книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

322 Свободные и вынужденные колебания стержней

Пример 13. Определить собственные частоты колебаний для рамы, изображеппой па рис. 8, а. Жесткости и массы обоих стержней одинаковы.

Система уравнений (92) вырождается в данном случае в одно уравнение ^11*2 1 = 0.

Условие 2 | ф О приводит к частотному уравнению: ги = 0, т. е. з)п* а/ сЬ* аI ■+■зЬ* аI соз* а1 — 4 з!п аI зЬ а/ соз а( сЬ а/ + 2 з1п а/ зЬ а( = 0.

Решая это трансцендентное уравнение, находим первые диа корня (а/)х = 3,393. (а()а = 6,543.

Вынужденные колебания

Для решения задач о вынужденных колебаниях рам используют систему уравнений (91) в следующем порядке:

а) образуют основную систему введением дополнительных связей 1, 2, . . п;

б) с помощью табл. 15 определяют единичные реакции г возника­ ющие в дополнительных^ связях системы под действием поочередно накладываемых смещений 2%. При этом величину а определяют по формуле (27), но вместо величины р в формулу нужна подставить кру­ говую частоту возмущения со;

в) с помощью табл. 46 определяют свободные члены уравнений К1Р как реакции в дополнительных связях, вызываемые заданной внешней нагрузкой;

г) образуют систему уравнений (91), представляющую собой систему алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений 2*;

Пример 14. Определить амплитуды опорных реакций и моментов для рамы, показанной на рас. 9, а. Жесткости и массы обоих стержней одина­ ковые.

щ- —ти) (зу —тсп

„р

2а

Уравнение для определения амплитуды неизвестного угла поворота 2г

‘ 5„тп- и пуп

Решая уравнепне, находим

данная частота возмущающей силы.

326 Свободные и вынужденные колебания стержней

считать случай прямой синхронной прецессии, когда угловая скорость изогнутой оси вала вокруг прямой, проходящей через центры подшип­ ников, совпадает с угловой скоростью диска; ниже имеется в виду только этот случай.

Если диск имеет относительно небольшую толщину, то критическую угловую скорость определяют из уравнения

где У* — момент инерции диска относительно одного из его диаметров; т — масса диска; бр, срр — прогиб и угол поворота сечения, в котором расположен диск, под действием силы Р= 1; б д ^ ф ф д ^ —те же пере­

и из уравнения (96) вновь получаем

Зависимость параметра к от величины О показана на рис. 14. При И = 0 гироскопический эффект полностью отсутствует; при I) = оо диск имеет бесконечно большую инерцию поворота, его плоскость не поворачивается и вал изгибается так, как если бы на его правом конце была жесткая заделка, не препятствующая вертикальным смещениям.

Если диск нельзя считать весьма тонким, то в приведенные выше выражения вместо момента инерции У* следует подставлять

где Ух — момент инерции диска относительно центральной оси, пер­ пендикулярной к срединной плоскости диска; У2 — момент инер­ ции диска относительно центральной оси, лежащей в его срединной плоскости.

Так, в случае, когда диск представляет собой однородный круглый цилиндр высотой Ь и диаметром А,

Пример 15. Определить критическую угловую скорость вала, несущего на конце консоли тонкий однородный диск диаметром 0,6а (рис. 15, а). С помощью

схем, показанных на рис. 15. б и в, находим единичные перемещения

Если не учитывать гироскопическое влияние, то по формуле (94) получасы

Вал с несколькими дисками

Если гироскопические влияния невелики, то уравнения, определя­ ющие критические скорости вращения, точно совпадают с уравнениями, которые определяют собственные частоты колебаний того же вала (при отсутствии его вращения). Соответственно этому, число критиче­ ских угловых скоростей равно числу дисков, связанных с валом. Для определения критических угловых скоростей удобно пользоваться уравнением (161), гл. 4, заменив там обозначение собственной частоты р обозначением критической скорости шкр.

Вал с распределенной массой

Во многих случаях приходится учитывать непрерывное распределе­ ние массы ротора (вала). Соответственно сказанному выше, для опреде­ ления критических скоростей можно использовать все формулы, кото­ рыми определяются собственные частоты поперечных колебаний тон же системы (при отсутствии ее вращения). В частности, для определения низшей критической скорости может быть использована формула Рэлея.

Пример 16. Определить низшую критическую скорость оала компрессора. Вал схематизируется в виде двухопорной балки с шарнирами на концах об­

щей длиной 430 см. Данные, относящиеся к распределению жесткостей сечений и массы, приведены о табл. 17.

центра тяжести ротора соответственно до левого и правого концов

вала / = с + 6 (рис. 16); /* ,///— моменты инерции ротора относительно главных осей инерции х и у.

Критическую угловую скорость определяют из биквадратного урав­

Влияние трения ка критические состояния

Внешнее вязкое трение. Этот вид трения практически не влияет па значение критической угловой скорости, но ограничивает прогибы вала в критическом состоянии.

Действие масляной пленки в подшипниках. При вращении шейки вала в подшипнике в движение вовлекается масляная пленка, которая образует замкнутый поток в кольцеобразной полости между шейкой и подшипником. При всяком боковом смещенпи шейки вала возникает

дополнительная сила трения, действующая на шейку перпендикулярно напраапению смещения (рис. 17, а), эта сила увлекает шейку в такое движение, при котором центр шейки вращается вокруг невозмущен­ ного положения, причем направление этого вращения совпадает с на­ правлением основного вращения (рис. 17, б). При этом образуется большой эксцентрицитет масс, связанных с валом, и развиваются опасные коле­ бания. Описанные явления особенно вероятны при малых угловых скоростях.

Действие сухого трения в подшипниках. При недостаточной смазке подшипников возможно появление сил сухого трепня. При боковом смещении шейки и прикосновении его поверхности к внутренней поверхиости подшипника возникает сила сухого трения, направленная перпендикулярно смещению (рис. 18, а), и шейка вала начинает обка­ тывать внутреннюю поверхность подшипника, но в направлении,

противоположном основному вращению (рис. 18, б).