книги / Теория функций комплексной переменной

Функция V (к) (55) является аналитической функцией комплекс­ ной переменной к в полосе —1 < Im к < 1. Представим выраже­ ние

в виде (51), где

Функция £+(&) в (57) является аналитической и отличной от нуля функцией /с в области Im к > Im у/2 Х — 1. При 0 < Л < < - эта область определяется условием Im к > л/1 —2А, причем

у/ 1 —2А ^ jj, < 1 . При Л > - функция L+(k) является аналити-

а

ческой и отличной от нуля в области Im к > 0. Функция £_(& ), очевидно, представляет собой отличную от нуля аналитическую

функцию в области Im к < 1 . Поэтому при 0 < Л < -> обе функции удовлетворяют требуемым условиям в полосе ц < Im к < 1 .

При iZ < Л общей областью аналитичности функций £+(&) и

L-(k) является полоса 0 < Im А: < 1 . Таким образом, необходи­ мая факторизация функции (56) произведена.

Рассмотрим выражения U±(k)L±(k). Так как U±(k) —> 0 при |&| —> оо, a L±(A;), согласно (57), растут на бесконечности, как первая степень к, то целая функция Рп(к), совпадающая с

U+(k)L+(k) при Im к > у. и с U-(k)L-(k) при Im к < 1 , может быть лишь полиномом нулевой степени. Поэтому

—оо+гт

где fJL < Т < 1.

Для вычисления интеграла (60) можно применить методы гл. 5. Замкнув контур интегрирования при х > 0 дугой полу­ окружности в нижней полуплоскости и оценив интеграл по этой дуге с помощью леммы Жордана, после элементарных вычисле-

ний получим

на бесконечности.

Итак, уже пример решения однородного интегрального урав­ нения (38) выявляет основную идею метода Винера-Хопфа, за­ ключающуюся в представлении с помощью факторизации ис­ ходного функционального уравнения (47) в виде целой функ­ ции (49). Дадим теперь обоснование возможности факторизации аналитической функции комплексной переменной, причем бу­ дем исходить из несколько более общего функционального урав­ нения, чем уравнение (47).

4. О бщ ая схем а метода В и н ер а-Х оп ф а. В общем случае задача, решаемая методом Винера-Хопфа, сводится к следую­ щей.

Требуется определить функции Ф+(&) и Ф_(&) комплексной переменной к, аналитические соответственно в полуплоскостях Im к > т_ и Im к < т+ (т_ < т+), стремящиеся к нулю при |&| —> оо в своих областях аналитичности и удовлетворяющие в

Здесь А{к), В (к), С (к) — заданные функции комплексной переменной к, аналитические в полосе т_ < Im к < т+, причем А(к) и В (к) отличны от нуля в этой полосе.

Основная идея решения этой задачи основана на возмож­ ности факторизации выражения А(к)/В(к), т. е. возможности представить его в виде

А(к) _ Ь+(к) В (к) L - (к) ’

где функции L+ (к) и L - (к) являются аналитическими и отлич­ ными от нуля соответственно в полуплоскостях Im к > т_ и Im к < т+, причем полосы т_ < Im к < т+ и т'_ < Im к < т’+

имеют общую часть. Тогда с помощью (63) уравнение (62) мож­ но переписать в виде

Если последнее слагаемое в (64) можно представить в виде

294 ПРИЛОЖЕНИЕ 2

где функции D+(k) и D-(k) являются аналитическими в полу­

Левая часть (66) представляет собой функцию, аналитическую в полуплоскости т£ < Im к, правая — функцию, аналитиче­ скую в области Im к < т\. Из равенства этих функций в полосе т£ < Im к < т+ следует, что существует единственная целая функция Р{к), совпадающая соответственно с левой и правой частями (66) в областях их аналитичности. Если все функции, входящие в правые части (63) и (65), растут на бесконечности

в своих областях аналитичности не быстрее, чем кп+1, то из условия Ф±(&) —)• 0 при \к\ —> оо следует, что Р{к) является

полиномом Рп(к) степени не выше п. Тем самым равенства

И

определяют искомые функции с точностью до постоянных. По­ следние могут быть найдены из дополнительных условий задачи.

Итак, применение метода Винера-Хопфа основано на пред­ ставлениях (63) и (65). Возможность этих представлений обес­ печивается следующими леммами.

Лемма 1 . Пусть функция F(k) является аналитической

где функция F+(k) — аналитическая в полуплоскости Im к >

>т_, а функция F-(k) — в полуплоскости Im k < r + .

До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольную

точку ко, лежащую в данной полосе, и. построим прямоуголь­ ник abed, содержащий точку ко, внутри и ограниченный отрез­ ками прямых Im к — т'_, Im к = т'+, Re к = —A, Re к = А,

За м е ч а н и е 1 . Заметим, что из сходимости интегралов

(72)и (73) следует ограниченность построенных таким образом функций F+ (к) и F-(k) при \к\ -> оо в данной полосе.

Лемма 2 . Пусть функция Ф (к) является аналитической и отличной от нуля в полосе т_ < Im к < т+, причем Ф (к) равномерно в этой полосе стремится к единице при |/?| —> оо. Тогда в данной полосе имеет место представление

где функции Ф+(к) и Ф-(к) являются аналитическими и от­ личными от нуля соответственно в полуплоскостях Im к > г- и Im к < т+ .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим функцию F(k) = = 1п Ф (к), которая, очевидно, удовлетворяет всем условиям лем­ мы 1 . Поэтому для функции F(k) возможно представление (71)—(73). Полагая

откуда и следует соотношение (74). Так как функции * + (* ) и F-(k), согласно лемме 1, являются аналитическими в полуплос­ костях Im к > т- и Im к < т+ соответственно, то и функции Ф+(&) и Ф-(&), определенные по формулам (75), будут обладать требуемыми свойствами. Лемма доказана.

З а м е ч а н и е 2 . Возможность факторизации (74) сохра­ няется в том случае, когда функция Ф(&) имеет конечное число нулей к{ в полосе т_ < Im к<т+.

Для доказательства леммы 2 в этом случае достаточно ввести

где щ — кратность нуля k{\N —полное число нулей с учетом их кратности; положительная постоянная Ь > |т_|, |т+ | выбирается из условия, чтобы функция, стоящая под знаком логарифма, не имела дополнительных нулей в полосе т_ < Im к < т+ . Послед­ няя функция, очевидно, стремится на бесконечности к единице. Построенная таким образом функция F(k) по-прежнему удовле­ творяет всем условиям леммы 1 .

Доказанные леммы и определяют возможность представле­ ний (63), (65), составляющих основу метода Винера-Хопфа.

Это уравнение часто называется уравнением переноса или транспортным уравнением. Оно справедливо не только в случае рассмотренной конкретной физической задачи, но и для многих других физических процессов, связанных с переносом вещества

или излучения1).

Для дальнейшего удобно переписать уравнение (93) в несколько ином виде, введя безразмерную пространственную ко­

ординату £, связанную с х соотношением х = А£, где Л = 1 nQo

средняя длина свободного пробега. Тогда уравнение переноса примет вид 2)

Функция /(£, д) должна быть подчинена граничным услови­ ям, вытекающим из физической постановки задачи. Будем счи­ тать, что поток нейтронов из внешнего полупространства £ < 0 равен нулю, а при £ -> оо имеется постоянный поток нейтро­ нов единичной мощности в отрицательном направлении оси £ (т.е. при £ -> оо отсутствуют нейтроны, направление скоро­ сти которых составляет с отрицательным направлением оси £ острый угол, отличный от нуля). Тогда граничные условия для функции /(£,/2) запишутся в виде

Установим важные следствия уравнения (94) и условий (9 5), для чего сначала проинтегрируем (94) по ц:

= - Ж ) + / » (? )= 0. (96)

Так как интеграл i(£) = / /(£,//)// d/i равен потоку нейтронов

- 1

*) Подробный вывод уравнения переноса для более общих случаев см., например, в кн. : М о р с и Ф е ш б а х . Методы теоретической физики.

Т.1. - М. : ИЛ, 1958.

2)Мы сохранили для функции /(£, у) старое обозначение.