла (1) возмож­ ность его приближенного вычисления с помощью рассматрива­ емых методов связана с возможностью выбора такого контура интегрирования, чтобы он удовлетворял указанным выше тре­ бованиям. Нас интересуют значения интеграла (1) при больших положительных значениях параметра Л, стоящего в показателе у экспоненты. Поэтому естественно ожидать, что основной вклад в значение интеграла дадут те участки пути интегрирования, на которых функция и(х,у) — действительная часть функции f(z) = и(х, у) + iv(x,y) — достигает наибольших значений. При этом следует иметь в виду, что функция и(х,у), являясь гармо­ нической в области Q, не может достигать абсолютного макси­ мума во внутренних точках этой области, т.е. внутри области Q нет точек, в которых функция и(х, у) возрастала бы или убыва­ ла по всем направлениям. Поверхность функции и(х,у) может иметь лишь седловые точки х).

Пусть точка ZQ = XQ + iyo является единственной седловой точкой поверхности и(х,у) в области Q. Рассмотрим линии по­ стоянных значений и(х,у) = и(хо,уо) = const функции и(х,у), проходящие через эту точку. В силу принципа максимума для гармонических функций*2) эти линии не могут образовывать замкнутых кривых (мы не рассматриваем тривиальный случай

г) Определение седловой точки поверхности см. вып. 2.

2) См. А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Оценим при р > 1 интеграл*)

= е~А{(2А)р~1(1 - е~А) + 2р~1 Г{р)}. (8)

Отсюда при АР < еА/2 и следует (7).

В дальнейшем большую роль будут играть интегралы вида

Д о к а з а т е л ь с т в о . Главный член формулы (11) легко может быть получен из следующих наводящих соображе­ ний. Если функция (p(t) ограничена при \t\ > о, то естественно ожидать, что значение интеграла (11) изменится незначитель­ но, если заменить пределы интегрирования —а и а на —оо, со­ ответственно. Тогда первый член разложения (9) дает главный

= ]С Ckt* + 0 {tn) означает, что при |£|^ S имеет место равномерная оценка

*=о

¥>(<) - £ cktk < C\t\n, где С - постоянная.

&=о

член формулы (11), интеграл от второго члена в силу нечетно­ сти подынтегральной функции равен нулю, и остается оценить остаточный член. Эта оценка и возможность указанной заме­ ны пределов интегрирования и составляют основное содержание леммы. Перейдем к ее строгому доказательству.

Разобьем интеграл Ф(А) на три слагаемых:

где 5 > 0 — фиксированное число. Оценим последнее слагаемое:

< Мех° {2 ■ е~ х{2 = 0{е~х‘ 2). (13)

Здесь мы воспользовались условием (10) и очевидным неравен­ ством

и первое слагаемое в (12). Отсюда следует, что при достаточ­ но больших А основной вклад в значение интеграла Ф(А) дает второе слагаемое, в то время как крайние слагаемые в (12) экс­ поненциально стремятся к нулю при А —>оо.

Перейдем к рассмотрению главного члена в (12). Подставив вместо функции tp(t) ее разложение (9), получим

Второй интеграл в (14) в силу нечетности подынтегральной функции равен нулю. Для оценки первого интеграла сделаем в нем замену переменной интегрирования, положив Xt2 = т. По­ лучим

формула

Ай2

J т~г/2 е~тdr =

= г ( 1 ) + О (ехр ( ~ ) ) = у/тг + О (ехр ( - * £ ) ) . (16)

( Ай2 А

— 2 ~) ПРИ А -> оо стремится к нулю быстрее, чем А- 3 /2, то можно записать

Остается оценить последнее слагаемое в (14):

В интеграле (18) опять сделаем замену переменной интегриро­ вания, положив At2 = т. Тогда получим

Интеграл (19) также удовлетворяет условиям леммы 1. Поэтому окончательно получим

можно доказать, что если функция <p{t) при |£| ^ S разлагается в строку Тейлора