Обозначая Дст33 = |
_i |
_з |
окончательно получаем |
а зз _стзз |
ACT33 |
|
|
(2.2.45) |
Легко показать, что на линии разрыва напряжений (2.2.45) при
* т3 происходит изменение наклона линий скольжения. Для этого
запишем (2.2.16), учитывая, что у =<р+— дня обеих сред, принимая во
4
внимание ранее установленную одинаковость некоторых напряжений
<Тц =<TQ |
5т2ф*; <гп |
- т 3 sin2<p3; |
|
с т 133 = 0^ |
sin2<pl ; O 33 |
- т 3 sin2<p3; |
|
ст13 *т^со12ф1;<г13 =t?cos2<p3. |
(2.2.46) |
Если предположить, что в области движения одной из сред, на* пример первой, напряженное состояние известно, то с помощью урав нений (2.2.46) получаем замкнутое множество уравнений относительно
среднего напряжения <т3 и угла ф3
ст10 - х\ sin2q>1= ст3 - т 3 sin2q>3;
т'т cos 2<pl = т3 со$2ф3, |
(2.2.47) |
из которой имеем
(2.2.48)
Ясно, что при х \ = т3 скачки напряжений и углов наклона линий
скольжения к оси Е\ пропадут.
2.2.3. Метод разрывных полей скоростей
Сущность метода состоит в использовании разрывного КВ-поля скоростей для моделирования движения деформируемой среды вместо P-поля, являющегося непрерывным (п. 1.4.4). В разрывных КВ-полях скоростей на некоторых поверхностях допускается разрыв вектора скорости от V до V за счет его касательной к этим поверхностям, co
n i
ставляющей V* (рис. 62). Из условия сплошности деформируемой сре ды ее поток до поверхности разрыва S равен потоку после этой по верхности, что означает непрерывность изменения нормальной состав ляющей вектора скорости.
Мощность диссипации, приходящаяся на единицу поверхности разрыва вектора скорости, равна произведению осанка вектора скоро сти AV* на напряжение пластического сдвига тт деформируемой среды. Более подробно это рассмотрено в п.1.4.4 при анализе мощности, рас сеиваемой на межслойной границе, на которой происходит скачкооб разное изменение скорости при переходе от одного слоя к другому в процессе движения композитного тела. Таким образом, предположение о существовании поверхностей разрыва вектора скорости позволяет задачу о поиске непрерывного поля скоростей свести к построению ки нематически возможного разрывного поля скоростей.
При использовании метода разрывных полей скоростей область деформирования сплошной среды ограничивается поверхностями раз рыва вектора скорости, а сама область разбивается некоторым образом на блоки. Внутри каждого такого блока поле скоростей может быть однородным (V =const) или неоднородным (V =var). Ясно, что в пер вом случае диссипация энергии внутри блока равна нулю.
Воспользуемся изложенными предпосылками метода разрывных по лей скоростей для решения задачи о прессовании полосы из контейнера в условиях плоской деформации. Для этого случая область деформирования П может быть представлена четырехугольником АхАгАгА4 (рис. 63). Ос новными геометрическими параметрами области Q являются: высота ho контейнера, высота hi полосы, угол он матрицы, через которую прессуется полоса.
Рис. 63. Применение раэрьвного КВ-лоля скоростей к решению задачи о прессовании: а —область в плоскости Z физического течения; б —годограф скоростей; в —область в плоскости ^комплексного потемдиала
Для построения одного из простейших разрывных К В-полей ско ростей из вершины Аз под углом он, к образующей контейнера прове дем прямую линию до пересечения со стороной А 1 А4 в точке As задан ного четырехугольника.
Отрезок Аз As будет первой линией разрыва вектора скорости на пути движения среды. Вторую линию построим, соединив по прямой точки As и А 2. Угол наклона р этой линии к оси прессования можно оп ределить, используя основные геометрические параметры области О движения среды (рис. 63):
Xctga2 + (X -l)c tg a l
где X=— - коэффициент вытяжки. Л.
Выполненным построением область Q разделилась на три блока I, II, III. В каждом блоке поле скоростей является однородным. Внеш нюю часть 0 области деформирования среды Q назовем нулевым бло ком. Н а границах между /-тым и у-тым блоками происходит скачок вектора скорости на величину Vq (/=0,1,2; ./=1,2,3; /*/). При этом гладкая, без изломов траектория материальной частицы реального процесса (рис. 64) аппроксимируется ломаной линией.
»**1 « « • *
ттшй
ШВVI W 9ш
я ш т я ш
Шш т *
Рис. М.Лиммтокапри 1фессомниниихмпрокстшия ломашм« ливнми
Определение мощности, рассеиваемой на поверхностях разрыва вектора скорости, можно выполнить двумя способами.
П е р в ы й с п о с о б требует нахождения значений приращений Vf вектора скорости на этих поверхностях. С этой целью построим го дограф скоростей (рис. 63, б). Из точки 0 годографа в точку 1 прове дем направленный отрезок Voi = Vo, где Vo - скорость движения прессштемпеля. Затем из этой же точки проведем луч, параллельный линии раздела первого и второго блоков. Пересечение лучей произойдет в точке 2. Вектор V02 является скоростью во втором блоке, а вектор V 12 - скачком скорости на границе блоков I и II. Далее из точки 0 проведем луч, параллельный вектору скорости в третьем блоке, а из точки 2 - луч, параллельный линии раздела второго и третьего блоков. Вектор V03 является скоростью в третьем блоке, а вектор V23 - скачком скоро сти на границе блоков II и III. Из годографа скоростей, используя
*02 =
*23 =
*12 =
v23 = V,
теорему синусов, выразим модули неизвестных векторов через ско рость входа среды в области деформирования:
sinа 1 Пг = vo sin/dj +а^)
sinа 2
Пг = *о sin/aj +0,2) sina. sma^
0sin^sin/aj +0 2 ) rr sinctj sinfcj + P)
(2.2.50)
03 0 sinf3sin(ai +<*2)
Упражнение 2.2.6. Используя (2.2.113) и (2.2.114), показать, что на выходе из канала матрицы Уоз = XVo О
Теперь можно перейти к вычислению мощностей J* рассеиваемых на поверхностях £f разрыва вектора скорости. Для вычисления J j не
обходимо назначить законы изменения напряжения сдвига на уча стках разрыва вектора скорости и определить длину этих участков.
Предположим, что на контактных поверхностях lot, I02, 1оэ это напря жение т^=2цтТт (2.2.29), а на поверхностях разрыва I 12, 12Э-Ту=тт (в обоих случаях тт=const). Из геометрических построений для зоны де формации имеем:
Ло
sina2
sin(X[
h
(2.2.51)
sinp
Остальные величины £t являются технологическими параметрами процесса прессования: £о\ - длина подпрессованного слитка; 1оз - дли на рабочего пояска матрицы.
Если рГ - р отнести к напряжению пластического сдвига тт, то, учитывая, что сама величина р является осредненной по размеру пресс-шайбы, получим безразмерное значение среднего удельного дав
ления q - — . С учетом этой величины запишем баланс мощности (1.4.44) для разрывного поля скоростей
<| FohoTr— £9V9T9, |
(2.2.52) |
где J*j = eyV9T9:
JI2 =STT^I0^0
sinaj sin a 2
(2.2.53)
Введем обозначения: Я = ——; t n = ——. Тогда среднее удельное
КК
давление* на пресс-шайбе, необходимое для процесса прессования, бу дет равно
Для идеальной жестко-пластичной среды, о которой идет речь в рассматриваемом примере, вязкое и скоростное упрочнение отсутству ют. Поэтому для такой среды значащ е скорости входа ее в зону де формации может быть произвольным. Неизвестным параметром оста ется угол «2 при заданном значащ и угла матрицы ед. В этом случае не известный параметр может быть определен из баланса мощности (2.2.54). Если угол он также является неизвестной величиной, то реше ние задачи может быть осуществлено с помощью изопериметрической постановки, когда баланс (2.2.54) записывается в виде ограничения, а в качестве вспомогательного выступает функционал (2.1.55). В этом слу чае параметры он и он с учетом (2.1.54) находятся из условия (П2.74)
* Удельное давление - безразмерная величина, равная отношению давления к на пряжению, характеризующему пластическое состояние металла (пределу текучести или напряжению пластического сдвига)
(2.2.55)
да(
В т о р ы м с п о с о б о м эту же задачу можно репопъ, используя отображение разрывного течения в физической плоскости Z на плос кость W комплексного потенциала (П.3.12.). Для этого воспользуемся тем, что вдоль линии тока, в том числе и с изломами, функция тока, связанная при плоском движении с компонентами вектора скорости соотношением (1.2.105), принимает постоянное значение. В плоскости W по оси у отложим уровни у = у + и у = у - = 0 и проведем через эти уровни прямые линии, параллельные оси q>. В связи с тем, что граница, совпадающая с образующими контейнера и матрицы, а также ось сим метрии (рис. 63, а) являются линиями тока, их образцы в плоскости W будут прямыми ЛИНИЯМ Ц1*= const и у = const.
Аналогичное заключение можно сделать для любой линии тока внутри области деформирования (рис. 63, в). Для непрерывного поля скоростей образом физического течения в плоскости Z при отображе нии ее на плоскость W комплексного потенциала является непрерывное течение в прямолинейной полосе шириной FbAoДля разрывного физи ческого течения его образ также является разрывным. Покажем прин цип построения разрывного течения в плоскости W на примере физиче ского течения, приведенного на рис. 63.
На линии у - = const в плоскости W из точки £$, помещенной, на пример в начало координат, проведем линию, параллельную границе между I и II блоками физической плоскости Z до пересечения в точке £з с линией у + = const. Тетерь блок II плоскости Z перенесем в плос кость W так, чтобы вершина Аз этого блока совпала с точкой Вз. Затем поворотом и линейным однородным изменением размеров всего блока добьемся того, чтобы сторона АзАг совпала с линией у + = const, а вер шина Аз попала на линию у - = const в точке В $. Третья вершина блока II после такого преобразования будет находиться в точке Bi. Теперь из точки Вз проведем луч, параллельный линии, разграничивающей блоки II и III физической плоскости до пересечения с линией у + = const в точ ке £5.
Мощности J» , рассеиваемые на поверхностях разрыва вектора
скорости будут, пропорциональны длинам оснований блоков, лежащих на линиях у + = const и у - = const:
J 02 = 2 ц тттА0 K0[ctg(ot, + p )-ctg (a , + a 2)];
J *2 = т т^о *o[ctgP -ctg(a, + a 2)];
J 23 = |
H0[ctgp -ctg(a, +p)]. |
(2.2.56) |
Остальные составляющие мощности Jj, и J 03 |
записаны ранее |
(2.2.53). Подстановкой всех значений 3*. в баланс мощности определя
ем среднее удельное давление
q = 2цт [Н + Xtn + ctg(a 1+ р) - ctg(ai + aj)] +
(2.2.57)
+ ctga2+ ctgp -ctg(ai + P )-ctg (ai + a 2).
Упражнение 2.2.7. Показать, что вычисления среднего удельного давления q по формуле (2.2.54), полученной с помощью годографа скоростей* и по формуле (2.2.57), полученной с помощью отображения фи зического течения в плоскости Z на плоскость W комплексного потен циала, дают одинаковые значения С9
Изменение среднего удельного давления (2.2.54) или (2.2.57) в зави симости от угла а 2при a i = 60° и постоянном значении коэф фициента вытяжки показано на рис. 65.
Последний способ ране ния рассмотренной задачи по казывает, что приращение дей ствительной часта ф комплекс ного потенциала и> (П.3.11) пропорционально прираще нию мощности, рассеиваемой на граничных линиях тока и внутри области движения де формируемой среды на изло мах этих линий тока. При
Рие. 65. Зависимость среднего удеш ю го давления ЭТОМ Н8 ОСНОВанИЯХ бЛОКОВ,
q от вярыфуемого параметра а 2 |
ЯВЛЯЮЩИХСЯ образами |
учаСТ- |
ков граничной линии тока |
ур+ = const, используется закон |
трения |
(2.2.29), а на основаниях блоков, характеризующих разрывы вектора скорости, используется условие пластичности (1.5.74).
С помощью метода разрывных поло! скоростей довольно легко осуществляется моделирование стационарных многослойных течений. В частности, моделирование процесса, представленного на рис. 18, б, может быть выполнено с помощью разрывного KB-поля скоростей в об ласти, показанной на рис. 66. При этом осуществляется моделирование взаимодействия слоев по схеме П-С (п. 1.2.1). Аналогичным образом строится разрывное KB-поле скоростей для моделирования взаимодсй-
для моделирования течения двухслойного теля по схеме П-С (я) и годограф скоро стей (б)
для моделирования течения двухслойного тела по схеме С-П (а) н годограф скоро стей (б)
ствия слоев по схеме С-П (рис. 67). В первом случае, как видно из годо графа скоростей, слои имеют одинаковую скорость на выходе из очага деформации (рис. 66, б), а во втором - на входе в этот очаг (рис. 67, б).
Контрольные вопросы
1.Какие основные гипотезы и допущения используются в методе тонких сечений?
2.К какому упрощению уравнения движения приводят гипотезы и допу щения метода тонких сечений?
3.Как связаны линии скольжения с максимальными касательными напря жениями?
4.На каких гипотезах и допущениях базируется метод линий скольжения?
5.Как ориентированы касательные к а- и p-линиям семейства линий скольжения относительно главных осей координат тензора напряжений?
6.Почему метод линий скольжения можно назвать методом характеристик?
7.Каким соотношениям вдоль а- и (3-линий должны удовлетворять сред нее напряжение сто и угол <р наклона касательной к а-лииии?
8.Каким образом определить угол наклона касательной а-линни к по верхности, на которой задано касательное напряжение?
9.Какое напряженное состояние соответствует области, покрытой семей
ством ортогональных прямолинейных линий скольжения?
10.Какому напряженному состоянию соответствует семейство линий скольжения, образующих центрированный веер?
11.На каких поверхностях при движении КМ допускается скачкообразное
изменение напряжений?
12.Как связаны KB-поля скоростей с параметрами линий скольжения?
13.На каких допущениях базируется метод разрывных полей скоростей?
14.Как строится годограф разрывных KB-полей скоростей для областей, разбитых на блоки с прямолинейными границами?
15.Почему диссипация мощности внутри блока с прямолинейными гра ницами равна нулю?
16.Как отображается область стационарного течения сплошной среды, разбитая на блоки с прямолинейными границами, в физической плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала?
17.В чем особенность отображения многослойных стационарных течений?
18.Почему реализация метода разрывных полей скоростей с помощью го дографа скоростей и с помощью отображения области течения в физической плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала дают одинаковые ре зультаты?
2.3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ-ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ
2.3.1. Склейка разрывных полей скоростей
Ранее было показано, что при построении разрывных полей скоро стей область Q течения сплошной среды разбивается на несколько бло ков. Внутри каждого блока строится непрерывное поле скоростей, ко торое, исходя из требований к разрывным KB-полям скоростей, стыку ется с полями скоростей соседних блоков. При этом только на грани цах блоков происходит скачкообразное изменение вектора скорости. Построенные таким образом разрывные KB-поля скоростей можно ис пользовать как решение для последующей корректировки. В частности, введением на стыке блоков переходных зон можно осуществить "склейку” разрывных полей скоростей (п. П3.2) и получить с помощью склеи вающих функций непрерывные во всей области Q поля скоростей. Принципы создания склеивающих функций изложены в п. П3.2. При менение их для построения непрерывных полей скоростей на основе разрывных KB-полей покажем на примере задачи о прокатке в услови ях плоской деформации, рассмотренной в п. 1.2.6.
Пусть в эйлеровых координатах Ей Ег в области Q, которая пред ставляет собой криволинейную полосу с начальным размером йо и ко нечным размером h\ движется сплошная, несжимаемая, однородная сре-
з
да. Сначала разобьем область Q на три подобласти Q = U П* такие,
|
|
|
к~1 |
ч го в П 1: |
2 |
2 |
Е~ <,Е2 й Е +, |
2 |
2 |
где А - текущая высота (П3.55) второй подобласти (Ai<A<A0) на ее дли не (П3.53)