книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Формула Донкерлн

В отличие от ранее приведенных формул, формула Донкерлн дает всегда заниженные значения основной собственной частоты колебаний. Согласно этой формуле при продольных и изгибных колебаниях

где б (х, х) -—функция влияния, т. е. перемещение сечения с абсцис­ сой х под действием единичной статической силы, приложенной в том же сечении. При крутильных колебаниях

' /

причем 6 (х, х) — угол поворота сечения с абсциссой, определяемой от статического действия единичного крутящего момента, приложенного в том же сечении.

Способ последовательных приближений для определения первой собственной частоты колебаний

Согласно этому способу первую собственную частоту изгибных ко­ лебаний определяют в следующем порядке:

а) задаются формой колебаний Х ^ (х ), верхний индекс обозначает

Значение р^ принимают произвольно, но чем ближе принятое зна­

чение р к истинному, тем быстрее будут завершены указанные далее операции;

в) способами теории сопротивления материалов (чаще всего путем численного интегрирования или графо-аналитически) находят пере­

мещения X*1*(х), вызываемые нагрузками (56); функция X*11 (х) яв­ ляется улучшенным приближением к истинной форме колебаний;

г) вычисляют первое приближение для квадрата собственной ча­ стоты по формуле

и повторяют выкладки, указанные в пп. а—г;.таким способом получают собственные форму и частоту во втором приближении.

причем изгибающие моменты М( и Мь и продольные силы N1 и определяют от нагрузок тХ( и гпХь.

Метод Галеркина

Как и по методу Ритца, по методу Галеркина можно получить не­ сколько низших частот. Согласно этому методу образуют последователь­ ность функций Х г (х), Х 2 (*), . . Хп (х), удовлетворяющих как кине­ матическим, так и динамическим граничным условиям, затем опреде­ ляют значения Т(ь по первой из формул (62), а также величины

314Свободные и вынужденные колебания стержней

Вслучае продольных колебаний

Оценки С. А. Бернштейна

Для определения границ, между которыми располагается первая собственная частота, можно использовать формулу С. А. Бернштейна

в ^ - У щ - в ]

дает оценку для нижней границы второй собственной частоты.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Гармоническое возмущение. Замкнутая форма решения

При действии гармонического возмущения (силового или кинема­ тического) стационарный процесс представляет собой гармонические колебания с частотой возмущения со.

Продольные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных продольных колебаний стержня постоянного сечения имеет вид

где Р (х) 5Ш со/ — интенсивность возмущающей силы.

где форму колебаи й определяют из обыкновенного дифференциального уравнения

Постоянные. А ч В определяют из граничных условий на концах стержня.

В тех случаях, когда возмущающая сила не распределена непрерыв­ ным образом; а приложена в нескольких сечениях, уравнения (74) и (76) становятся однородными (для каждого из участков, свободных от нагрузки), а возмущающая сила входит в граничные условия.

Пример 9. Определить динамический коэффициент для консольного стержня, свободный конец которого испытывает действие продольной силы

Крутильные колебания. Закономерности крутильных колебаний описывают теми же соотношениями (74)—(77), если заменить линейное смещение и (х, {) на угол поворота <р (*, I), распределенную продоль­ ную нагрузку Р (х, () — на распределенный крутящий момент р (х, О* а также если под V (х) понимать функцию, определяющую амплитуды колебаний углов поворота сечений.

ние (84) на каждом из участков становится однородным, а возмущающие

силы входят в граничные условия (или условия сопряжения участков). В этом случае

Для двухопорной балки, нагруженной посередине силой, аналогично можно найти

Приложение метода начальных параметров см. в книге [2].

Общий случай действия возмущающих сил. Разложение решения по собственным формам

При действии распределенной периодической возмущающей нагрузки вида Р (х, 0 можно разложить ее в ряд Фурье и строить решение по способу, указанному на стр. 314—316, суммируя затем действия всех отдельных гармоник. Другой способ излагается ниже; он состоите раз­ ложении возмущающей нагрузки в ряд по собственным формам коле­ баний.

При вынужденных продольных колебаниях стационарная часть решения имеет вид

Знаменатель равен единице при нормировании собственных форм по выражению (9).

Те же соотношения остаются справедливыми и для других типов ко­

5а+ ра5а- — 51П— *

А*я* 1 / 1 7

РЬ~ I* V т■

Решение этих уравнений при нулевых начальных условиях:

Ал

2Р з!п — 1 — со$ Рк1

$ь = -

4

намическое перемещение определяется выражением типа (88)

Полученный ряд сходится очень быстро, так как знаменатели отдельных слагаемых возрастают пропорционально А4.

КОЛЕБАНИЯ РАМНЫХ СИСТЕМ

Общие сведения

Рамные конструкции, как и отдельные стержни, могут быть схема­ тизированы в виде систем с конечным числом степеней свободы (см. стр. 305): в этом случае их рассчитывают согласно указаниям, при­ веденным в гл. 4. Ниже даны сведения о расчетах свободных и вы­ нужденных колебаний плоских рам, рассматриваемых как системы с распределенными параметрами. При этом предполагается, что каждый из стержней, входящих в состав рамы, имеет постоянное поперечное сечение с жесткостью ЕЗ и равномерно распределенную массу интен­ сивностью т.

Наиболее удобен для динамического расчета таких систем метод перемещений, основы которого, применительно к статическим задачам, были изложены в гл. 3, т. 1. Согласно этому методу основная система образуется путем введения связей, препятствующих поворотам и ли­ нейным смещениям всех узлов рамы (если соответствующая подвижность не исключена связями, имеющимися в заданной системе). За «лишние» неизвестные принимают угловые и линейные смещения узлов, причем для определения неизвестных служат канонические уравнения

дополнительной связи при равном единице смещению по к-му направле­ нию (при неподвижности остальных дополнительных связей); Д,-р — реакция, возникающая в «-й дополнительной связи вследствие действия заданной нагрузки.

Ниже рассмотрены только случаи одночастотных колебаний: сво­ бодных колебаний по одной из собственных форм (когда искомыми яв­ ляются собственные частоты) или вынужденных колебаний под действием моногармонических возмущающих сил (когда искомыми являются амплитуды колебаний). В этих случаях величины 2*, входящие в урав­ нения (91), представляют собой амплитуды перемещений, а коэффи­ циенты Г{ь и свободные члены Я/р — амплитуды соответствующих реакций.

Выражения для определения коэффициентов г/* в зависимости от схемы стержня, входящего в основную систему, и от типа заданного единичного смещения приведены в табл. 15 (функции 5, Т, V , V см. в табл.4).

Свободные члены К1Рв зависимости от схемы стержня для случаев, когда возмущение задано в виде сосредоточенной посередине пролета силы Р $ш (1)*, определяют по формулам табл. 16.