книги / Теория функций комплексной переменной

где Г + представляет собой полную границу области Q, прохо­ димую в положительном направлении.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Напомним, что если функция f(z)

является аналитической в замкнутой области Q, то все точки границы Г этой области суть правильные точки функции f{z). Выделим каждую из особых точек Zk функции f(z) замкнутым контуром тк, не содержащим внутри других особых точек, кроме

ТОЧКИ Z k .

Взамкнутой многосвязной области, ограниченной контуром

Ги всеми контурами тк (рис. 5.1) функция f(z) является всюду аналитической.

Поэтому по второй теореме Коши получим

Перенеся второе слагаемое в (5.16) направо, мы в силу формулы (5.4) и получим утверждение теоремы:

Большое практическое значение этой формулы заключается

втом, что во многих случаях оказывается гораздо проще вычис­ лить вычеты функции f(z)

вособых точках, лежащих

внутри области интегриро­ вания, чем непосредственно вычислять интеграл, стоя­ щий в левой части (5.15). В дальнейшем мы рассмо­ трим ряд важных приложе­ ний полученной формулы, а сейчас введем еще одно по­ нятие — понятие вычета в бесконечно удаленной точке.

Пусть точка z = оо явля­

ется изолированной особой точкой аналитической функции f(z). Вычетом аналитической функции f(z) в точке z —oo на­

зывается комплексное число, равное значению интеграла

С с +

где контур С — произвольный замкнутый контур, вне кото-

5*

рого функция f(z) является аналитической и не имеет особых точек, отличных от оо. Очевидно, в силу определения коэф­ фициентов ряда Лорана имеет место формула

Отсюда, в частности, следует, что если точка z —оо является устранимой особой точкой функции f{z), то Выч [f(z), оо] может оказаться отличным от нуля, в то время как вычет в конечной устранимой особой точке всегда равен нулю.

Формулы (5.15) и (5.17) позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 5.2. Пусть функция f(z) является аналитиче­ ской на полной комплексной плоскости, за исключением конеч­ ного числа изолированных особых точек zk (к = 1 , 2 , .. . , iV), включая и z = оо (zN = оо). Тогда

N

k= 1

Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, рассмотрим замкнутый контур С, содержащий внутри все (N — 1) особые точки Zk, расположенные на конечном расстоянии от точки z = = 0. По теореме 5.1

Но, в силу (5.17), интеграл, стоящий слева, равен вычету функ­ ции f(z) в точке z = оо, взятому с обратным знаком, откуда и получим утверждение теоремы 5.2.

Доказанная теорема иногда позволяет упростить вычисление интеграла от функции комплексной переменной по замкнуто­ му контуру. Пусть функция f(z) является однозначной и ана­ литической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и требуется вы­ числить интеграл от f(z) по некоторому замкнутому контуру Г. Если внутри Г содержится много особых точек функции f(z), то применение формулы (5.15) может быть сопряжено с весь­ ма трудоемкими вычислениями. При этом может оказаться, что вне Г функция f(z) имеет лишь несколько особых точек Zk (к —

— 1 , 2 , . . . , т ) , значение вычетов в которых, а также вычет в бесконечно удаленной точке определяются достаточно просто. Тогда удобнее вместо прямого вычисления искомого интеграла

§2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 135

Особыми точками подынтегральной функции являются нули

00

2.Интегралы вида f f(x)dx. В этом пункте мы рас-

—оо

смотрим применение теории вычетов к вычислению несобствен-

оо

ных интегралов первого рода*) вида f f(x) dx. Мы будем рас-

-О О

сматривать тот случай, когда функция f(x) задана на всей дей­ ствительной оси и может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость так, что ее продолжение удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Эти условия будут сфор­ мулированы ниже в теореме 5.3.

Для дальнейших рассмотрений нам потребуются некоторые вспомогательные положения.

Лемма 1. Пусть функция f(z) является аналитической в верхней полуплоскости Im z > 0 всюду, за исключением конеч­ ного числа изолированных особых точек, и существуют такие положительные числа RQ, М и 6, что для всех точек верх­ ней полуплоскости, удовлетворяющих условию \z\ > RQ, имеет место оценка

*) Определение несобственных интегралов см. вып. 2.

136 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. 5

Тогда

R-toо

C'R

где контур интегрирования C'R представляет собой полу­ окружность \z\ — R, Im z > 0 в верхней полуплоскости z

(рис. 5.2).

Действительно, в силу (1.41) и условий леммы при R > RQ

случае разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности z = оо имеет вид

_ Ф&)

*2 ’

причем \ф(г)\ < М, откуда и следует оценка (5.29) при 8 —1 .

Лемма 1 находит широкое применение при вычислении ряда

ОО

несобственных интегралов вида / f(x) dx.

— СО

Теорема 5.3. Пусть функция /(ж), заданная на всей дей­ ствительной оси —оо < х < оо, может быть аналитиче­ ски продолжена на верхнюю полуплоскость Im z ^ 0, причем ее аналитическое продолжение, функция f(z), удовлетворяет условиям леммы 1 и не имеет особых точек на действитель-

ОО

ной оси. Тогда несобственный интеграл первогорода J f(x) dx

—ОО

§2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 137

существует и равен

где Zk — особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию теоремы функция f(z) в верхней полуплоскости имеет конечное число особых точек г*, причем все они удовлетворяют условию \zk\ < RQ. Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси —

— полуокружности с*. М= R, в верхней

полуплоскости. В силу основной теоремы теории вычетов

Так как выполнены условия леммы 1, то предел второго слагае­ мого в левой части (5.32) при R —>оо равен нулю; правая часть (5.32) при R > До от R не зависит. Отсюда следует, что пре­ дел первого слагаемого существует и его значение определяется формулой (5.31). Теорема доказана.

П р и м е р 2. Вычислить интеграл

оо

Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верх­

нюю полуплоскость, функция /(г) = -гт т , очевидно, удовле-

творяет условиям теоремы 5.3. Ее особыми точками в верхней полуплоскости являются точки год = ехр ^,7Г-— ^ (к —0,1),

причем обе эти точки — полюсы первого порядка. Поэтому

= 2” {Выч [тт?’ехр Of)] +Выч [гт?’ехр От)]} "

З а м е ч а н и е 1. Если функция f(x) является четной функцией и удовлетворяет условиям теоремы 5.3, то

138 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. 5

Действительно, если f(x) — четная функция, то

откуда и следует формула (5.35).

З а м е ч а н и е 2. Очевидно, имеет место аналогичная тео­ рема и в том случае, когда аналитическое продолжение функции f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям леммы,

Вычисление следующего важного класса несобственных инте­ гралов с помощью теории вычетов основано на применении так называемой леммы Жордана, к доказательству которой мы сей­

час перейдем.

Лемма 2 (лемма Жордана). Пусть функция f(z) яв­ ляется аналитической в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и

где C'R — дуга полуокружности \z\ = R в верхней полуплоско­ сти z.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Условие равномерного стремления

где PR —>0 при R —Уоо. С помощью соотношения (5.37) оценим исследуемый интеграл. Сделаем замену переменной, положив £ = Rettp, и воспользуемся очевидным соотношением

что и доказывает лемму.