книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfСвободные колебания (точные исследования) |
303 |
где п — номер пролета, совпадающий с номером правой опоры данного пролета. Если жесткость и интенсивность распределенной массы оди наковы во всех пролетах, то в уравнении (34) сокращаются все множи
тели |
.Если, кроме того, все пролеты имеют равные длины, то урав |
|
нение |
(34) приобретает вид |
|
|
Мп-Уп + 2Мп [ТпУп - ЗпУп) + М пчУм = 0. |
(35) |
Пример в. Составить уравнения частот двухпролетной балки с постоян ными жесткостью и интенсивностью распределенной массы, но с разными длинами пролетов /» и /8. В данном случае М0 = М2 = Оипо уравнению (35)
получаем |
|
|
|
|
сН а /| -5]п а1, — |
а I, со& а I, |
с!г а /2 51 п а 13— зН а 13 соз а 13 |
||
2 5й а1{ $1п а/, |
+ |
2 5й а/3 51п а/а |
||
Так как М х + 0, то нулю должно равняться выражение, стоящее I скоб- |
||||
ках; это дает |
|
+ сГд 1юс/2 = |
с (д а /1 + с1&а/.. |
|
сЕд Иа/, |
||||
Например, при /, = |
/* |
наименьший |
корень Ш = 1,78. |
Влияние заданной продольной силы. Если стержень испытывает действие продольной силы N, то дифференциальное уравнение его сво бодных поперечных колебаний имеет вид
|
|
. д2у |
I |
N |
д2о |
|
(36) |
ш |
дх* |
дГ2 |
1 ш |
дх2 |
|
||
|
|
||||||
причем положительной считается сжимающая сила N. |
|
||||||
Собственная форма колебаний определяется выражением |
|
||||||
X СX) — СхзЬ Р* |
С2сЬ Ра: Н- С3 зш уд: + |
С4 соз ух, |
(37) |
||||
где |
|
______________________ |
|
||||
я _ |
л , |
|
|
1 / 1 . |
1 |
|
|
^ |
Е^ 1 / |
2 |
+ |
V |
4 *" |
Л/3 ’ |
|
Г________________________ (38)
У ~ Е^ у |
V |
1 |
1 |
(Б/)2 |
2 т V |
4 |
^ |
Л13 ‘ |
Величину а определяют по формуле (27). Собственные частоты р* шарнирно опертого стержня вычисляют по формуле
ь = п У 1+ш п> т> |
<39> |
|
в которой рь — к-я собственная частота при |
N = 0. |
|
Низшая собственная частота колебаний консольного стержня, на |
||
груженного на свободном конце сжимающей силой |
|
|
' + - Ш Г - |
(40> |
|
Если консольный стержень нагружен равномерно распределенной |
||
продольной нагрузкой, тонизшая собственная частота |
колебаний |
|
р! =р, У ' + - ш |
- |
(41) |
|
|
Свободные колебания (приближенные |
исследования) |
305 |
||||||||
Формула (44) определяет два зна |
1]. Собственные частоты |
|||||||||||
чения собственной |
частоты, |
отве |
ллп шарнирно опертого стержн |
|||||||||
чающих данному числу к полуволн. |
(при |
— = 2,6 н 3 = |
1,2) |
|||||||||
Низшее значение |
соответствует та |
|
|
|
||||||||
кой форме колебании, при которой |
|
|
|
|||||||||
поперечные |
сечения |
поворачива |
|
рнизш |
раысш |
|||||||
ются в ту же сторону, что и каса |
|
|||||||||||
тельные |
к |
изогнутой |
оси; |
второе |
|
Р1 |
Р1 |
|||||
значение |
соответствует |
|
противопо |
|
|
|
||||||
ложным |
направлениям |
к |
поворота |
1 |
0,98 |
70,0 |
||||||
сечений |
и |
касательных |
изогну |
|||||||||
той |
оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3,74 |
73,6 |
|
|
частоты, |
получен |
3 |
7,92 |
78,2 |
||||||
Собственные |
4 |
13,0В |
84,0 |
|||||||||
ные |
по |
формуле |
(44), |
приведены |
5 |
18,77 |
91,6 |
|||||
в табл. |
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)
Приближенные способы применяют при анализе колебаний стержней с переменной жесткостью и массой.
Способ замены распределенных параметров сосредоточенными
Этот способ допускает два варианта. Согласно первому варианту рас пределенную массу (рис. 5, а) заменяют несколькими сосредоточенными (рис. 5, б). Второй вариант предполагает замену стержня упругой шарнирной цепью (рис. 5, в), каждое звено которой совер шенно недеформируемо, а приписываемые шарнирам коэффициенты упругости вы бирают из условий достаточ ной близости общих жестко стей заменяемой и заменяю щей систем.
В обоих вариантах задача сводится к рассмотрению си стемы с конечным числом сте
пеней свободы и, следовательно, позволяет найти лишь несколько (например, 5) низших частот. Для этого необходимо заменить заданное распределение масс (жесткостей) достаточно большим (во всяком слу чае, не меньшим, чем 5) числом сосредоточенных масс (упругих шарни ров). Однако и в этом случае результат может сильно зависеть от выбора мест сосредоточения параметров.
Формула Рэлея
Формула Рэлея основана на энергетическом соотношении (9), гл. 4
и в зависимости от типа колебаний приобретает одну из форм, указанных
втабл. 11, гл. 4; при этом выбирают (с точностью до постоянного мно жителя) функцию, описывающую форму перемещений стержня. Наряду с этим существуют иные варианты записи, приведенные в табл. 12.
308 Свободные и вынужденные колебания стержней
Причину столь большого расхождения следует видеть в недостаточно
удачном выборе функции X (х).
По варианту 2 зададимся не формой изгиба, а выражением изгибающего момента. Примем
-(-Я *
нинтегрируя 2 раза соотношение
Е^Xп
I
-------- - 5- (1 — - Г-)3 + с '
Е./Х 4 ( 1- * ) Ч * + в .
Из условий на правом конце
X (I) = 0; X' (/) = 0
С = 0; 0 = 0,
Теперь по варианту 2 т |
:одим |
|
|
|
108ЕУ |
" И т й |
г М |
Ч Т * |
(49)
Гораздо лучшие результаты получаются по варианту 4, если принять в качестве функции X (х) кривую изгиба, вызываемого сосредоточенной си
лой Р на конце стержня (рис. 7, а). |
|
|
|
||
При этом |
, |
Р1% ( х* |
3* |
, _\ |
|
V, |
|||||
Л м |
” |
• щ ' (т*— |
г |
+ 2) |
|
|
|
Р1‘ |
|
|
|
|
|
гЕ^ |
|
|
140Е^ |
Следующее отсюда значение собственной частоты |
|||||
|
|
3,63 |
1 / " |
е7 |
(60) |
|
р |
“ Т1"- |
V |
т |
|
|
|
||||
чается от точного значения |
(48). |
Свободные колебания (приближенные исследования) |
309 |
Согласно варианту 5 необходимо принять за функцию X (х) кривую ста тического изгиба, вызываемого равномерно распределенной нагрузкой (рис. 7, б)
(51)
При этом
тХ ((х = |
т:&1* |
_ |
Р |
тХ* ёх = |
13т*ё*1* |
|
20Сё |
’ |
) |
3240 (Её)* |
|||
По формуле табл. 12 |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
ёх |
|
|
|
|
|
|* тА |
162ЕУ |
|||
Рг = 6 |
0 |
|
|
|||
/ |
|
|
т а * |
* |
1шА'г Лс
(52)
что очень близко к точному значению (48).
Формула Граммеля
Формула Граммеля также дает всегда завышенные результаты и в за висимости от вида колебаний принимает форму, указанную в табл. 13.
13. Формулы Граммеля для определения квадрата собственной частоты
Вид колебаний |
|
Формула |
|
|
/ |
|
|
|
| |
тХ2ёх + ^ |
|
Продольные |
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
Ы'ёх |
|
|
|
Г |
|
|
|
3 |
Её |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
| |
/ X2 Лх + 2 / ,.х? |
|
Крутильные |
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
Г л,1йх |
|
|
|
5 |
а1<> |
|
1 |
|
|
|
| |
тХ2 Лх + ^ |
|
Изгнбныс |
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
м* ёх |
|
|
|
Г |
|
|
|
ё |
Её |
|
|
0 |
|