Перейдем к рассмотрению |
основного интеграла |
форму |
лы (31): |
|
|
|
to + 5(A) |
|
Ф з(А )= |
/ |
у>(«)ел'( ‘)<Й. |
(36) |
t0 - |
5(A) |
|
|
В силу условия (27) этот интеграл можем переписать в виде
to + 5(A) |
^ |
Фз(А) = еЛ/(*о) |
f |
tp(t) exp |л [ ^ - ^ ( t - t0)2 + fi(t)j } dt. |
t0 - |
(5(A) |
|
(37)
Приведем интеграл (37) к виду (25) , сделав замену перемен- tH/л \
ной — ■ ^ ■ (t —to) 2 = т 2. Как легко видеть, полученный при
этом интеграл удовлетворяет всем условиям леммы 3. Поэтому окончательно получим
Ф3(А) = «M W y - - ^ L - )V(t0) + 0 (А -3/2) } . |
(38) |
Поскольку Фз(Л) отличается от оцениваемого интеграла на ве личину экспоненциального порядка малости, формула (38) и до казывает теорему.
За м е ч а н и е 1. Теорема остается справедливой и в том случае, когда один или оба предела интегрирования равны бесконечности, поскольку оценка интеграла (33) остается спра ведливой и при а ——оо.
За м е ч а н и е 2. Мы получили лишь первый член асим птотического разложения интеграла (28). Аналогичным образом можно получить выражение и для последующих членов асим птотического разложения, однако мы на этом останавливаться не будем.
За м е ч а н и е 3. Проведенное доказательство может быть перенесено и на тот случай, когда максимальное значение функ ции f(t) достигается в какой-либо из граничных точек отрезка [а, 6]. При этом в формуле (28) появляется дополнительный мно-
житель -1.
2
З а м е ч а н и е 4. В том случае, когда функция f(t) вну три отрезка [а, 6] имеет несколько максимумов, равных по вели чине, асимптотическое разложение интеграла (28) по обратным степеням большого параметра Л можно получить, оценивая ин тегралы типа (36) по ^-окрестности каждой из точек максимума и суммируя результаты.
Рассмотрим пример применения доказанной теоремы.
272 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
П р и м е р 1. |
Получить асимптотическое разложение гамма- |
функции Эйлера |
|
|
|
ОО |
|
|
|
Г(р -f 1) = J |
(Рё~х dx. |
(2) |
|
о |
|
|
Представим |
подынтегральную |
функцию |
в виде хре~х = |
_ gpin х х и Сделаем замену переменной, положив х = pt. Тогда
интеграл (2) преобразуется к виду |
|
|
00 |
|
|
Г(р + 1 ) = p”+1 f ег’<1п |
dt. |
(39) |
О |
|
|
Это интеграл типа (28) с <p(t) = 1 и f(t) = In t —t. Функция f(t) достигает своего максимального значения при to = I, причем
/(1) = |
- 1 , /'(«) |t=i = о, |
/"(t) |*=х = - 1 - |
(40) |
Поэтому по формуле (28) получаем |
|
|
|
Г(р + 1) = в '" |
+ 0 (р -3/2)} p>+1 = |
^ |
( f У { l + |
О ( i ) } . |
(4 1) Тем самым мы получили асимптотическую оценку точности по
лученной ранее из наводящих соображений формулы (6). Как было указано выше, рассмотренные методы позволяют получить и последующие члены асимптотического разложения. Приведем без вывода несколько первых членов формулы Стирлинга:
Г(р + |
1) = |
| l + |
_ |
+ |
- 51840р3 + • • • } • (42) |
3. |
М етод перевала. Перейдем теперь к рассмотрению са |
мого метода перевала получения асимптотических разложений |
интегралов вида (1): |
|
|
|
|
|
F(А) = |
J |
(p(z)exf ^ |
dz. |
с
В силу наводящих рассмотрений п. 1 естественно предположить, что если контур С таков, что на небольшом его участке зна чения действительной части и(х,у) функции f(z) = и(х,у) + 4* iv(x,y) достигают наибольшей величины и затем быстро спа дают, а мнимая часть v(x,y) остается постоянной (чтобы обес печить отсутствие нежелательных быстрых осцилляций подын тегральной функции), то основной вклад в величину интегра ла (1) и дает интегрирование по данному участку контура С. Поэтому для приближенного вычисления интеграла (1) следует деформировать контур С так, чтобы подынтегральная функция
на нем обладала указанными свойствами. При этом, как было установлено нашими предыдущими рассмотрениями, необходи мая деформация контура С определяется в первую очередь то пографией поверхности уровня функции и(х,у). В частности, контур интегрирования должен проходить через седловую точ ку поверхности функции и(х, у) в направлении наибыстрейшего изменения этой функции.
Остановимся подробнее на топографии поверхности гармо нической функции и{х,у) в окрестности ее седловой точки Мо(хо,уо). Определим направления наибыстрейшего изменения этой функции, проходящие через точку M Q. Эти направления,
как известно, определяются направлением вектора grad w. Пусть gradw Ф 0. Так как для аналитической функции Vw • Vv = 0 (см. с. 37), то направление вектора gradw определяет кривую v(x,y) — const. Итак, если на кривой v(x,y) = const, gradw ф Ф 0, то функция и(х,у) изменяется вдоль этой кривой наиболее быстро. Однако в самой седловой точке M Q{XQ^ Q) поверхности функции и{х,у) вектор gradw(Mo) = 0. Рассмотрим подробнее поведение функций и(х,у) и v(x, у) в окрестности этой точки. Очевидно, в точке M Q производные функций и(х,у) и v(x,y) по
направлению I касательной к кривой w(x, у) — const, проходя щей через точку M Q, равны нулю:
^Ы ,У о ) = 0, ^ (®о ,у о ) = 0. |
(43) |
Так как производная аналитической функции не зависит от на правления, то отсюда следует, что
Следовательно, разложение функции f(z) в окрестности точки ZQ имеет вид
f{z) = f(z0) + ( z - ZQ)V{ CQ + Cl(z - ZQ) + ...}, |
(45) |
где p ^ 2 и со Ф 0. Положив Cn = rnel0n, n = 0 ,1 , ... , z — ZQ = = pextp, получим
/(г) - /(г 0) = p P {ro e^+ 'W + + ...} . (46)
Запишем уравнения кривых u(x,y) = |
const и v(x, у) = const, |
проходящих через точку ZQ, с п о м о щ ь ю введенных обозначений. |
Имеем |
|
|
U(р, ip) = г0 cos (pip + 0О) + pr\ cos [(р + |
1)ip -f 0х] + ... = 0, |
(47) |
V(р, <р) = го sin {pip + 9Q) + pri sin [(p -f 1)<p + $i] + ... = 0. |
(48) |
Здесь |
|
|
u {x,y)-u (x 0,yo) = p pt/(p,<p), v(x,y) - v {x 0iy0) = p*V(p,<p).
•0 А.Г. Свешников, A.H. Тихонов
274 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Так как функция cos (рср+ #о) при изменении у? от 0 до 2тг ме няет знак 2р раз, то из формулы (47) следует, что окрестность точки zo разбивается на 2р криволинейных секторов, внутри ко торых функция U(р, (р) сохраняет знак. Границы этих секторов определяются из решения уравнения (47). Секторы, в которых ?7(р,<р) < 0, будем по-прежнему называть отрицательными, а секторы, в которых С/(р, <р) > 0, - положительными. Направле ния наибыстрейшего убывания (наибыстрейшего спуска) функ ции «(я,?/), очевидно, лежат в отрицательных секторах и опре деляются теми значениями угла <р, при которых в окрестности
точки (хо,уо) V(p,<p) = |
0 и U(p,(p) < 0, т.е. cos (р<р4- #о) = |
— 1. |
Эти значения равны |
|
|
Pm ——— + |
~ ~ ~ '7 г , тп = 0 ,1 ,... ,р — 1. |
(49) |
рР
Отметим, что направления наибыстрейшего спуска совпадают с биссектрисами отрицательных секторов.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь случай р = 2,
случае имеются лишь два отрицательных сектора, внутри ко торых проходит линия наибыстрейшего спуска функции и(х,у). Направление касательной к этой линии в точке zo согласно фор муле (49) определяется углами
(50)
Очевидно, выбор угла <ро или (pi определяется заданием направ ления интегрирования вдоль линии наибыстрейшего спуска.
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы метода перевала.
Теорема 2. Пусть функции ip(z) и f(z) = и(х,у) +iv(x,y) являются аналитическими в области Q и удовлетворяют сле дующим условиям:
1) поверхность функции и(х, у) имеет внутри Q единствен ную седловую точку ZQ = хо + г?/о> причем f"(zo) ф 0;
2) существует такое 6 > 0, что на линии L постоянного значения функции v(x,y) = v(xo,yo), проходящей через точ ку zo, в обоих отрицательных секторах этой точки функция гфс,у) вне 6-окрестности точки ZQ удовлетворяет, условию
и(х0,уо) - и(х,у) ^ h > 0; |
(51) |
3) при некотором значении Ао > 0 сходится криволинейный интеграл
f \ip(z)\ex°u(x'yU s < М, |
(52) |
с |
|
где кривая С целиком лежит в области Q, причем ее начальная (z\) и конечная (z^) точки расположены в различных отрица тельных секторах точки ZQ так, что их можно соединить с кривой L кривыми 7 i и 72 конечной длины, на которых функция и(х,у) удовлетворяет условию (51).
Тогда для всех А ^ Ао имеет место асимптотическая фор мула
F(А) = / |
ф ) е Х1(г) dz = ел/(2о) |
27Г |
<p(zo)e'Vm+ 0 (\ -3/2) |
С |
|
A ifW i |
|
|
(53) |
|
|
|
где ipm = |
— — ^ + Ш7Г (га = 0,1) |
иво = |
arg f"(zo). Выбор значе- |
ния ipm определяет знак в формуле (53) и, естественно, зависит от направления интегрирования вдоль контура С.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Интеграл (53) не изменит сво его значения, если деформировать кривую интегрирования С в кривую Г = L + 7 i + 7 2. В силу условия (51) для интегралов по
кривым 7 i и 72 имеет место оценка |
|
J ip(z)ex^ z) dz = exttZo^O(e~Xh). |
(54) |
71,2
Рассмотрим интеграл
F i( A ) = / <р(г)еЛ/м dz. |
(55) |
L
Введем на кривой L натуральный параметрх) s, причем будем считать, что точке zo соответствует значение 5 = 0. Уравнение кривой L запишем в виде z = 2 (5 ). Произведя в интеграле (55)
замену переменной интегрирования, положив z = 2 (5), получим
ь
Fi(A) |
= eiAt,(Io,!/o) J |
(56) |
|
|
—а |
|
где |
|
|
|
Ф(5) = |
ф ( з ) ], |
U{s) = |
w[rc(5),?/(s)], |
|
0 < а < о о , |
0 < |
Ь < оо. |
Интеграл (56) удовлетворяет всем условиям теоремы 1 , при чем функция U(s) достигает своего максимального значения в
точке 5 |
л |
d2U I |
. |
п |
= 0, а |
ds2 15=0 |
< |
0. |
*) Понятие натурального параметра см. вып. 1.
276 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Тогда согласно (28) |
|
|
Fi( А) = ел/(2о) |
27Г Ф(0)г'(0) + 0 (А “ 3/2) |
(57) |
|
\U"{0) |
|
и остается выразить входящие в (57) величины через значения
функций (p(z) и f(z) в точке ZQ. Очевидно, Ф(0) |
= </?(Z Q ) . Так |
|
d2V |
Л |
|
|
|
|
как |
ps* |
ь = 0, то |
|
|
|
|
|
|
d2U _ |
2 |
|
|
d2z |
|
|
d f[z(s)] |
= r w ( | ) + |
m |
(58) |
|
|
ds2 |
ds2 |
|
|
|
|
d i2 ' |
Отсюда в силу (44) получим
(59)
ds2
Так как в окрестности точки zo с точностью до величин высше го порядка малости имеет место соотношение z — zo = set</7, то
^ = егуз, и остается определить направление касательной к
ds 5=0
кривой L в точке гоНо по самому способу построения кривой L касательная к этой кривой в точке ZQ совпадает с направлением наибыстрейшего изменения функции и (ж, у). Тогда из (50) для угла (рт получим формулу
<ртп= + ГО7Г, тп - 0, 1, (60)
где 0о = arg/'^zo), а значение m определяется направлением
интегрирования. Заметим, что |
d£U |
< 0 И |
dz |
= |
1. Тогда |
|
ds2 s=0 |
|
ds |
s=0 |
|
|
формулу (59) можно записать в виде |
|
|
|
|
|
d2U |
|
|
|
|
|
(61) |
ds2 s- о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
F(A) = еЛ'<20> |
|
+ 0 (А - 3/2)] |
, |
(62) |
где значение угла (ртдается формулой (60). Знак главного чле на в правой части (62) определяется выбором значения т и за висит от направления интегрирования вдоль кривой С.
Сделаем ряд замечаний по поводу доказанной теоремы.
За м е ч а н и е 1. Из доказанной теоремы следует, что если обе граничные точки Z\ и Z2 кривой интегрирования С лежат
водном и том же отрицательном секторе седловой точки zo, то для интеграла (1) имеет место оценка (54).
За м е ч а н и е 2. В приложениях особенно часто при
ходится рассматривать интегралы типа (1) в неограниченной
области с кривой интегрирования С, уходящей в бесконечность. Из проведенных рассмотрений очевидно, что в этом случае для сходимости интеграла (1) необходимо, чтобы кривая интегриро вания уходила в бесконечность в отрицательных секторах сед ловой точки ZQ. При этом теорема 2 и формула (53) сохраняют силу.
З а м е ч а н и е 3. Теорема 2 была доказана в предпо ложении, что точка zo является единственной седловой точкой поверхности функции и{х,у) в области Q и f"(zo) ф 0. Если эти предположения не выполнены, то могут быть проведены аналогичные рассмотрения, которые приводят к асимптотиче ским разложениям интеграла (1), подобным формуле (53). Од нако когда в области Q имеется несколько седловых точек, то выбор контура интегрирования требует специального исследо вания. Если контур интегрирования проходит через несколько седловых точек, то асимптотическое разложение интеграла (1) может содержать несколько слагаемых типа первого члена (53), имеющих один и тот же порядок, что может существенно изме нить окончательный результат.
Рассмотрим ряд примеров применения полученных резуль татов.
П р и м е р 2. Асимптотическая формула для функции Ханкеля.
Как известног), функция Ханкеля первого рода |
(ж) мо |
жет быть представлена с помощью |
|
интеграла |
|
я « ( 1 ) = |
- |
Г eixsinzil,z dz, |
(63) |
|
|
|
|
7Г J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
где контур интегрирования С на |
|
комплексной плоскости z переходит |
|
из полуполосы |
— ^ |
< |
Re гг |
< |
|
|
Im z > |
0 в полуполосу |
^ < |
|
Re z < |
|
< |я , Im z < 0 через точку ZQ = ^ |
|
(рис. 1). Эта точка является седло |
|
вой точкой |
функции |
f(z) |
= |
г sin 2 |
Рис. 1 |
в полосе |
0 |
< |
Re z |
< |
я, |
так |
как |
/ ' (т0 |
= |
0, |
/ " |
= |
—%Ф 0. |
Указанные выше полуполосы |
представляют собой отрицательные секторы этой седловой точ ки, что, в частности, обеспечивает сходимость данного несоб-)*
*) См. кн. А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972.
278 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ственного интеграла. Найдем асимптотическое значение этого интеграла при больших положительных значениях х \и\. Дан ный интеграл, где f(z) = i sin z, ip(z) = e~tuz, очевидно, удо влетворяет условиям теоремы 2. Поэтому для его вычисления может быть применен метод перевала. Так как f(z) = i cos z, то
7Г |
3 |
в полосе — - |
< Re z < -к находится лишь одна седловая точка |
z0 = | . При этом f(z0) = г, f'(z0) = 0, \f"(z0)\ = 1, #о = у .
Учитывая направление интегрирования, из (50) получим щ = = - у . Отметим, что это направление совпадает с биссектрисой
отрицательного сектора седловой точки zo = |
Окончательно |
на основании формулы (53) получим |
|
* - ? - Й ] + 0 ( ; ) Ь <«>
Формула (64) находит весьма широкое применение при решении различных задач, в которых приходится использовать асимпто тические представления цилиндрических функций.
П р и м е р 3. Асимптотическая формула для полиномов Лежандра*).
Будем исходить из интегрального представления*2) полино мов Лежандра
pK n+{H |
dip, 0 < 0 < 7Г. (65) |
J у/cos <p—cos в |
|
-в |
|
Как легко видеть, подынтегральная функция имеет интегри руемую особенность при ip = ±0. Нашей целью является по лучение асимптотического выражения для функции Pn(cos0) при больших значениях индекса п. Рассмотрим аналитиче ское продолжение подынтегральной функции на комплексную
*) Определение полиномов Лежандра и их основные свойства см. в кн. : А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972.
2)См. кн.: Н. Н. Л е б е д е в . Специальные функции и их приложения.
—М. : Гостехиздат, 1953. С. 76.
плоскость z = х 4- гу: |
|
|
exp |
i f w + i H * |
|
w(z) = — |
_ LA— и л - |
(66) |
VCOSZ — cos в |
|
Функция w является аналитической в верхней полуплоскости Im z > 0. Поэтому интеграл по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в верхней полуплоскости, от этой функ ции равен нулю. Выберем замк
|
|
|
|
|
|
|
|
нутый контур1 ) |
Г, |
состоящий -0+ iH |
в+т |
из отрезка (у = 0, —в ^ |
х ^ в) |
|
действительной оси, вертикаль |
|
ных отрезков (х = |
— в, 0 ^ |
у ^ |
|
< Я ), (х = |
0,0 |
< |
у |
^ |
Я ), |
|
параллельных |
мнимой |
оси, и |
|
замыкающего |
горизонтального |
|
отрезка (у = |
Я , —в |
^ |
х |
^ в) |
|
(рис. 2). Как легко видеть, на |
|
последнем отрезке модуль |
|
|
w\ = |
exp [ - Н |
И |
|
(67) |
Рис. 2 |
|
-у/COS ( X -f Ш ) |
— cos#| |
|
|
|
|
экспоненциально стремится к нулю при Я -> оо. Поэтому, пе
рейдя к пределу при Я |
—Уоо, получим |
|
|
и ехр |
[ * Н ) ч>\ dtp = I i+ h-, |
(68) |
■ |
I |
д/cos у? —cos в |
|
|
где |
-в |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
L |
V |
2 / J J |
dy |
(69) |
|
cos (9 —гу) —cos в |
|
И |
|
|
ОО ехр [ - М М dy. |
|
h = —гехр |
|
(70) |
|
|
К М ) * ] / ■^/cos (0 + гу) —cos 0 |
|
Для приближенного вычисления интегралов 1 \ и /г при больших значениях п применим метод перевала. Рассмотрим интеграл 1\
х) При этом особые точки z — ±6 обходим по дугам окружностей беско нечно малого радиуса, который затем устремляем к нулю.
280 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
(/2 вычисляется аналогично). Положим у — t2 и обозначим п + + - = А. Тогда из (69) получим
00 |
(71) |
Ф ( А ) = - г е а « / х =2Jд/cos (в — it2) —cos в |
i~xt2tdt |
|
Интеграл (71), очевидно, удовлетворяет всем условиям теоре мы 1, причем /(t) = —t2 и точка to = 0, в которой функция f(t) достигает своего максимального значения /(0) = 0, совпа дает с граничной точкой интервала интегрирования. При этом /"(0) = - 2 , а
± |
ехр ( - * ? ) |
|
ip{to) = lim - у —,, -оч |
= -----/ ^ . |
(72) |
y co s(^ -it2 ) —cos0 |
д/sin в |
|
Поэтому по формуле (28), в которой надо ввести дополнитель
ный множитель i так как точка to совпадает с граничной точ-
кой интервала интегрирования, получим
(73)
ф'А)= \ / ! ^ ехрН ) + °(л-3/2)’
откуда
h = г е х р [ - г ( п + 1) е ] [ ^ |
. . . . e x p f —J 7I + О ( г г ~ 3 ^2 ) |
Аналогично |
|
|
(74) |
|
|
|
h = - i e x p |
[ i ( n + | ) в] [ ^ |
(n + J 2y sin- a- e x P ( i f ) + |
0 ( n _ 3 / 2 ) |
|
|
(n + 1/2) I |
|
|
|
|
(75) |
Тогда после простых преобразований, учтя, что |
отли |
чается от |
на величину порядка 0 (п 3/2), получим оконча |
тельную асимптотическую формулу для многочленов Лежан дра, справедливую при п ^ 1 и О < 0 < 7 г :
p”(cos = / d b I008[(n+ 1)е ~ f ] + |
• (76) |
