книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Воспользуемся принципом отвердения линии тока и выделим по­ добласть D c B , ограниченную материализованными линиями тока \|/+ и у . Тогда можно поставить две задачи: 1) изменяя параметры р ф в области А, определить мероморфную функцию w, голоморфную в замкнутой области D = D u y J (y,= 4rfvj4r ) и принимающую на у» за­ данное значаще S; 2) с помощью параметров Рф и некоторых других параметров, определяющих свойства движущейся a -среды, определить кинематические параметры в области D, где w голоморфна, наилучшим образом обеспечивающих решение краевой задачи МСС.

П е р в а я з а д а ч а сводится к задаче о наилучшем приближении у , к S, которое может быть определено методом наименьшего квадра­ тичного отклонения у, от S :

(П3.46)

где /= ||\|/>-5 ||. Параметры рф находятся из решения множества урав-

ж

нений (П3.46) при условии, что — -—>0.

дР ф

В частности S может был» назначаю так, что она будет соответст­ вовать геометрической границе (если таковая известна) очага дефор­ мации одного из процессов ОМД (прессования, волочения, прокатки, прошивки, ковки и т.п.). Однако аппроксимация границы методом су­ перпозиции (или другим методом ТФКП) является, как правило, толь­ ко первым этапом ранения задачи о движении среды со сложными реологическими свойствами. На этом этапе строится лишь гармониче­ ское поле скоростей (основное решение), которое затем требуется скор­ ректировать в соответствии со свойствами движущейся среды и гра­ ничными условиями на S. При этом корректировка основного решения должна быть выполнена так, чтобы граница у , оставалась неизменной после уточнения (П3.46).

Для решения в т о р о й з а д а ч и необходимо на основном реше­ нии с параметрами Р ф построить корректировку с дополнительными параметрами, которая позволит получил» наилучшее в том, или ином смысле приближение к точному решению краевой задачи.

П3.2. СКЛЕЙКА ЛОКАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ

Отсутствие общих методов построения основных решений для об­ ласти произвольной конфигурации часто затрудняет применение гло­ бальной аппроксимации (во всей области) искомой функции. Другим методом построения непрерывных в рассматриваемой области необхо-

301

1151Л1 их функций является метод склейки локальных аппроксимаций. Метод связан с разбиением области исследования Q на конечное коли­ чество подобластей Ц с О , в которых непрерывные в Ц подходящие функции склеиваются тем или иным способом на границе соседних по­ добластей. Разбиение области Q на подобласти Ц также используется в так называемых сеточных методах, когда искомая функция определяет­ ся лишь в отдельных точках на границах и О*, что приводит к дис­ кретизации всей области исследования П. Однако в отличие от послед­ них реализация метода склейки позволяетвычислюъ значения искомой функции не только в отдельных узлах на стыке соседних подобластей Ц , но и в любой точке внутри области исследования как и при реали­ зации методов глобальной аппроксимации.

Суть всех вариантов метода склейки состоит в том, что в соседних подобластях Ц индивидуально строятся функции Ys так, чтобы на гра­ нице Q, и £lk (j* k) сами функции Yj и Yk, а при необходимости и их производные требуемого порядка, принимали соответствующие оди­ наковые значения.

Порядком надежности склейки двух функций Y} и Yk в точке s сты­ ка S областей Ц и П* называют наивысший порядок п производных этих функций по их аргументам, для которых справедливо равенство

Один из вариантов метода склейки предполагает применение так называемых сплайн-функций, когда в каждой подобласти О/ функция Y} представляется в виде полинома k -го порядка. В зависимости от значе­ ния этого порядка сплайны бывают линейные (к= 1), квадратичные (к - 2), кубические (к =3) и т.д.

В качестве примера применения сплайн-функций рассмотрим ре­

при граничных условиях У(1) = У(-1)=0.

Разобьем область Q изменения аргумента -1 й х й 1 сначала на две подобласти Qi: Xo^x^Xj и Ch: х \£ х й х 2 (хо=-1; Xi=0; х2= 1). В каждой подобласти П/ искомую функцию представим линейным сплайном

Легко показать, что граничные условия выполняются для fii (/'= 1) при д01= <*и и для П2 (/=2) при ао2= -ап, а условия склейки нулевого поряд­ ка надежности в точке х = 0 - при ащ = <*02- Таким образом, из четырех

302

коэффициентов а^ в (П3.48) неизвестным остается только один, напри­ мер а = вор Учитывая, что этот коэффициент не зависит от аргумента х,

подходящие с точки зрения выполнения граничных условий и условий склейки функции Yi и Уг (П3.49) можно рассматривать как координат­ ные функции для решения исходной вариационной задачи прямым ме­ тодом В.Рища (П2.72)...(П2.74).

Упражнение ПЗ. 7. С учетом пределов интегрирования в £1функций Yi - а(1 +х); Yi =a{\ -х ) и значений их первых производных i \ - У г - а показать, что функционал (П3.48) принимает вид:

J(a) - 2Са2 + а,

и после применения метода В.Ригца неизвестная константа и функцио-

Упражнение П3.8. Для функционала (П3.48) показать, что точное решение его уравнения (П2.38) с учетом граничных условий имеет вид:

Отметим, что как и следовало ожидать, точное решение и его ли­ нейная аппроксимация дают одинаковые значения в граничных точках

х = - 1 ; х = 1 области П и в точке х= 0 склейки линейных сплайнов (П3.49).

Теперь разобьем область Q изменения аргумента искомой функции на четыре подобласти Qi: х^йхйхй Пг: х {й хй Х 2, Пз: xo^x^xi и CU:

как и в первом случае, аппроксимируем Y линейным сплайном (П3.49). Из граничных условий и условий склейки сплайнов на стыках подобла­ стей находим подходящие виды функций: Yi = а01(1 + х); Yi - 0,5(a0i + + вц) + вцх; Уз = 0,5(а01+ а12) + (^м - «oi - а12)х; У» = а04(1 - х). Подста­ новка этих функций и их производных в функционал (П3.48) после ин­ тегрирования по соответствующим пределам приводит к функции

303

Отметим, что процедура увеличения количества подобласти! при­ вела к повышению точности вычисления экстремума функционала, ха­ рактеризуемой, например, величиной

Так, для двух подобластей величина (П3.50) составляет 25%, а для че­ тырех - 6,26%. Дальнейшее увеличение количества подобластей с ис­ пользованием линейных сплайнов (П3.49) приведет к повышению точ­ ности решаемой задачи. В общем случае к такому же эффекту может привести повышение порядка полиномов сгарайн-функций.

Упражнение П3.9. Показать, что аппроксимация экстремали функ­ ционала (П3.48) квадратичным сплайном

Y j - a o j + a i j X + a y X 1

приведет при любом количестве подобластей к точному решению зада­ чи о поиске экстремума функционала (П3.48) 9

В самом широком понимании теория сплайнов по С.Б.Стечкину- А.М.Сиротину - это теория кусочно-полиномиальных приближений искомой функции. Само же слово сплайн связано с понятием гибкой линейки из дерева, стали или пластика (по английски spline - линейка), используемой обычно в чертежных работах при проведении непрерыв­ ной линии через множество дискретно заданных точек; Если такую линейку представить функцией s(x), то при. небольших искривлениях вторая производная s " приблизительно равна кривизне функции s, ads можно заменить на dx. В теории балок доказывается, что форме ис­ кривления линейки соответствует минимум потенциальной энергии, которая при допущении о слабом искривлении представляется функ­ ционалом

ь

а

Отсюда с помощью уравнения Л.Эйлера-С.Пуассона (П2.56) находим s"" = 0 или

В отличие от классической вариационной задачи, когда для подын­ тегрального выражения функционала, содержащего л-го порядка про­ изводную определяющей функции, задаются граничные условия для всех порядков производных от 0 до л - 1, в теории кубических сплайнов

304

(П3.52) такие условия в естественном виде заданы лишь для самой функции s. Поэтому в виде (П3.52) из четырех констант интегрирова­ ния Ск любые две остаются свободными. И так же как в чертежных ра­ ботах, можно потратить их либо на проведшие сплайна (П3.52) через две другие точки в области С1(айхйЬ), либо - на выполнение заданных условий, если таковые имеются, для s'(x) в Q. Обычно тактика исполь­ зования полиномиального сплайна определяется стратегией решаемой задачи. Например, в рассмотренной выше задаче о поиске экстремалей функционала (П3.48) наибольшая часть коэффициентов была потраче­ на на склейку нулевого порядка надежности линейных сплайнов.

Естественно, что кусочно-полиномиальная аппроксимация не яв­ ляется единственным способом локального описания искомой функ­ ции. Для этого также успешно можно применять ряды, отличные от полиномиальных.

До сих пор мы рассматривали склейку локальных аппроксимаций с помощью некоторых коэффициентов, определяющих вид самих ап­ проксимирующих функций. Теперь рассмотрим метод склейки, осно­ ванный на локальном изменении множества координат. Обычно этот метод эффективен, когда в области исследования П построена функция У, непрерывная в П, но ее некоторые производные по координатам, ко­ торые по тем или иным причинам должны быть непрерывными, имеют на стыке подобластей Ц и П* (П ,сП ) разрывы. В таких случаях вдоль всей границы, разделяющей Ц и Q*, удобно ввести переходную зону Q , с заменой множества координат в ней, обеспечивающую непрерыв­ ность производных функции требуемого порядка. Такой метод склейки назовем методом переходных зон. Более подробно поясним этот метод на конкретном примере.

Пусть некоторому декартовому множеству осей координат Е \ и Ег в области £2i (-а о й Е гй Е '), представляющей собой прямолинейную по­

(Е +й Е гй Е ~ ) происходит изменение текущей высоты полосы А от Ао до hit симметрично относительно оси Е \ на участке длиной

где A h -h o -h i определяется по формуле, описывающей окружность ра­ диуса R . В области Оз (Е+<.Ег<.+оо) поток опять участвует в поступа­

тельном движении в прямолинейной полосе высотой А, ( - A s ^ s - Д ) ,

305

у

в направлении оси Ег со скоростью Vj =- ° —. Необходимо в области Ai

з

Q = U Q I построить непрерывное соленоидальное векторное поле т = v,e,

М

с непрерывными компонентами его градиента, удовлетворяющее сле­ дующим граничным условиям: в Qi компоненты вектора скорости vi = 0;

щая вектора у равна нулю, в Пз компоненты вектора Vi = 0; V2 = Vf. Ранее отмечалось, иго соленоидальное векторное поле (ГО.25) удоб­

но строить с помощью функции тока (П3.27). Область движения потока удовлетворительно описывается функцией тока

ференцирования по Ei и Ei по формулам (П3.27) обеспечивает выпол­ нение граничных условий vi = 0; V2= Vo. При этом на вахней границе

= - ~"1 ц/ = ур+ = 0,5 КоАо = const; на нижней границе ^Е, = '~ j v|/ = vjr =

= —0,5 FoAo = const; на оси симметрии (2м = 0) у = 0. Легко убедится в том, что функция тока (П3.54) является непрерывной во всей области Q и со­ храняет постоянные значения на соответствующих линиях тока. Напри­ мер, для верхней и нижней границ подобласти Пг достаточно в (П3.54)

соответственно. В подобласти Оз, где А = Ai и у= -К 0------ , также выполAi

няются условия непрерывности функции тока (ip - \|/+ при £, =— и

2

„ А ч

v|/=\p~ при £, =—) и граничные условия для вектора т, так как после

2

подстановки последнего значения функции тока в (П3.54) получаем vi = 0; v2= Vf.

По условию задачи текущая высота полосы А=А(2?*) в подобласти Пг на участке 1д (П3.53) должна обеспечивать конфигурацию верхней и иижней границ в виде окружности радиуса R. Вели уравнение окруж­ ности записать в координатах Ек:

ш

где -(яйЕз&а, то нетрудно убедится в том, что непрерывная в П функ­ ция тока (П3.54) после подстановки ее в (П3.27) с учетом (П3.55) при­ водит к разрыву векторного поля т и к скачкообразному изменению компонент его градиента на уровнях E i= - / ди Ег - 0.

Для склейки разрывного в П векторного поля воспользуемся мето­ дом переходных зон. Выделим в области £2гопъ участков: I (Е~йЕгйЕя);

II (Е айЕ гйЕ л); III (EtA<,Ei<Ef \)\ IV (Е ^й Е гй Щ ] V (Е ^ Е гй Е * ), где

В переходных зонах II и IV протяженностью 2Si и 2§2 соответст­ венно координату *1 оставим без изменения, а координату х 2 предста­

(П3.60)

В переходных зонах (участки II и ГУ)

307

На участках I и V им еем /-0, а на участке III - / = 1 .

По формуле (П1.78), используя (П3.58) найдем ком понент гради­ ента (V®v) вектора скорости т

где

Упражнение П3.10. Показать, что вспомогательные координаты (П3.56), (П3.57) склеивают функцию тока (П3.54) на стыке участков I...V с четвертым порядком надежности 3

Отметим, что локальная замена координат в переходных зонах, ес­ тественно приводит к некоторому изменению их границ, а значит и к изменению всей области исследования. При решении задач МСС, в ча­ стности ОМД, метод переходных зон становится эффективным, когда в первом приближении граница области исследования аппроксимируется непрерывной линией или поверхностью с изломами, в которых появ­ ляются либо разрывы, либо особенности той или иной природы и того или иного порядка. Из практики известно, что в природе такие изломы обходятся потоками реальных материалов и с этой точки зрения при­ менение переходных зон в окрестности изломов является оправданным. Добавим, что протяженность переходных зон (в рассмотренном приме­ ре - величины 25i и 281) в вариационной постановке задачи при необ­ ходимости можно рассматривать как варьируемые параметры.

308

Все выше приведенные методы пока были связаны с локальной аппроксимацией искомой функции в подобластях Ц и склейкой этих ап­ проксимаций на границах подобластей одномерных или двухмерных об­ ластей исследования. Применение метода разделения переменных (П3.4) позволяет задачу о построении одной функции в ЛГ-мерном простран­ стве свести к построению N функций в одномерных пространствах.

Другим способом построения функций в многомерном простран­ стве является метод конечных элементов (МКЭ). Суть его состоит в том, что область исследования ft разбивается на “конечные элементы”, т.е. - на конечное количество подобластей О, без разрывов и пересече­ ний так, чтобы объединение подобластей ft, образовывало ft. С этой точки зрения все рассмотренные ранее методы локальной аппроксима­ ции относятся к МКЭ в одномерных областях. Для многомерных про­ странств в качестве подобластей используют симплексы (многогранни­ ки), в вершинах которых вид локальных аппроксимаций определяется связями, накладываемыми на искомую функцию.

Контрольные вопросы

1.Каким требованиям должны удовлетворять основное решение и его корректировка?

2.В чем суть метода разделения переменных?

3.Как используются R-функции для построения корректирующих функций?

4.Какие комплексные функции называются аналитическими?

5.Что называется комплексным потенциалом?

6.Какие поля скоростей называются гармоническими?

7.Что называется функцией тока, консервативной функцией; в каком со­ отношении находятся эти функции для гармонических полей скоростей?

8.Что называется конформным отображением и как это отображение вы­ полняется?

9.Перечислите свойства интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля. Что озна­ чает нормировка этого интеграла?

10.Какие гармонические течения называются простейшими?

11.Чему равен вектор скорости в точке бифуркации?

12.В чем суть метода суперпозиции гармонических течений?

13.Что называется порядком надежности склейки двух функций?

14.В чем суть метода конечных элементов?

309

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. - М.: Металлургия, 1987. - 352 с.

2.Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. - М.: Наука, 1983. - 448 с.

3.Бэкофен В. Процессы деформации. - М.: Металлургия, 1977. - 288 с.

4.Гантмахер Ф.Р, Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.

5.Гольденблат И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. - М.: Гостехиздат, 1955. - 272 с.

6 . Грин А.Е., Адкинс Д ж . Большие упругие деформации. - М.: Мир, 1965. - 456 с.

7.Гун Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением. - М.: Металлургия,

1980.-456 с.

8 . Жермен /7. Курс механики сплошных сред. - М.: Высшая школа, 1983. - 399 с. 9. Ильюшин А.А, Механика сплошной среды. 2-е изд. - М.: МГУ, 1978. - 228 с.

10. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением.-М .: Металлургия, 1986.-

688 с.

11.Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. - М.: ИЛ, 1963. - 406 с.

12.Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982. - 334 с.

13.Кучеряев Б.В.* Потопков И .А . М еханика сплошных сред. Учебн. пособие. - М.: МИСиС, 1992.- 164 с.

14.Лаврентьев А4.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1965. -716 с.

15.Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. - М.: МГУ, 1976. - 386 с.

16.Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

17.Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 480 с.

18.Малинин Н.И. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1968. - 400 с.

19.Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. - М.: Мир, 1974. - 320 с.

2 0. Мусхеяиитиш Н.И. Курс аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1967. -

656 с.

21.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

22.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. -- М.: МГУ, 1984. - 336 с.

23.Работное Ю.Н'. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

24.Рвачев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике. - Киев: Наукова дум­ ка, 1974.-2 5 8 с.

25.Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1 ,2 . - М.: Наука, 1976.

26.Степанский Л.Г. Расчеты процессов обработки металлов давлением. - М.: Машино­ строение, 1977. - 424 с.

27.Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976.-248 с.

28.Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. - М.: ИЛ, 1960. - 559 с.

29.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Нау­ ка, 1965. - 424 с.

310