книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

найдется хотя бы один корень, обладающий положительной действи­ тельной частью. Исследование уравнения (37) показывает, что области неустойчивости матричного уравнения (36) располагаются вблизи частот

тической нагрузкой с параметром а. Эти частоты определяют из урав­ нения

* Механическую систему с конечным числом степеней свободы называю! гамильтоновой, если уравнения ее движения могут быть представлены в кано­ нической форме Гамильтона. К нсгамильтоновым системам приходим, напри­

мер, рассматривая колебания стержня, нагруженного следящими силами [8]

362 Параметрические колебания упругих систем

Определитель, стоящий в левой части, следует понимать в том смысле, что на месте каждого его элемента стоит матрица порядка п, где п — число членов ряда (11). Например, удерживая в определителе (42) одни лишь выписанные члены, получим определитель порядка 3п. Границы главной области неустойчивости (п = 1) в первом прибли­ жении могут быть найдены из уравнения 17]

и отыскания корней алгебраических уравнений высоких степеней. Эти операции, однако, не представляют затруднений для электронных цифровых машин.

Применение метода малого параметра. Для аналитических вычисле­

Примером, где это условие не выполнено, может служить задача об устойчивости плоской формы изгиба (см. 354—355). Пусть в уравне­ ниях (20) и (22) М (0 = рсоз 0/. Тогда уравнение (22) имеет вид (44), где С0 = С,

•Ч 9 1-а>1

И = С”1А =

Ык

Ширина главных областей имеет в этом случае порядок р2. Границы комбинационной области согласно формуле (47) определяют как

где Р* — критическое зи чеиие параметра для соответствующе;’ ческой задачи:

ВЛИЯНИЕ ДЕМПФИРОВАНИЯ НА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Уравнения для границ областей неустойчивости. Ограничимся про­ стейшим случаем уравнения Матье (26) с диссипативным членом

здесь е — коэффициент демпфирования. Области неустойчивости попрежнему располагаются вблизи частот, определяемых по формуле (2/). При п = 1,3, границы областей неустойчивости находят из урав­ нения [7]

Влияние демпфирования в общем случае. Если параметрические ко­ лебания описываются системой дифференциальных уравнений с периоди­ ческими коэффициентами, то расчет областей неустойчивости при на­ личии демпфирования усложняется. Некоторые приближенные методы указаны в книге [71. Метод малого параметра дает для определения границ комбинационных областей следующую приближенную фор­ мулу [28]:

при определенных условиях введение малого демпфирования может приводить к расширению комбинационных областей неустойчивости. Аналогичное явление было обнаружено в задачах устойчивости упру­ гих систем, находящихся под действием непотенциальных сил [8 ].

ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В НЕВОЗМУЩЕННОМ СОСТОЯНИИ

Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний можно трактовать как задачи об устойчивости некоторых

ния стержня, в случае рис. 1, 6 — радиальные колебания кольца, в случае 1, в — колебания пластинки в своей плоскости и т. д. Однако весь предыдущий анализ базировался на предположении, что переме­ щения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи для случая упругого стержня, сжимае­ мого периодической продольной силон (рис. 3).

Пусть и (х, I) — продольное перемещение точек; V(*, 0 — попереч­ ное перемещение точек, принадлежащих оси стержня; ЕР — жесткость сечения при растяжении-сжатии. С учетом наиболее существенных не­

Через гх обозн чена продольная деформация оси стержня, т. е.

ди . 1 / до \ а

366 Параметрические' колебания упругих систем

Решение уравнений (53) должно удовлетворять-граничным условиям

и = иа-\- ы,. и — о0+ Ъ, где и и о — малые возмущения, и линеари­ зируя уравнение (53),относительно этих возмущений, придем к следую­ щим уравнениям в вариациях:.

Уравнения (56) подробно исследованы в книге [7]. Важнейший ре­ зультат, относящийся к главной области параметрического резонанса, состоит в следующем: помимо резонанса вблизи соотношения 0 = 2Й, возможно возбуждение поперечных колебаний 0 = ш/ (со/ — частота продольных колебаний).

Физическое истолкование результата. Вблизи 0 = со/ имеет место резонанс продольных колебаний, вследствие чего резко возрастает динамическая продольная сила в стержне. Поэтому жесткость стержня по отношению к поперечным колебаниям вблизи 0 = со; является перио­ дической функцией времени с большой амплитудой изменения. Глав­ ные области параметрического возбуждения при отсутствии демпфиро­ вания показаны на рис. 10. При больших значениях коэффициента возбуждения р области сливаются.

Дальнейшие подробности можно найти в книге [7]. Там же рас­ смотрен в уточненной постановке ряд других задач (параметрические колебания криволинейных стержней, балок, рам, пластин и т. д.).

УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ

УПРУГИХ СИСТЕМ

Общие замечания. Рассмотрение параметрических колебаний в ли­ нейной постановке позволяет найти границы областей неустойчивости и описать поведение упругих систем в течение начального периода возбуждения параметрических колебаний. Согласно линейной теории амплитуды параметрических колебаний возрастают со временем по экспоненциальному закону. Для того чтобы найти амплитуды устано­ вившихся колебаний, необходимо рассмотреть задачу в нелинейной постановке, удерживая в уравнениях члены, которые обычно (напри­ мер, при изучении вынужденных колебаний) игнори­ руются.

Простейшая нелинейная задача. Нелинейные пара­ метрические колебания упругих систем рассматривались впервые в работах [4, 101 и позднее в статьях [6, 16, 25, 28, 29]. Приведем некоторые сведения, относя­ щиеся к простейшей задаче о колебаниях опертого стержня, сжатого периодической продольной силой. Пусть на подвижной опоре стержня (рлс. 11) имеется линейная упругая связь, препятствующая продольным перемещениям, продольный линейный демпфер и сосре­ доточенная масса. Полагая, что

V {х, 0 = / (0 51П - р

*(х,и

получим, что колебания системы приближенно описы­ ваются нелинейным дифференциальным уравнением

• ж + 2е ■§■+ 22 (* ~ 2* с05 е'> / +

В уравнении (57) использованы те же обозначения, что и в урав­ нении (48); кроме того, в это уравнение входит нелинейная функция

368 Параметрические колебания упругих систем

здесь у. ро и х — некоторые постоянные коэффициенты. Первый член в формуле (58) учитывает влияние продольной упругой связи, второй — влияние продольного демпфера, третий — влияние сосредоточенной массы, закрепленной на подвижном конце.

Графики зависимости амплитуды а0 от частоты возбуждения 9 схематически показаны на рис. 12, а—в в окрестности главного параметрического резонанса.

Рассмотрены три случая:

а) у > 0, е0 = к = 0; б) е0 > 0, у —х = 0, в) и > 0, у = еп — 0*

Штриховыми линиями обозначены неустойчивые решения (подробнее см. работы [7,10]). Там же дано решение различных нелинейных задач о параметрических колебаниях стержней, стержневых систем, пласти­ нок. Параметрические колебания упругих систем в нелинейной поста­

Т.6. Вып. 5. 1952.

2.Б е л я е в Н. М. Устойчивость призматических стержней под дей­

ствием переменных продольных сил. Сб. «Инженерные сооружения и строи­

периодическими продольными силами. Сб. «Поперечные колебания и крити­ ческие скорости». Вып. I. Изд-во АН СССР, 1951.

7.Б о л о т и н В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. Гостехиздат, 1956.

8.Б о л о т и н В. В. Неконсервативные задачи теории упругой у с т о й ­ чивости. Физматгиз, 1961.

13.Д ж а и е л и д з с Г. 10. Устойчивость упругих систем при динами­

ческих нагрузках. Сб. «Проблемы устойчивости в строительной механике*. Стройнздат, 1965.

14.К р е й н М. Г. Основные положения теории Л — зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периоди­

линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Прикладная математика и механика. Т. 21. Вып. 5, 1957.

21. Я к у б о в и ч В. А. Метод малого параметра для канонических систем с периодическими коэффициентами. Прикладная математика и меха­ ника. Т. 23. Вып. I, 1959.

22.Е V а п • I V а п о V з к I К. М. Оп 1ке рагатсЫс гезропзс о! 5(гис1игез. Арр1. МесЬ. КеУ., уо1. 18, п. 9. 1965.

23.М е Ш е г Е. А11дсте1пе ТНеопо с!ег 8(аЫШа1 еггугилдепег 5сН\у1п-

дипдеп ектзИзсЬег Кбгрег. 1пдеп1еиг—А г с Ы у , Вб. 17, п. 6, 1949.

24.М е I 11 е г Е. Оупапйс ЬискИпд. НапбЬоок о! Елд1пеегшд МесЬа- п!сз (еб. Ьу \у. Р1йдде), Мс Ога\у-Н111, №\у-Уогк, 1962.

25.Р 1з г с г е к К. Рагатс1пс сотЫлаНоп гсзопапсе (о! 1Нс зесолб

к1пб) 1п попПпеаг зуз1ешз. Рогргалуу 1пгк., 1. 8, 1960.

Глава 7

КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК

Уравнение изгиба пластинки в ортогональной системе координат для динамического случая. Пусть срединная поверхность изотропной пластинки постоянной толщины Н отнесена к ортогональной криво­ линейной системе координат хгх2 (рис. 1). Дифференциальное уравнение малых поперечных колеба­ ний в рамках гипотез Кирхго­

фа-Лява будет

ОДДш + рЛ -щ т = <?; (1)

здесь ш—прогиб пластинки; 0 =

ЕН.3

— 12 (1 _ ^2) ~ Цилиндрическая

жесткость; р — плотность мате­ Рнс. 1 риала; ц (х1( х2, 0 — интенсив­ ность поперечной нагрузки; Е —

модуль упругости; V — коэффициент Пуассона;

Н гН Л дхЛ Н ! дх,)

обобщенный оператор Лапласа; Яц Я 2 — параметры Ламе.