книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Приведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим общее уравнение параметрических колебаний упругой системы, движение которой описывается скаляром или вектором —

и условию нормировки

(#[флЬ фа) = 1;

здесь (ф, ф) — знак скалярного произведения в пространстве допусти­ мых функций. Например, в случае стержня длиной I

I

(ф, ф) = | ф (х) ф (х) йх.

о

Подставляя ряд (11) в уравнение (10) и применяя вариационный метод Галеркина, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Система уравнений (12) была впервые получена В. Н. Челомеем [18]. Некоторые другие способы вывода уравнений типа (12) рассмотрены в статье [5] и книге 17].

где Е — единичная матрица.

В несколько более общем случае, когда на систему действует постоян­ ная параметрическая нагрузка с параметром а и переменная параметри­

Выпишем эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Приближенные уравнения параметрических колебаний упругих си­ стем. Если диагональные элементы матриц А и В достаточно велики по сравнению с недиагональными элементами, то в первом приближении систему (15) можно заменить последовательностью независимых урав­ нений

(в смысле энергетического метода) значения критических параметров а*

и(3*. А именно:

Ш= ----- 1- (Л4„ 1фа1. Фа) <=*— ; Ькк = ---- [Т (М[ [фЛ], Фа) * -тг •

соу. ак казт Р

Учитывая эти соотношения, приведем уравнения (17) к виду (7, 18)

Эти уравнения по существу совпадают с уравнениями особого слу­ чая (6). Если недиагональные элементы матриц А и В не малы по сравнению с главными, то приближенными уравнениями (18) следует пользоваться с осторожностью.

ПРИМЕРЫ ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Уравнение параметрических колебаний круглой пластинки, защем­ ленной по контуру и сжимаемой в срединной плоскости периодическими силами. Уравнение изгибных колебаний для этой задачи (рис. 5) имеет вид

здесь ш (г, ф, I) — прогиб пластинки; О — цилиндрическая жесткость; ш — масса, отне­ сенная к единице площади срединной поверх­ ности; ц (0 —интенсивность нагрузки. Реше­ ние уравнения (19) должно удовлетворять граничным условиям

Следуя общей методике, ищем приближенное решение в виде форм колебаний (г, <р), умноженных на некоторые функции времени !к (/). Формы колебаний даются выражениями

где *тп — корни уравнения

/„ « т у / ; <хл)| = 0

Частоты собственных колебаний незагруженной пластины находятся по формуле

Применяя вариационный метод Галеркина, сведем приближенно уравнение (19) к последовательности обыкновенных дифференциальных

Уравнения параметрических колебаний изгибаемой полосы. Приве­ дем пример задачи, которую даже в первом приближении нельзя свести

Рис б

к уравнениям типа (18). Пусть полоса узкого прямоугольного сечения шарнирно оперта по концам и нагружена моментами М (/), действу­ ющими в плоскости наибольшей жесткости (рис. 6). Рассмотрим изгибнокрутильные колебания, происходящие из плоскости наибольшей жесткости. Поперечный прогиб и (г, 0 и угол поворота <р (г, I) должны удовлетворять уравнениям

длины; р — полярным радиус инерции сечения. Решение уравнений (20)

и (г, 0 = <М0 51п

(21)

Ф(г, 0 = Ф«(0 8^ -521 (л = 1, 2, . . .),

где Оп (/) и Фл (0 — искомые функции времени.

Подставляя выражение (21) в уравнение (20), получим для каждого п систему двух дифференциальных уравнений относительно 1/п (0 и Фл (0- Запишем эту систему в матричной форме, аналогичной выраже­ нию (16):

случаю, который был рассмотрен в § 2. В особом случае формы свобод­ ных колебаний и формы статической потери устойчивости совпадают, в данной задаче эти формы ортогональны между собой.

ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ-ХИЛЛА

Уравнение Матье-Хилла. Рассмотрим одно из дифференциальных уравнений (18), опуская при этом индекс к. Введя обозначения

то дифференциальное уравнение (25) называют уравнением Хилла. Частный случай уравнения Хилла при Ф = созО/ называют уравне­

нием Матъе [15, 17].

В зависимости от соотношения между параметрами й, 0 и р его ре­ шения могут быть либо ограничен­ ными во времени (периодическими или квазипериодическими), либо не­ ограниченно возрастающими во вре­ мени. Области в пространстве пара­ метров, при которых уравнение Матье имеет неограниченно возра­ стающее решение, называют обла­ стями неустойчивости. На рис. 7 представлено распределение обла­ стей неустойчивости для уравнения Матье, записанного в виде

Втакой записи коэффициенты уравнения зависят от параметров а

икоторые и отложены вдоль осей координат. Области неустойчивости заштрихованы. Периодические решения на границе областей равны еел (х) и зеЛ (х) (функциям Матье порядка п). Эту диаграмму назы­ вают диаграммой Стретта [17].

Возвращаясь к обозначениям, использованным в уравнении (26), видим, что при малых р области неустойчивости располагаются вблизи линий, на которых

главной, остальные — побочные.

Определение границ областей неустойчивости при малых р. С точки зрения задач о параметрических колебаниях упругих систем наиболь­ ший интерес представляет полоса на плоскости параметров, которая соответствует малым значениям параметра р. Границы областей неустой­ чивости для этой полосы могут быть вычислены по формулам, вывод ко­ торых дается в книге [7]. Для границ главной области неустойчивости

где и (/) и (0 — решения уравнения, удовлетворяющие следующим начальным условиям:

Уравнение (33) полезно, например, в случае, если функция меняется по кусочно-постоянному закону (этот частный случай уравнения Хилла называют иногда уравнением Мейсснера). Пусть

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Классификация областей неустойчивости. Рассмотрим общее урав­ нение (16) в матричной форме, положив для определенности, что Ф (I = сов 0/:

Можно показать, что областям неустойчивости принадлежат те точки в пространстве параметров, для которых среди корней Н урав­ нения [5, 7]