книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfКолебания линейных систем с одной степенью свободы |
251 |
|
13. Некоторые случаи действия периодической возмущающей силы |
|
|
Закон изменения |
Закон колебаний системы |
|
возмущающей силы |
|
|
Выпрямленная синусоида
Р = ~ |
+ С05 Р*~ |
—с*в |
51п р!^ |
Пилообразное изменение |
|
причем |
|
|
(67) |
4й)2л2 |
|
V { ' - $ ) ' + |
|
представляет собой коэффициент динамичности |
(рис. 14, а). |
Сдвиг фаз |
|
V = аге*е--,^ г - , |
(68> |
характеризует отставание фазы перемещения от фазы возмущающей силы.
252 Основы теории колебаний механических систем
При резонансе
|
|
|
|
— ■2п |
|
п |
|
|
|
(69) |
||
|
|
|
|
Урез — ~7Г • |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициент передачи (отношение амплитуды силы, |
передаваемой |
|||||||||||
основанию, к амплитуде возмущающей силы, |
рис. 14, б) |
|
||||||||||
|
|
|
И* = |
ц |
1 + 4ю2ла |
|
|
|
(70) |
|||
Если |
|
то коэффициент |
передачи |
возрастает с |
увеличе |
|||||||
нием демпфирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
[ т « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
' | |
И 2 |
|
|
|
|
|
|
и . 2 |
|
|
|
0,3-Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
к |
|
|
|
|
|
|
°’Ч |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
ту ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5 |
1,0 |
|
1,5 |
2,0 |
Ш |
0,5 |
|
1,0 |
1,5 |
2,0 |
щ |
|
|
|
о) |
|
|
|
9 |
|
|
|
6) |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,2-. |
\Ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5-л |
|
|
|
|
|
Если |
амплитуда силы изме |
|||||
|
|
|
|
|
няется |
пропорционально квад |
||||||
|
Й |
|
|
|
|
|
рату частоты (о, то зависимость |
|||||
|
|
|
|
|
|
амплитуды |
колебаний |
от отно- |
||||
|
|
у--»;. |
|
|
|
шения |
|
|
0) |
имеет вид, по- |
||
/ |
|
|
|
|
частот — |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
казанный на рис. 14, а. |
|||||
05 |
1,0 |
1,5 |
|
|
|
Связь |
между |
передаваемой |
||||
2,0 |
Т |
основанию |
силой |
и перемеще |
||||||||
|
|
I) |
|
|
|
нием |
графически |
представлена |
||||
|
|
14 |
|
|
|
на рис. 15 и обнаруживает явле |
||||||
|
Рис. |
|
|
|
||||||||
гистерезиса, равная |
работе, |
|
|
ние гистерезиса. Площадь петли |
||||||||
совершаемой возмущающей силой за один |
||||||||||||
цикл колебаний, |
будет |
|
пкаа2 = 2птп(оа2. |
|
|
|
(71) |
|||||
|
|
|
Ч* = |
|
|
|
||||||
Среди возмущающих сил непериодического характера также иссле |
||||||||||||
дован случай силы, меняющейся по закону |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Р = |
/»0 5!п |
|
|
|
|
|
(72) |
|
Колебания линейных систем с одной степенью свободы |
253 |
здесь Р 0 — постоянная амплитуда силы; еГ — мгновенное значение частоты; в — скорость изменения частоты. Исследование этого случая приводит к следующим основным выводам:
1. Максимальная амплитуда колебаний будет не в момент совпаде ния частоты возмущающей силы с собственной частотой р механической системы, а несколько позже, т. е. мак симум амплитуды смещается в область больших частот; при постепенном умень шении частоты это смещение происходит в области меньших частот. На рис. 16 даны графики, определяющие отноше
ние частоты о, при которой достигает ся максимум амплитуды колебаний, к собственной частоте системы р. По оси абсцисс отложены значения безразмер
ного параметра 103, характеризую
щего темп возрастания изменения частоты возмущающей силы. Нижняя горизонтальная шкала определяет значения чисел циклов N
возмущающей силы, после достижения которых частота возмущающей силы становится равной собственной частоте системы.
2. Максимальная амплитуда колебаний меньше, чем в случае уста новившихся колебаний при неизменной частоте возмущающей силы (т. е. в случае стационарного резонанса). Это различие тем больше,
чем |
быстрее |
происходит |
увеличение |
частоты. |
Отсюда |
следует, |
что |
||
Р |
П р и у б е л и ч е н и и ч а с т о т ы |
|
|
|
|
|
|||
0,8 |
|
|
^ |
1 |
|
|
|
|
|
ОМ |
П р и у м е н ь ш е н и и ч а с т о т ы |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
30 |
15 |
11 |
N |
50 30 |
го |
15 11 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
Рис. 16
путем быстрого разгона возбудителя колебаний резонансные амплитуды могут быть заметно уменьшены.
На рис. 16, б даны графики, определяющие отношение максималь
ного динамического коэффициента рГПах» который достигается при дей ствии возмущающей силы (72), к максимальному динамическому коэф фициенту рт ах, соответствующему установившемуся резонансному режиму.
Действие произвольной периодической возмущающей силы (57) можно исследовать двумя способами.
254 |
О сновы т е о р и и к о л е б а н и й м ех а н и ч еск и х си ст ем |
|
С п о с о б г а р м о н и ч е с к о г о а н а л и з а . Функцию (57) |
представляют рядом Фурье (58), причем коэффициенты ряда определяют по формулам (59). После этого вместо формулы (60) получают
|
V(О |
I |
Г |
. |
а1хсо&Шз <ь1 +Ь |
&1П |
|
|
|
- |
|
д0 Н------, 1 |
■- — |
+ |
|
||
|
|
Ч |
|
|
1/ 7 |
»- - З - У |
4о)2яа |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
да соз <й( |
Ь2 ЗШ (й1 |
|
(73) |
|||
|
|
|
|
|
16са2я2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р4 |
|
|
С п о с о б Д у ф ф и и г а . |
Вычисляют коэффициенты |
|
||||||
|
Т |
|
|
|
|
т |
|
|
Со = |
(* Р (*) епх соз р* т 0х\ |
з0 = Г Р (т) епХ з!п р*т дх |
(74) |
|||||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
и решение для 0 <1 * <* Г записывают в виде |
|
|
||||||
1/(0 = |
ЮР* |
епт Со зш р , {I + Т) — з0 созр, (* + Т) |
|
|||||
|
|
|
1 _ 2 е " г соз р*Г + с2лГ |
|
||||
$0 СОЗ р*1 — С0 ЗШ р* I |
+1Р{х)епх зш р* (/ — т) йх |
|
||||||
+ 1 — 2епТ созр^Г + е2пТ |
(75) |
|||||||
При п — 0 это выражение приобретает вид выражения (62).
В частном случае действия периодических мгновенных импульсов (см. табл. 13, график /) решение имеет вид
8еп (Г~ ?>[з1п р , (Т — ОНегаГсозр> /]
тр* (1 — 2епГ соз р * Т + е 2пГ)
КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Нелинейность механической системы может быть обусловлена нели нейностями упругой характеристики или характеристики трения. В последнем случае различают диссипативные системы и фрикционные автоколебательные системы. В диссипативных системах трение является причиной рассеяния энергии, в автоколебательных системах благодаря трению происходит приток энергии в систему.
Системы с нелинейной упругой характеристикой
Примеры характеристик этих систем показаны в табл. 3 на схемах
8-11 и 17—20.
Свободные колебания. Дифференциальное уравнение свободных ко лебаний приводится к виду
ту Р {у) = о, |
(76) |
Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы |
255 |
где Г (у) — восстанавливающая сила. Движение системы носит периоди ческий, но негармонический характер. Частоту свободных колебаний системы с симметричной упругой характеристикой определяют по формуле
/? = = - |
(77) |
У 2п |
ау |
|
|
|
]* Р (У) Лу |
она, как правило, зависит от амплитуды колебаний (т. е. от начальных условий). Некоторые простые частные случаи приведены в табл. 14.
Вид связи частоты свободных колебаний с их амплитудой суще ственно зависит от вида характеристики восстанавливающей силы (см. табл. 15).
Вычисления по точной формуле (77) обычно весьма громоздки и поэтому можно пользоваться следующими приближенными формулами, относящимися к случаю симметричной упругой характеристики:
|
а |
|
|
Р2 = |
I |
? (У) у3 ‘‘У |
(78) |
|
О |
|
|
(по способу прямой линеаризации) |
или |
|
|
|
2л |
|
|
р2 = —^ |
]* Р (а зш ф) 5Ш ф Лф |
(79) |
|
(первое приближение по способу Бубнова-Галеркина и КрыловаБоголюбова).
Пример 4. Определить частоту свободных |
колебаний для системы со сте |
||
пенной упругой характеристикой (см. график |
3 табл. 12). По формуле |
(78) |
|
|
5а |
|
|
Уп+3“'-'= т (я +4) |
|
||
|
|
я -1 |
(80) |
|
|
|
|
По формуле (79) |
|
|
|
рг = |
|
|
|
|
|
я —1 |
|
р ■= Ф# (л) У У |
|
2 |
(81) |
— гп |
|
||
где |
|
|
|
Ф«, («) = |
$1пл + 1 ф</ф. |
(82) |
|
258 Основы теории колебаний механических систем
/г— п-1
Результаты вычислений коэффициентов при у — д 2 для различ
ных значений л даны в табл. 16. Приведенные в табл. 16 точные значения ф (л) вычислены по формуле для случая 3 в табл. 14.
|
л—1 |
16. Результаты вычислений коэффициентов при |
а 2 |
В случае несимметричной упругой характеристики следует учиты вать, что отклонения системы в обе стороны от положения равновесия
будут различными. Модули указанных отклонений а+ и |
(рис. |
17) |
|
связаны между собой соотношением |
|
|
|
| |
Р{У)<1у = 0, |
(83) |
|
нз которого можно выразить одно |
|||
из отклонений через |
другое. |
||
Среднее |
положение |
системы |
|
(центр колебаний) смещено влево от начала координат на отрезок
Д = у (а_ — а+) |
(84) |
и полуразмах колебаний |
|
1 , |
(85) |
а = у ( а . ~Ьо+). |
Частоту свободных колебаний определяют по приближенной формуле
а |
|
1 р й - ^ У за!> |
(86) |
(по способу прямой линеаризации), или 2я
Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы |
259 |
(первое приближение по способу Бубнова-Галеркина или Кры Богомолова).
Вынужденные колебания систем без трения. Дифференциальное уравнение колебаний приводится к виду
ту +Р(У) = Р (/), |
(88) |
где Р (/) — возмущающая сила (или приведенное кинематическое воз мущение — см. формулу (35)]. Точное решение этого уравнения затруд нительно. В случае гармонического возмущения
|
|
Р (0 = Л> |
©/ |
(89) |
при симметричной упругой характеристике в первом приближении при |
||||
нимают |
закон |
движения |
|
|
|
|
у = а 5ш со/. |
|
(90) |
Для определения амплитуды а можно воспользоваться одним из |
||||
трех способов. |
потребовать, чтобы решение (90) удовлетворяло дифферен |
|||
1. |
Если |
|||
циальному уравнению (88) только в положении равновесия и в крайних
отклоненных положениях системы, то для определения а получи нелинейное алгебраическое уравнение
|
|
Р (а) — шасо2 = Р0. |
(91) |
|
2. |
По способу прямой линеаризации амплитуду а определяют из |
|||
нелинейного |
алгебраического |
уравнения |
|
|
|
|
а = |
т [р * (о )— шг] ’ |
(92> |
где р2 (а) — функция амплитуды по формуле (78). |
|
|||
3. |
По способу Бубнова-Галеркина (а также по способу Крылова- |
|||
Боголюбова) |
амплитуду а находят из уравнения |
|
||
|
|
2л |
|
|
|
|
| Р (а з т ф) 5Ш ф Лф — шаш2 = Р0. |
(93) |
|
Типичная зависимость а = а (<о) (амплитудно-частотная характе ристика) для случая жесткой упругой характеристики при некотором фиксированном значении амплитуды возмущающей силы показана на рис. 18, а. Здесь же штриховой линией изображена скелетная кривая —
260 Основы теории колебаний механических систем
зависимость а (р) для задачи о свободных колебаниях (т. е. при Р 0= 0); с уменьшением амплитуды Р0возмущающей силы обе ветви амплитудночастотной характеристики приближаются к скелетной кривой.
При достаточно больших значениях частоты возмущения со решение неоднозначно: данной частоте со соответствует три значения амплитуды а колебаний. Устойчивыми являются колебания с наибольшей или наи меньшей амплитудой, колебания с промежуточным значением ампли туды неустойчивы и в действительности не реализуются.
|
На рис. 18, б сплошными ли |
|||
|
ниями показаны только устойчи |
|||
|
вые ветви амплитудно-частотной |
|||
|
характеристики. |
Штриховыми |
||
|
линиями |
показано |
изменение |
|
|
амплитуды колебаний при посте |
|||
|
пенном увеличении |
частоты воз |
||
|
мущения |
от нуля |
до значения |
|
|
со = о)* и |
последующем умень |
||
Рис. 19 |
шении частоты |
возмущения до |
||
|
нуля. Одним из |
отличительных |
||
свойств вынужденных колебаний механических систем являются рез кие изменения амплитуды («срывы») при малых изменениях частоты возмущения, как это видно из рис. 18, б.
Амплитудно-частотная характеристика, типичная для систем с м кой нелинейностью, изображена на рис. 19.
Уравнениями (91)—(93) можно пользоваться и в случае, когда
амплитуда возмущающей силы пропорциональна квадрату |
частоты: |
Р0= а©2. |
(94) |
В этом случае амплитудно-частотная характеристика а (со) имеет более сложный вид, чем показано на рис. 19 или 20.
<*)
Р и с. 20
При действии возмущающей силы (89) на нелинейную систему коле бания с частотой возмущения © сопровождаются ультрагармониче-
скими колебаниями, имеющими более высокие частоты 2©, 3©,
а также субгармоническими колебаниями с частотами —■©, -^- ©,
2 о
Для определения амплитуд ультра- и субгармонических колебаний необходимо отказаться от описания колебаний законом (90) и строить высшие приближения. В частности, это можно сделать при помощи метода Бубнова-Галеркина, приняв выражение установившегося про цесса вынужденных колебаний в виде суммы
У = аж (0 + а2у2 (/) -1-------- 1- апуп (О, |
(95) |