книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfКолебания систем с несколькими степенями свободы |
283 |
|||
После решения любой из этих систем получаем |
|
|
||
А,= |
Р0 {с2 — тсо») |
Са |
Ль |
(184) |
(С1 + с2 ~ ш1(°2) (с2 ~ ш2<°2) с2 |
с- — |
|||
|
7 |
|
|
|
Если о> = 1 /^Ц то амплитуда колебаний |
первой массы |
равна |
нулю |
|
|
V т |
|
|
|
(антирезонанс первой массы). При этом амплитуда Л 3 колебаний второй ^ассы
|
|
. |
Р0 |
|
|
|
составляет А 2 = — |
|
|
|
|||
|
|
|
сз |
|
|
|
Зависимость амплитуды колебаний нерпой массы от частоты возмущающей |
||||||
силы для |
случая с1 = с. = |
с. тг = т 2 = |
т, Р0 = 1 показана |
на рис. 31. |
||
|
При ев = |
0,618 1 / ^ - и |
а = 1,62 ] / |
вознпкаст резонанс, |
а при о) = |
|
= 1/ Х |
- |
антирезонанс. |
|
|
|
|
г |
т |
|
|
|
|
|
Действие сил вязкого сопротивления. При гармонических возмущаю щих силах (178) влияние сил вязкого сопротивления выражается в двух основных эффектах:
фазы колебании различных точек системы не совпадают между собой и отличаются от фазы возмущающих сил;
амплитуды колебании точек системы меньше соответствующих ампли туд системы без трения и всегда конечны (включая резонансные условия).
Амплитуды вынужденных колебаний определяют путем подстановки решения
У1 = А( $ш (со* — <р/) (/ = 1 ,2 ,. |
. , |
п) |
(185) |
в дифференциальные уравнения движения. |
|
|
|
Вместо выражения (185) можно также принять |
|
|
|
У1 = сц 5Шсо* Ь[ с0$ со* (I = 1,2, . |
|
., л). |
(186) |
Пример 11. Определить амплитуду колебаний системы, показанной на рис. 29 после введения гасителя (рис. 32). если на первую массу действует
возмущающая сила Р\=Рр з1п со/. Дифференциальные уравнения дви
жения
0*11/1 + |
СхУх+ Ся (У 1 — |
Д *)+ - |
|
|
|
|
||
+ к (уг — у я) = Р о 51П |
о>/; |
(187) |
|
|
||||
ШгУг + сг (уя — у х)+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
+ |
к (ул - |
у\) = 0. |
|
|
|
|
|
|
Решение |
системы (187) разыскивают в виде |
|
||||||
|
|
|
|
у | = |
ах $1п |
«о! + |
Ьх со5 со/; |
|
|
|
|
|
Уя = |
а я 51П |
оз/ |
к я С05 со/. |
|
После подстановки решения (188) в уравнения (187) получаем |
||||||||
[—Мхах®3 + (сх + |
Ся) 01 |
— сгая — Л6,со — кЬгсо — |
з!п о>/ + |
|||||
+ |
[—тхЬх<й* + (Сх + с,) Ьх — СяЬг + ках(й — 6а2со] соз со/ = 0; |
|||||||
|
(—т 2а 2ооя + |
е2а2 — с2Я1 |
— кЬ2со + А6,со]51П со/ + |
|||||
|
4- [—ШяЬя^1 + |
сгЬг — сгЬг + Ла2со — Ла,©] соэ со/ = 0. |
Глава 5
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)
Общие сведения
Ниже рассмотрены задачи о колебаниях стержней, представляющих собой систему с непрерывно распределенной массой. Такая система с распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы и, соответственно, обладает бесконечно большим числом соб ственных частот и собственных форм колебаний.
Собственная форма колебаний Х& (х) представляет собой функцию координаты х сечения стержня, описывающую конфигурацию системы при ее моногармоническнх колебаниях с собственной частотой рь. Такие колебания называют главными, они происходят по закону
|
Чк (х,1 )= Х к (х)Тк (1), |
(1) |
|
где |
Тк (I) = Ак 51П (рк1 + ф,) |
(2) |
|
|
|||
есть функция |
времени, содержащая постоянные Аь и ф&, |
связанные |
|
с начальными |
условиями. При этом |
(х, I) имеет смысл |
характер |
ного перемещения сечения: продольного перемещения иь (х, 0 в задачах
о |
продольных колебаниях, углового перемещения фд (х, 1) |
в |
задачах |
о |
крутильных колебаниях или поперечного перемещения о& |
(х, |
0 в за |
дачах об изгибных колебаниях. Колебания типа (1) возникают при специальном задании начальных условий (см. ниже); при произвольно заданных начальных условиях колебательный процесс представляет собой сумму главных колебаний
Ч(х, 1) = ^ Х к(х)Тк ((). |
(3) |
к= 1 |
|
Собственные частоты образуют бесконечный спектр |
р2, . . |
цифры, стоящие в индексах, располагают так, чтобы выполнялись неравенства
Р\ < Ра < Рй < ----- |
(4) |
236Свэбодные и вынужденные колебания стерокней
Взадачах о продольных или поперечных колебаниях собственные
формы удовлетворяют условиям ортогональности I
| т (х) X; (х) Хь (') дх = 0 при I ф к\ |
(5) |
о |
|
здесь т (.х) — интенсивность распределенной массы стержня. Если кроме распределенной массы со стержнем связаны сосредоточенные массы т5, расположенные в сечениях с абсциссами х$, то условия ортогональности имеют вид
I |
|
|
| т (х) Х( (х) Хк (х) йх + |
2 ] т**1 (х5) Хк (х5) = 0. |
(6) |
0 |
5 |
|
В задачах о крутильных колебаниях условия ортогональности при нимают форму
I
]/(х )Л ,(* )Х * (х )Л с = 0 , |
(7) |
0 |
|
где-/ (х) — полярный момент инерции единицы длины стержня отно сительно его оси.
При наличии сосредоточенных по длине стержня дисков с полярными
моментами инерции / 5, расположенными в сечениях с абсциссами |
х5, |
|
условия ортогональности имеют вид |
|
|
I |
|
|
| / (*) X,. <*) X* (*) йх + |
2 / Л (*«) *к (лг5) = 0. |
(8) |
0 |
6 |
|
Масштаб собственных форм колебаний может быть принят произ вольно. Удобно выбрать этот масштаб так, чтобы выполнялись условия нормирования
I
| т (х) Х\ (х) дх + |
^ |
т5Х\ (х5) = |
1 |
(9) |
и |
5 |
|
|
|
(в задачах о продольных или поперечных колебаниях); |
|
|||
/ |
|
|
|
|
|/( * ) Х * ( * ) Л * + |
2 |
7.Х ?(*,) = |
1 |
(10) |
0 |
5 |
|
|
|
(в задачах о крутильных колебаниях).
Узлами к-й собственной формы называют неподвижные сечения * стержня, совершающего /г-е главное колебание с частотой рк. Число узлов к-й собственной формы равно к — 1; узлы двух смежных собствен ных форм перемежаются.
* Кроме сечений, неподвижность которых обеспечивается наложена связями.
Свободные колебания (точные исследования) |
287 |
Продольные и крутильные колебания стержней; поперечные колебания струн
Основные соотношения при продольных и крутильных колебаниях стержней, а также для поперечных колебанй струн приведены
втабл. 1 (сечение постоянное, масса распределена равномерно).
Об о з н а ч е н и я : Р, Уп— площадь и полярный момент инерции поперечного сечения; р, Я, О — плотность и модули упругости мате
риала стержня; и = и {х, /); V = V (х , /), <р = ср (х, () — продольное и поперечное перемещения и угол поворота текущего поперечного се чения х в текущий момент времени /; /л*, У* — масса н момент инерции груза, соединенного с концом стержня; с — жесткость упругой связи, находящейся на конце стержня.
Для определения спектра собственных частот нужно записать гра ничные условия в развернутой форме; при этом образуется однородная система двух уравнений относительно постоянных Сь и Як- Далее фор мулируют условие существования ненулевых решений для Си и йь. Таким образом, получается уравнение частот; корни этого трансцендент
ного уравнения и являются искомыми |
частотами. После этого |
обра |
|
зуются собственные формы колебаний. |
|
|
|
Пример I. Определить собственные частоты и формы продольных колеба |
|||
ния консольного стержня (левый конец х = |
0 закреплен, правый конец х = |
||
= / — свободный). |
|
|
|
Граничное условие на левом конце: |
0. |
|
|
Х'(0) = |
Эк = |
|
|
Граничное условие на правом конце |
|
|
|
Х ‘ <0>= с* 4 г “ »-^Г- |
|
||
Частотное уравнение |
|
|
|
Р{Л |
|
|
|
С 0 5 — — = 0 . |
|
||
Его корни |
а |
|
|
Л(2к — \)а |
|
||
Рк=- |
21 |
|
|
Собственная форма колебаний |
|
|
|
Х к (х) = Ск б1п Я (2 к — 1) х |
|
||
|
|
21 |
|
Результаты для различных комбинаций граничных условий |
даны |
в табл. 2 (данные относятся как к продольным, так и к крутильным
колебаниям).
В задачах о колебаниях стержней со ступенчатым изменением попе речного сечения, а также в случаях, когда со стержнем связаны сосре доточенные массы или сосредоточенные упругие связи, удобно поль зоваться методом начальных параметров и нормировать не собствен
ную форму колебаний Х&, а функцию времени |
Тк: |
Г* = 81п (р * '+•?*)• |
(,1) |
При этом собственная форма приобретает смысл кривой амплитуд колебаний, постоянные Си и Ьк выражают через начальные параметры и собственную форму записывают в виде
“ м - - д а “ " 1 Г (продольные колебания);
290Свободные и вынужденные колебания стержней
2.Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний
для некоторых граничных условий
Схема стержня |
Собственные частоты |
Собственные формы |
|||||||
колебаний |
|||||||||
1 |
|
рк ~ |
|
я (2к — 1) |
|
Хк <ЛГ>= |
|||
1------------------- |
|
|
21 |
|
- с к * « |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
Частотное уравнение • |
|
||||||
1------------------- • |
Р1 |
{ |
|
р1 |
= |
РР1 |
х к 1х) |
= с к 5,п |
|
а |
* |
|
а |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
кпа |
|
х к (х>= Сл5Щ -*^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I------------------- I |
|
Р* = — |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
ч |
|
Частотное уравнение |
|
Рь» |
|||||
1--------------- |
,В - Ё - - Е 1 - ____ ё ! . |
Хк М = С к зШ - г - |
|||||||
* |
а |
' |
а |
|
Л |
|
|
||
* |
Значения низшего корня частотного уравнения даны в табл. 3. |
||||||||
|
3. Значения низшего корня |
частотного уравнения |
|||||||
|
|
для |
схемы |
2 |
табл. |
2 |
|
||
рР1 |
Р1* |
рР1 |
|
|
|
Р11 |
РР1 |
р!1 |
|
ш. |
а |
т. |
|
|
|
а |
т, |
а |
|
со |
1,57 |
3 |
|
|
|
|
1,20 |
0,50 |
0,65 |
100 |
1,56 |
2 |
|
|
|
|
1,08 |
0,30 |
0,52 |
20 |
1,62 |
1,5 |
|
|
|
0,98 |
0,20 |
0,42 |
|
10 |
1,42 |
1,00 |
|
|
|
0,86 |
0,10 |
0,32 |
|
5 |
1,32 |
0,90 |
|
|
|
0,82 |
0,05 |
0,21 |
|
4 |
1,27 |
0,70 |
|
|
|
0,75 |
0,01 |
0,10 |