книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

в котором р- (а) определяется формулой (78). На рис. 20, а схематически показана амплитудно-частотная характеристика, а на рис. 20, б — из­ менение амплитуды а при изменении частоты ю возмущения от нуля до значения со* и затем от значения со* до нуля. В системах с демпфирова­ нием срыв амплитуды неизбежен даже при монотонном увеличении

частоты.

Для построения высших приближений используют метод БубноваГалеркина. Закон движения принимают в виде суммы (95) и вместо уравнений (96) получают систему уравнений

Нелинейные диссипативные системы

Рассмотрим случаи, когда характеристика восстанавливающей силы линейна, а нелинейность системы обусловлена действием нелинейных сил трения.

Свободные колебания. С и с т е м а с к в а д р а т и ч н ы м з а ­

где Р — коэффициент, зависящий от вязких свойств системы. Если о0 = = 0 и с0 — начальное смещение системы, то следующее наибольшее по величине отклонение ах (достигаемое через полупериод колебаний)

по истечении еще одного полупериода) определяют из трансцендентного уравнения

и т. д.

Для графического последовательного решения уравнений типа (102) и х.103) удобно воспользоваться стандартной кривой (рис. 21, а)

точку А 1ъ определяющую значение | |р и вычисляем

(106)

Для определения: а2 нужно повторить то жепостроение, вновь от­ ложив модуль ^ справа от оси ординат и т. д. (см. рис. 21, б).

По этим данным можно построить огибающие кривых затухающих колебаний, если известен период колебаний; можно принять, что он ие отличается от периода свободных колебаний недемпфированной системы (рис. 22).

С и с т е м а с о с т е п е н н ы м з а к о н о м , н е у п р у г о г о

Вместо точного решения этого сложного уравнения приближенно при­ нимают

и находят переменную амплитуду колебании а = а (/) из дифференци-

щие значения:

Уравнение (109) следует из энергетического соотношения: работа силы трения К за один цикл равна уменьшению энергии системы за этот цикл. При п Ф 1 решение дифференциального уравнения имеет вид

(п— \)к{ра0)п 1Ф{п) ( пт

С и с т е м а с н е л и н е й н ы м в н у т р е н н и м т р е н и е м . Внутреннее трение характеризуется рассеянием энергии Ф за один цикл, для многих материалов и целых конструкций можно принять, что ве­ личина У не зависит от частоты процесса и определяется формулой

задаче о колебаниях системы с кулоновым трением. В этом случае диф­ ференциальное уравнение верхней огибающей графика движения по­

где с — коэффициент жесткости системы; Т — период колебаний (при­ ближенно равный периоду свободных колебаний недемпфированной

При п = 2 (что приближенно соответствует закономерностям вну­ треннего трения для многих сталей) огибающая имеет вид кривой ан-

и колебания убывают по экспоненциальному закону (как и в случае

вязкого трения).

Обработка опытных виброграмм на основе выражения (119) позволяет определить значения п и а, необходимые для расчета вынужденных ко­

лебаний.

В системах с умеренным нелинейным трением логарифмический де­

* См. табл. 17.

Фрикционные автоколебательные системы

Автоколебаниями (или самовозбуждающимися колебаниями) назы­ вают незатухающие колебания, поддерживаемые за счет источников энергии, не обладающих колебательными свойствами. При автоколеба­ ниях переменная сила, поддерживающая движение, управляется самим движением и при прекращении движения исчезает.

В частности, автоколебания могут возникать в системах с нелиней­ ным сухим трением (фрикционные автоколебания, табл. 19); при этих автоколебаниях скорость скольжения колеблется около среднего зна­

чения о0.

19. Фрикционные автоколебания

268 Основы теории колебаний механических систем

Существенным условием появления фрикционных автоколебаний

сИ?

служит наличие падающего участка характеристики трения, где

<3 0 (см. табл. 4, сухое трение, нижний график). Отличительной чертой автоколебании является независимость их амплитуды и частоты от на­ чальных условий. На рис. 24 показаны огибающие кривые у = у {() при различных начальных условиях.

Дифференциальное уравнение возмущенного движения имеет вид

трения, возникающее из-за изменения скорости скольжения; на падаю­ щем участке характеристики эта разность отрицательна ^отрицатель­ ное» демпфирование, способствующее раскачке колебаний).

Точное решение уравнения (119), как правило, затруднительно. Для упрощения решения в зависимости от параметров системы

пользуются одним из двух приближенных способов.

1. При весьма крутом падении характеристики трения и значитель­ ной жесткости упругой связи в уравнении (119) можно пренебречь инер­ ционным слагаемым, т. е. рас­ сматривать вырожденную безмассовую систему и решать диф­ ференциальное уравнение пер­ вого порядка

Я(о0) — я (Но —

-у ) + Ч/ = 0. (126)

Закон автоколебания такой системы существенно отличается

от гармонического, и возможны интервалы полного сцепления (отсут­ ствия скольжения, рис. 25); такие автоколебания называют разрыв­ ными (из-за разрывов скорости), или релаксационными.

2. При умеренно крутом падении характеристики и упругой связи небольшой жесткости принимают, что автоколебания носят гармониче­ ский характер и происходят с частотой р свободных колебаний той же системы (но без трения)

В этом случае систему называют квазилинейной. Для определения амплитуды установившихся автоколебаний используют уравнение энергетического баланса

2л

о

выражающее равенство нулю работы силы трения за один цикл коле­ баний.

В уравнение (128) вместо скорости у следует подставить ее выраже­

причем Я, и у# — сила трения и скорость, соответствующие точке минимума характеристики. В этом случае

Я (у„) =ЗЯ, X

„3

Я(у0 — у) = 3 Я' X

Уо— У , (Ур — У)8

следовательно,

аЯ = 3я .

Подставляя это выражение в уравнение (128). имеем

2я

Р

1Н - 4Ь *-ь У 41 = 0

или после подстановки выражения (120)

2л

ар 51П* ф — агр251П4 ф <*ф = 0.

0 *

Отсюда амплитуда автоколебаний

( 131)

При этом наибольшая скорость автоколебаний

не должна превосходить номинальную скорость скольжения о0 [при Утак —

= у0 произойдет остановка и процесс уже недопустимо описывать зависи­ мостью (130)]; поэтому условия существования квазилинейных автоколебаний

имеют вид двух неравенств

При нарушении правого неравенства автоколебания невозможны, при нарушении левого неравенства они будут носить релаксационный характер.

фазовые траектории являются интегральными кривыми дифференци­ ального уравнения первого порядка

у

Для графо-аналитического построения фазовых траекторий удобен делыпа-метод, согласно которому траектории строят на фазовой пло­ скости у, V, причем

Р

Далее вводят функцию

(136)

которую в малых интервалах времени можно считать постоянной, при этом дифференциальное уравнение (134) может быть проинтегрировано

ными условиями. В соответствии с выражением (136) по этим значениям вычисляют б0 = б {уо, V0); найденное значение определяет центр ок­ ружности, описываемой уравнением (137). Далее по ходу часовой стрелки проводят малую дугу окружности, начинающуюся в точке Уо» (рис. 27). С чертежа снимают новые значения ух, вновь под-