книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

действительности экстремум (максимум или минимум) функционала на этом решении, нужно исследовать условия достаточности существова­ ния экстремума, которые будут установлены ниже.

Пример 2. На каких кривых может достигать экстремум функционал

J - \ ( Y '2 +12x Y ) d x

о

при граничных условиях: Г(0)=0; Г(1)=1?

Решете. Здесь Р(х, Y, Y ') = Y”2+ llxY ; Fr = l2 x ; Fr r = 2, а остальные слагаемые уравнения Л.Эйлера-Ж .Лагранжа равны нулю, поэтому оно принимает вид.

Г '-6 х = 0.

Общее решение такого уравнения получается непосредственным интег­ рированием

Y(x)= х3 + C ix+ Ci.

Подставляя граничные условия К(0) = 0; К(1) = 1, находим Ci = Сг = 0 и следовательно необходимое условие экстремума заданного функциона­ ла выполняется для кривой К =х3 3

В рассмотренных примерах использовались лишь необходимые ус­ ловия существования экстремума функционала. Еще раз подчеркнем, что выполнение необходимого условия (П2.33), которое фактически сводится к отысканию решения уравнения Л.Эйлера-Ж .Лагранжа, не означает, вообще говоря, что решение этого уравнения дает экстремум функционалу и поэтому нужно рассмотреть выполнение достаточных условий. Отметим, продолжая сравнение дифференциального и вариа­ ционного исчислений, что установление достаточных условий сущест­ вования экстремума функционала в вариационном исчислении является гораздо более трудной задачей, чем установление аналогичных усло­ вий для функции в дифференциальном исчислении.

В вариационном исчислении существуют понятия слабого и силь­ ного экстремумов.

Вернемся еще раз к функционалу (П2.33). Пусть для кривой К(х) с заданными граничными условиями на закрепленных концах х - а и х =Ь выполняется необходимое условие существования экстремума.

Рассмотрим множество функций K(x)=K(x)+ocZ(x), где как и ранее,

271

После вычислений получаем

2 а

где R = F у у* S * P — —; P =Fyj\ Q —FYY*

dx

Внекоторых случаях выполнение достаточных условий определя­

ется знаком величины (П2.42): при 8V >0 функция У(х) сообщает функ­ ционалу (П2.33) минимум, а при SV <0 максимум. В других случаях требуются более сложные исследования на основе достаточного усло­ вия К.Вейерппрасса.

Вернемся к классической вариационной задаче о брахистохроне, и на примере ее решения продемонстрируем анализ необходимых и доста­ точных условий существования экстремума функционала. Для упроще­ ния дальнейшего изложения в интеграле (П2.35) примем а = 0 и К(0)=0.

Учитывая, иго в уравнении Л.Эйлер а - Ж .Лагранжа Fxr = 0, по­ лучим

Умножим обе части этого уравнения на К'. Тогда левая часть пре­

вратится в полную производную - { F - Y 'F y ). Действительно, учиты- dx

вая, что подынтегральная функция F в (П2.35) явно не зависит от х, имеем

— (F - Y'Fy ) = FTY'+Fr Y '- Y T r -F Y r Y ,tFTT-Y'Y, = dx

= Y ’(FT -FYr Y '- F r r Y ’).

Таким образом, уравнение (П2.43) приводится к виду:

- { F - Y 'F r )=C. dx

и его решением будет

F - r F r = 0,

Подставляя сюда подынтегральное выражение

функционала (n2.3S), получим

272

1 После несложных преобразований, обозначая С, =—— имеем:

С 2

К(1 + V 2) s Ci.

Для дальнейшего решения этого дифференциального уравнения введем новую переменную и>, полагая V = ctg w. Тогда получим

dx = Ci(l -ooslw)dw.

Отсюда

X * Q -(2 W - COS2W )+C2 ,

2

где с учетом граничных условий: при лс=0 функция Г(0) = 0 (w=0) - константа интегрирования С г - 0. Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой линии после введшим новой переменной u = 2w имеет вид:

С

где —ii- - радиус катящегося круга, который определяется из условия

2

прохождения циклоиды через точку с координатами x = b; Y(b) = Yb. Уравнение искомой линии получено как решение уравнения Л.Эйлера - Ж.Лагранжа, т.е. из необходимого условия экстремума.

Теперь нужно проверить выполнение достаточного условия, т.е. доказать, что данная кривая сообщает функционалу (П2.35) минимум. Для этого определим знак второй вариации (П2.42). Дважды диффе­ ренцируя F по У', получим

R=F-у , у .

273

Отсюда видно, что при К> 0 имеем Я > 0 .

Проанализируем знак сомножителя S в (П2.35). Дважды диффе­ ренцируя подынтегральное выражение F no Y>получим

1+Г"

P=FYY =3

\

Значит при Y> 0 имеем Р > 0 . Далее определяем

Т_ 1 +Y'2

Q -F Y T

2 I Г 3

Напомним, что под ынтегральная функция F не содержит в явном виде аргумент х. Поэтому

Отсюда ясно, что при Г>0 знаменатель больше нуля. Кроме того, из физических представлений о спуске материальной частицы ясно, что в числителе вторая производная Y отрицательна. Поэтому в (П2.42) со­ множитель S положителен и в целом вторая вариация рассматриваемо­ го функционала (П2.35) больше нуля.

Теперь можно с полным основанием утвдэждать, что найдена кри­ вая (П2.44), по которой материальная частица из п о л о ж а т с коорди­ натами х= а; Y — Y(a) в положение с координатами x - b ; Y= Y(b) ска­ тывается под действием силы тяжести в наикратчайшее время.

Итак, мы определили абсолютный минимум как минимальное зна­ чение функционала, которое достигается на классе функций, непре­ рывных вместе со своими производными.

Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании минимума

гдер(х); q(x) иД х) - функции непрерывные на отрезке [а, 6], причем р(х) имеет непрерывную производную и, кроме того

Наша задача - в классе D непрерывных функций К(дс) с непрерыв­ ной производной Y' (х), на отрезке [а, Ь] удовлетворяющих граничным условиям

274

найти такую функцию, для которой функционал (П2.45) принимает наименьшее значение.

Уравнение Л .Эйлера - Ж Лагранжа для этого функционала имеет

вид:

При коэффициентах, удовлетворяющих неравенствам (П2.46),. уравнение Л.Эйлера-Ж .Лагранжа имеет единственное решение на от­ резке [а, Ь\ при заданных граничных условиях (П2.47). Обозначим это решение Уо(х) и покажем, что оно дает абсолютный минимум функ­ ционалу (П2.45) или, точнее говоря, покажем, что /(УЬ)£/(У)> где Y - любая функция из класса D\ причем равенство имеет место только в том случае, когд а функция У(х) тождественно равна функции Уо(х).

Всякую функцию из класса D можно представить в следующем ви­ де: У(х) = Yo(x)+Z(x), где Z(x) непрерывна вместе с производной Z'(x) на отрезке [а,7>], а на концах отрезка сама функция удовлетворяет од­ нородным граничным условиям.

Вычислим разность

J (Y ) - J (Y 0)=

= 2j[/’W yo'Z '+? (x )ro Z + /(x )Z ]rfx + j[p (x )Z '2 + q(x)Z 2]dx. (Ш '49)

а а

Для первого слагаемого первого интеграла выполним интегрирование по частям. Затем с учетом нулевых граничных условий для функции Z(x) и с учетом того, что функция Уо(х) удовлетворяет уравнению Л.Эйлера -Ж .Лагранжа, устанавливаем обращение в ноль первого ин­ теграла в (П2.49). Тогда

Причем знак равенства будет только в том случае, когда Z(x) —0, т.е. когда функция У(х) равна функции Уо(дс), удовлетворяю щ е уравнению Л .Эйлера-Ж Лагранжа.

Таким образом, мы доказали, что функция Уо(дс) дает абсолютный минимум (наименьшее значение) функционалу (П2.45) на классе функ­ ций D (непрерывных функций с непрерывными производными).

Пример 3. На каких кривых может достигаться экстремум функ­ ционала

275

Решение. Уравнение Л .Эйлера - Ж .Лагранжа для этого функциона­ ла имеет вид:

— (2 Г )-Г = 0 dx

ИЛИ

Г '- Y - 0.

Из общего решения этого уравнения

сучетом граничных условий получим множество двух уравнений

С1 + С2 - а;

е

Главный определитель этого множества двух

е

отличен от нуля. Поэтому это множество дает единственное решение

Определенная таким образом функция Yo(x) удовлетворяет необ­ ходимому условию существования экстремума функционала (П2.51). Так как коэффициенты при Ки Y' в функционале больше нуля, то в со­ ответствии с выше изложенными результатами можно ожидать, что функционал (П2.51) имеет на экстремали

Y(x)=C*ex +С*2е~х

абсолютный минимум 3 Рассматриваемый нами функционал (П2.51) отличается от (П2.45)

отсутствием члена f{ x )Y и дополнительным членом х 1, что не должно

276

изменить результата. Тем не менее проведал исследование на абсолют­ ный минимум непосредственно для функционала (П2.51).

Абсолютный минимум будем искать в классе функций К(а), непре­ рывных вместе с производной Y'{x) и удовлетворяющей граничным ус­ ловиям.

Представим функцию в виде Y(x) = Yo(x)+Z(x), где и составим разность

/(К0 +Z)-/(K0)=2/(K0'Z'+K0Z )/x + j(z'2 + Z 1)d x .

о о

Проинтегрируем первое слагаемое в первом интеграле по частям. То­ гда первый интеграл приводится к виду:

Y 'Z \l0+ \{-Y 0'+ Y0)Zdx.

о

Здесь вследствие нулевых граничных условий для функции Z(x) первое слагаемое равно нулю и в подынтегральном выражении -К0*+ К0 =0,

так как Ко(х) есть решение дифференциального уравнения (П2.52). По­ этому получаем

/(1$ + Z )- /(!&) = } (Z 2 + Z 2)d x k 0, ov '

причем знак равенства будет иметь место лишь при Z(x)=0. Следова­ тельно функция Y(x), удовлетворяющая уравнению Л.Эйлера - Ж Л агранжа (П2.52) функционала (П2.51), сообщает этому функционалу абсо­ лютный минимум среди всех непрерывно дифференцируемых функций.

Уравнение Л.Эйлера - Ж Лагранжа (П2.38) имеет следующие обоб­

то при заданных граничных условиях для всех производных функций К* по аргументам Xj порядка от 0 до и - 1 экстремали функционала (П2.54) могут определятся решением множ ества обобщенных диффе­ ренциальных уравнений Л .Эйлера-Ж Лагранж а

277

Для одной функции У (k= 1) одного аргумента ( /= 0 113 (П2.55) получается дифференциальноеуравнение Л .Э йлера-С .П уассош

(пг5б)

dxn dxn

а для одной функции Y двух аргументов (/= 2 ) с производными этой функции в подынтегральном выражении не выше первого порядка -

дифференциальноеуравнение Л.Эйлера-М .В.Остроградского

Упражнение П2.4. Показать, что функционал

/ = }(*72+К2'2 -*-2YlY2)d x

достигать экстремума на функциях Ki=sinx; F2= -sin x . Упражнение П2.5. Показать, что экстремалью функционала

- У 2+ х 2)<*х

при граничных условиях У (0)=0;У '(0)=0;У — 1=0;У' — =-1 может \ 2 /

являться функция y=COSX.

Упражнение П2.6. Показать, что функции, которые могут сооб­

278

где Л - оператор (П1.76), а при / = 0 - должны быть гармоническими,

т.е. удовлетворяющими гармоническому дифференциальному уравнению П Л внпоса

Упражнение П2.7. Показать, что функции, которые могут сооб щить экстремум функционалу

должны быть бигармоническими функциями, т.е. удовлетворять бигврмоничеекому дифференциальному уравнению

где А2 - бигармонический оператор (П1.77) 9

В приложениях встречаются задачи о нахождении экстремалей функционала в рамках определенных ограничений, накладываемых на варьируемую функцию. Пусть требуется найти экстремум функционала (П2.54) при дополнительных ограничениях, накладываемых на функ­ ции Yk:

называемых голономными связями. Для решения такой задачи вместо функционала (П2.54), называемого в данном случае целевым функцио­ налом, записывают вспомогательный функционал

а

под ынтегральное выражение которого представляют в виде:

Ф= F + \jfj.

Вэтом случае неопределенные множ ители Ж Лагранж а Х; и функции Yk

находятся из решения замкнутого множества уравнений (П2.55), с за­

меной в них F на Ф(Р->Ф), и уравнений (П2.63). Таким же образом по­ ступают при наложении неголономных связей

где через pk и qk обозначены такие же величины как в формуле (П2.54).

При этом в замкнутуое множество вместо уравнения (П2.63) вклю­ чают уравнения (П£65).

279

Если накладываемые на экстремали ограничения представлены в интегральном виде

S

то такие ограничения называются изопериметрическими, а вариацион­ ные задачи о поиске экстремума с интегральными ограничениями типа (П2.66) - изопериметрическими задачами. Для решения таких задач вспомогательный функционал I записывают в виде суммы основного функционала, например (П2.54), и интегральных ограничений типа (П2.66), умноженных на неопределенные множители Хр Ж.Лагранжа:

Теперь для функционала (П2.67) можно решать обычную вариаци­ онную задачу об определении экстремалей с заданными граничными условиями. При этом решение такой задачи будет зависеть от неопре­ деленных множителей Ж.Лагранжа, которые определяются из замкну­ того множества уравнений, получаемого подстановкой этих решений в интегральные ограничения типа (П2.66).

Упражнение П2.8. Записать замкнутое множество уравнений для определения функций Х2 = х2(х\); = х$(х\) и неопределенного множи­

теля Хусоответствующих наикратчайшему расстоянию

«I

между точками на поверхности/(**) = 0 с координатами jtj = ахи jtj = bx. Упражнение П2.9. Найти уравнение линии Y = Y(x) заданной

длины

площадь

ь

S= jY dx

а

криволинейной трапеции под которой при Y(a) = Ya\ Y(b) = Ybпринима­ ет максимальное значение 3

Таким образом, постановка вариационных задач заключается в за­ писи функционала и определении условий для нахождения его экстре­ мума. Определение экстремалей функционала из дифференциальных уравнений типа Л.Эйлера-Ж .Лагранжа с соответствующими гранич­

280