книги / Теория функций комплексной переменной

половины круга \z\ < 1 , lm z > 0, на верхнюю полуплоскость Im w > 0.

Очевидно, данная область представляет собой двуугольник

осуществляет конформное отображение этого двуугольника на первый квадрант плоскости (, а функция

и дает искомое отображение.

§ 3. Функция Ж уковского

Так называется функция комплексной переменной

Эта функция была широко использована Н. Е. Жуковским при решении многих задач гидро- и аэродинамики.

Функция (6.53), очевидно, является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 0, предста­ вляющей собой полюс первого порядка данной функции. Вычис­ ляя производную функции (6.53), получаем

(6.54)

Отсюда следует, что производная функции Жуковского отлич­ на от нуля во всех точках плоскости z, кроме точек ± 1 . Тем самым отображение, осуществляемое этой функцией, является конформным в окрестности любой точки 2 , за исключением этих двух точек. Найдем области однолистности функции Жуковско­ го. Предположим, что две различные точки комплексной плос­ кости z\ Ф Z2 переводятся функцией f(z) в одну и ту же точку плоскости w, т. е.

Полученное соотношение означает, что областями однолистно­ сти функции Жуковского являются, в частности, области вну­ три (|z| < 1 ) и вне (М > 1 ) единичного круга. Обе эти обла­ сти функцией (6.53) отображаются конформно на одну и ту же область плоскости w. Чтобы определить эту область, рассмо­ трим отображение окружностей \z\ —го, осуществляемое функ­ цией (6.53). Для этого перейдем к показательной форме записи

комплексных чисел: z = гег<р — и найдем выражение действи­ тельной и мнимой частей функции (6.53):

Из соотношения (6.58) следует, что функция (6.53) отображает концентрические окружности \z\ = го в эллипсы. Как легко ви­ деть, фокусы всех эллипсов (6.58) лежат в одних и тех же точках действительной оси и:

Тем самым функция (6.53) производит отображение семейства концентрических окружностей \z\ = го плоскости z на семей­ ство софокусных ЭЛЛИПСОВ ПЛОСКОСТИ W. При ЭТОМ, если 7*1 < 1, то положительному направлению обхода окружности \z\ = г\ соот­ ветствует отрицательное направление обхода эллипса (6.58); ес-

ли г2 = — > 1 , то положительному направлению обхода окруж­

ности \z\ = г2 соответствует положительное направление обхода эллипса (6.58). При п -> 1 эллипс (6.58) вырождается в от­ резок [—1,1] действительной оси и, проходимый дважды. При Т\ —у 0 эллипс (6.58) переходит в окружность бесконечно боль­ шого радиуса. Тем самым функция (6.58) производит конформ­ ное отображение области внутри единичного круга \z\ < 1 на плоскости z на плоскость го, разрезанную по отрезку [—1 , 1]

действительной оси. Граница области — окружность |лг| = 1 — отображается на этот отрезок, причем верхняя полуокружность отображается на нижний, а нижняя — на верхний берег разреза. Аналогично область \z\ > 1 вне единичного круга на плоскости z отображается на второй экземпляр плоскости ги, разрезанной по отрезку [—1 , 1] действительной оси, причем верхняя полуокруж­ ность \z\ —1 , Im z > 0, отображается на верхний берег, а нижняя полуокружность \z\ — 1 , Im z < 0 — на нижний берег разреза. Тем самым функция Жуковского (6.53) осуществляет конформ­

ное отображение полной плоскости z на риманову поверхность обратной функции

Риманова поверхность функции (6.60) представляет собой двулистную поверхность, составленную из двух экземпляров плоскости w, разрезанной вдоль отрезка [—1 , 1] действительной оси. Нижний берег разреза одного листа склеен с верхним бере­ гом разреза другого листа, и наоборот. Функция (6.60) является однозначной аналитической функцией на своей римановой по­ верхности, имеющей две точки разветвления w = ± 1 , при обхо­ де каждой из которых происходит переход с одного листа этой римановой поверхности на ее другой лист. Заметим, что при одновременном обходе обеих точек разветвления w = ± 1 по за­ мкнутой кривой, не пересекающей отрезка [—1 , 1], мы все время находимся на одном и том же листе.

Итак, функции (6.53) и (6.60) устанавливают взаимно од­ нозначное соответствие между полной плоскостью z и данной римановой поверхностью. Отображение, осуществляемое этими функциями, является всюду конформным, за исключением то­ чек z = ± 1 , в которых производная функции (6.53) равна нулю. Заметим, что этим точкам соответствуют точки w = ± 1 , яв­ ляющиеся точками разветвления функции (6.60), обратной по отношению к функции (6.53).

В заключение найдем образ лучей aigz = tpo при отобра­ жении, осуществляемом функцией Жуковского. Для этого ис­ ключим из соотношений (6.57) параметр г и положим tp = tpo. Тогда

(6.61)

cos2<ро sin2tpo

Соотношение (6.61) означает, что при отображении (6.53) отрез­ ки лучей argz = tpo переходят в ветви гиперболы (6.61). Отме­ тим, что при любом значении щ фокусы этой гиперболы на­ ходятся в точках ± 1 . Тем самым функция Жуковского осуще­ ствляет преобразование ортогональной системы полярных ко­ ординат на плоскости z в ортогональную криволинейную систе­ му координат, координатными линиями которой являются софокусные семейства эллипсов (6.58) и гипербол (6.61).

Как уже отмечалось, функция Жуковского находит весь­ ма широкое применение при решении многих конкретных задач конформных отображений, особенно связанных с исследованием гидродинамических проблем. На этих вопросах мы остановим­ ся несколько позже, а сейчас рассмотрим еще одну функцию, находящую многочисленные приложения.

§ 4. Интеграл Шварца—Кристоффеля. Отображение многоугольников

Пусть на комплексной плоскости w задан n-угольник с вер­

= п — 2, п > 2.^ Пусть требуется построить конформное ото­

бражение верхней полуплоскости z на внутренность такого мно­ гоугольника. Эта задача решается с помощью так называемого интеграла Шварца-Кристоффеля, изучение некоторых свойств которого и составляет содержание настоящего параграфа.

Рассмотрим функцию комплексной переменной 2 , определен­ ную в верхней полуплоскости z с помощью выражения

... , ап —действительные числа, расположенные в порядке воз­ растания; a i , . . . , a n — положительные постоянные, удовлетво­ ряющие условиям

В подынтегральном выражении выбраны те ветви функций

(С ” at)a*_ 1j которые являются непосредственным аналитиче­

ским продолжением в верхнюю полуплоскость действительных функций (х —щ)а' ~ 1 действительной переменной х > аг-. В та­ ком случав функция (6.62) является однозначной аналитической функцией в верхней полуплоскости Im z > 0. Точки а*, лежащие на действительной оси, являются особыми точками этой функ­ ции. Функция (6.62) и называется интегралом Шварца-Крис­ тоффеля. Функция (6.62) при соответствующем выборе точек щ осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на область внутри некоторого n-угольника на плос­ кости w. Будем вначале считать, что все числа а* ограничены. Покажем, что при этом функция (6.62) остается ограниченной всюду при Im z ^ 0. В силу условия (6.64) интеграл (6.62) оста­ ется ограниченным в окрестности особых точек щ. Убедимся, что интеграл (6.62) остается ограниченным и при z -» 00. Преоб-

разуем подынтегральную функцию, использовав условие (6.63):

Из полученного выражения и следует сходимость интеграла при z —f оо. Таким образом, интеграл (6.62), являющийся однозначной аналитической функцией z в верхней полуплоскости Im z > О, осуществляет отображение этой полуплоскости на некоторую ограниченную область Q плоскости w.

Посмотрим, в какую кривую при этом переходит действи­ тельная ось плоскости г. Рассмотрим выражение производной

Из этого выражения следует, что производная функции f(z) отлична от нуля всюду в верхней полуплоскости Im z ^ 0, за ис­ ключением особых точек а;, в которых она обращается в нуль или бесконечность. При изменении z на каждом из интервалов ак < х < dk+i (к = 1 , ... ,п — 1 ) действительной оси аргумент производной не меняется. Действительно, в силу указанного вы­ ше выбора ветвей функций (z — о,-)04-1 аргумент этих функций

что и доказывает высказанное утверждение. В силу геометри­ ческого смысла аргумента производнойх) это означает, что от­ резки действительной оси ак < х < йк+\ функцией f(z) ото­ бражаются также на прямолинейные отрезки плоскости w. При этом точки ак действительной оси функцией (6.62) переводятся в точки Ак плоскости w — концы соответствующих прямоли­ нейных отрезков АкАк+i, на которые функция (6.62) отобра­ жает отрезки действительной оси [а ь ^ -н ]. Тем самым функ­ ция (6.62), непрерывная и однозначная на действительной оси, производит отображение действительной оси плоскости z на некоторую замкнутую ломаную А1 А2 ... Ап, звеньями которой являются прямолинейные отрезки AkAk+i (рис. 6.13 а). При этом, когда точка z проходит всю действительную ось в поло­ жительном направлении, соответствующая ей точка w соверша-

х) Аргумент производной функции /(г ) в точке го определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к любой гладкой кривой 7, проходящей через точку го, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке гио = f(zo).

190 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ГЛ. 6

С\ равна нулю. Отсюда

Функция (6.71) определена с точностью до постоянного мно­ жителя, определяющего преобразование подобия. Данный про­ извол связан с тем, что условия (6.70) содержат требование соответствия лишь двух граничных точек, а, как мы видели (см. замечание на с. 171), функция, осуществляющая конформ­ ное отображение, однозначно определяется заданием соответ­ ствия трех граничных точек. Потребовав, например, чтобы на­ ряду с (6.70) имело место дополнительное соответствие гранич­ ных точек

z = 1 —¥ w = 1 ,

определим значение оставшейся в (6.71) произвольной постоян­ ной С —а.

Итак, окончательно, функция

осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на заданный сектор плоскости w. При этом в силу ука­ занного выше выбора ветвей в подынтегральной функции инте­ грала Шварца-Кристоффеля (6.62) должна быть взята та ветвь многозначной функции (6.72), которая является непосредствен­ ным аналитическим продолжением действительной функции ха действительной положительной переменной х.

П р и м е р 2. Найти функцию, конформно отображающую верхнюю полуплоскость Im z > 0 на прямоугольник А1 А2А3 А4 (рис. 6.15).

7?777?/7?77Я>/7?7? z~ ~ \ 2="1 Z=1 2=1 2= i

Рис. 6.15

Пусть вершины прямоугольника на плоскости w расположены в точках A\{w = а), ^ 2(10 = 0 + 26), Az(w = — a + ib), А 4(tu = — а). Положим, что с помощью некоторой функции fi(z) произве­ дено конформное отображение первого квадранта плоскости z