книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

ными условиями и необходимыми связями, накладываемыми на подхо­ дящие для экстремалей функции и их производные, будем называть

прямым решением вариационной задачи. При обратном решении вариаци­ онной задачи предполагается заданной некоторое замкнутое, относи­ тельно конечного количества функций, множество уравнений с необхо­ димыми граничными условиями и связями, накладываемыми на эти функции и их производные. Рассматривая это множество как уравне­ ния типа Л .Эйлера-Ж Лагранжа для некоторого функционала, по ней восстанавливается этот функционал и определяется характер его экс­ тремума (максимум или минимум) на экстремалях функционала. Тогда обратное ранение вариационной задачи сводится к максимизации или минимизации восстановленного функционала с соблюдением гранич­ ных условий и связей, накладываемых на его экстремали и их произ­ водные. В связи с отсутствием в математике общих методов решения множества нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порддка, к которой в наиболее общем случае сводится прямое решение, а также благодаря развитию численных методов поиска экстремумов функций и широкому распространению цифровой вычислительной техники, обратное решение наиболее часто применяется в реализации постановки вариационных задач.

Известно, что вычисление интегралов на ЭЦВМ связано с обяза­ тельной дискретизацией области интегрирования, в узлах которой лю­ бая функция задается множеством чисел. Поэтому величина (П2.19), изначально задаваемая как функционал, при вычислении на ЭЦВМ превращается в заданное соответствие между двумя множествами чи­ сел, а это по определению - функция, и поиск экстремума функционала при численной реализации обратного решения сводится к поиску экс­ тремума функции.

Некоторые прикладные задачи позволяют составить функционал, зависящий от двух функций принадлежащих различным множе­ ствам Y e Ы\ Z eN . При этом для функционала справедливо равенство

Обозначая точное решение (П2.68) через I с помощью (П2.69) и (П2.70) получаем две эквивалентные вариационные задачи:

2»1

которые для функционала I называются двойственными вариационными задачами.

П2.4. ПРОЕКЦИОННЫ Е МЕТОДЫ

Разложение функции Y гильбертова пространства в ряд Ж.Фурье (П2.19) по элементам ортонормированного полного множества (П2.17) со свойствами (П2.18) можно рассматривать как проектирование Y с помощью коэффициентов Ж.Фурье (П2.20) на элементы этого множе­ ства у*- Учитывая некоторую аналогию между функциональными и век­ торными пространствами, графически это можно изобразил» в вектор­ ном пространстве, проектируя направленный отрезок, являющийся геометрической интерпретацией вектора (П1.23) с компонентами (П1.24), на направления ортов (П1.14). С этой точки зрения всякое раз­ ложение функции Y по линейно независимым элементам Yj (П2.1), в том числе и ортонормированным у„ можно назвать проектированием Y на эти элементы. В таких случаях элементы Yt в (П2.1) называются ко­ ординатными функциями, а коэффициенты X/ разложения - проекциями функции Y на Yj.

Методы решения задач, основанные на применении координатных функций, называются проекционными методами. В вариационном ис­ числении такие методы получили название прямых вариационных ме­ тодов. Суть их состоит в том, что исходную вариационную задачу рас­ сматривают как предельную для некоторой вспомогательны! задачи о поиске либо экстремума функции конечного количества переменных (например, в методе В .Ртца), либо экстремума функционала, завися­ щего от функций, определяемых меньшим количеством аргументов, чем функции функционала исходной вариационной задачи (например, в методе Л .В.Канторовича). При этом экстремум функции или функ­ ционала вспомогательной задачи отыскивается обычным способом, а решение исходной вариационной задачи получается, если это удается, предельным переходом. Если это не удается, то решение вспомогатель­ ной задачи можно рассматривать как некоторую оценку решения ис­ ходной вариационной задачи.

Рассмотрим некоторые прямые вариационные методы.

Пусть задан некоторый функционал J(Y), для которого требуется определить экстремаль. Представим искомую функцию Y(xk) в виде разложения по ко ординатным функциям

282

В методе В.Ршнца коэффициенты разложения а , не зависят от ар­ гументов хк искомой и координатных функций. В этом случае исход­ ный функционал будет иметь вид:

У=Ла,Г,(х*)). (П2.73)

После нитрирования назначенных в соответствии с граничными ус­ ловиями координатных функций функционал (П2.73) превращается в функцию J(o.f) коэффициентов разложения, которые находятся из ре­ шения замкнутого множества уравнений

Таким образом, прямой вариационный метод В.Ритца фактически сводит решение вариационной задачи к задаче о поиске экстремума функ­ ции. В приложениях этот метод часто оказывается весьма эффективным.

Если функционал J(Y ) исходной вариационной задачи является многомерным интегралом, то для ее решения иногда эффективным яв­ ляется метод Л.В.Канторовича, согласно которому исходная задача сводится к другой вариационной задаче с интегральной записью функ­ ционала меньшей размерности. Действительно, представим в разложе­ нии (П2.72) коэффициенты а , функциями одного из аргументов хк функции У, например х=Х\. Тогда в функционале J исходной задачи можно выполнить интегрирование назначенных координатных функ­ ций Yt по всем аргументам, кроме хх, и получить новый функционал I =I[a.t (x)Zp(x)\, где функции Zf(x) являются результатом такого интег­ рирования координатных функций Yr

Теперь исходная вариационная задача свелась к определению экс­ тремума функционала 7. Экстремали такого функционала должны удов­

Для решения прямой вариационной задачи функцию Y, удовлетво­ ряющую дифференциальному уравнению Л.Эйлера - Ж Лагранжа, можно определить, используя проекционный метод И.Г.Бубнова - Б Г .Галер- кина. По своей сути этот метод не относится к вариационным методам и предназначен для решения дифференциальных уравнений. Однако, в

283

связи с тем, что всякая прямая вариационная задача всегда сводится к решению таких уравнений, изложению метода И.Г.Бубнова - Б.Г.Галеркина в вариационном исчислении уделяется должное внимание.

Представим дифференциальное уравнение типа уравнения Л.Эйле­ ра - Ж .Лагранжа в общем виде с помощью некоторого дифференци­ ального оператора L:

Так же как и в методе В.Ритца в методе И.Г.Бубнова - Б.Г.Галеркина решение Y(xk) дифференциального уравнения (П2.75) раскла­ дывается в ряд (П2.72) по независящим от аргументов функции Y ко­ эффициентам ар. При подстановке в дифференциальное уравнение (П2.75) разложения (П2.72) в общем случае получим невязку /(**) = = L(ap Yp), отличную от нуля. В соответствии с методом И .Г.Бубнова- Б.Г.Галеркина коэффициенты разложения а Р находятся из условия орто­ гональности каждой координатной функции Ypневязке/:

Поиск неизвестных коэффициентов ар при назначенных в соответствии с граничными условиями координатных функциях Yp сводится к реше­ нию замкнутого относительно этих коэффициентов множества уравне­ ний (П2.76).

Контрольные вопросы

1.Назовите признаки корректности математической постановки задач.

2.Какие элементы называются линейно независимыми; как установить линейную независимость множества элементов с помощью определителя И.П.Грама?

3.Какое пространство называется линейным, конечномерным?

4.Что называется базисом линейного пространства?

5.Как выполняется скалярное произведение двух функций?

6.Какие две функции называются взаимноортогональными?

7.Что называется нормой функции?

8.Какие функции образуют пространство L2?

9.Какое пространство называется метрическим; какими свойствами должно быть наделено расстояние между элементами метрического пространства?

10.Перечислите признаки принадлежности функций гильбертову про­ странству?

11.Как выполняется процедура ортогонолизации рада линейно независи­ мых функций; как этот рад привести к ортонормированному виду?

12.Какие типы сходимости рада функций вам известны и каковы призна­ ки этих сходимостей?

13.Что называется функционалом? Приведите пример преобразования функционала в функцию.

14.Какая функция называется экстремалью функционала?

284

15.В чем состоит суть вариационной задачи?

16.Как осуществляются прямое и обратное решения вариационной задачи?

17.В чем суть изопериметрической постановки вариационных задач?

18.Как выполняется решение вариационных задач с помощью проекци­ онных методов?

19.Какова связь метода И.Г.Бубиова-Б.Г.Галеркнна с решением вариа­ ционных задач?

ПЗ. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

П3.1. ГЛОБАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ С УЧЕТОМ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

ПЗ.1.1. Метод М.М.Филоненко-Бородича

Область р , в которой предполагается выполнить построение необ­ ходимой функции К, преобразованием множества координат обычно можно представить простой фигурой (плоской - прямоугольником, ок­ ружностью или объемной - прямоугольным параллелепипедом, цилин­ дром и т.п.). Удобно с помощью дополнительного преобразования ко­ ординат привести их к такому вицу хь чтобы область исследования

Естественно, что представление в таком виде позволяет получать лишь “фатальные” значения Y внутри исследуемой области изменения аргу­ мента при Y - у .

Если на функцию Y наложены связи в виде, например дифферен­ циального уравнения Л.Эйлера - Ж .Лагранжа (П2.38), то построение такой функции можно выполнить, используя метод М .М .Ф илоненкоБородича, предложенный им для решения задач теории упругости (раз­ дела МДТТ). Суть метода состоит в том, что искомая функция представ­ ляется в виде основного решения у(х), удовлетворяющего заданным гра­ ничным условиям, например как в (П3.1), и корректировки z(x), удовле­ творяющей однородным граничным условиям. Напомним, что условия на границе некоторой области для функции называются однородными,

285

где корректирующая функция г при разложении в ряд типа (П2.1) строится на координатных функциях гк, удовлетворяющих однород­ ным граничным условиям. В рассмотренном выше примере построения функции на отрезке 1 основное ранение может бьпь записано в виде (П3.1), а корректировка - в виде:

Отметим, что для построения корректирующих функций наряду с полиномиальными рядами типа (ПЗ.З) часто применяются тригоно­ метрические сходящиеся в том или ином смысле ряды-

Корректировку функции Y нескольких аргументов хг можно по­ строить, используя метод разделения переменных, когда корректирую­ щая часть z(xf) искомой функции представляется в виде произведения

каждая из которых зависит только от одного из аргументов искомой функции У и обеспечивает выполнение однородных граничных усло­ вий для всей корректировки г в целом. В частности, в гиперкубе О £ хкй 1 при однородных граничных условиях для построения функций Ак(хк) можно использовать представления типа (ПЗ.З)

ПЗ.1.2. Метод ВЛ .Рвачева

Универсальным методом построения удовлетворяющих однород­ ным граничным условиям корректирующих функций является метод с применением R-фунхцнй ВЛ .Реачева. Суть метода основана на алгебре логики, которая позволяет ввести три операции:

1) R-коныонкция (и)

где а - произвольная функция (-1 й а(х, у) й 1), и

286

3) R-отрицание

(П3.8)

С помощью этих операций область £2 разбивается на рад канони­ ческих (простых) подобластей, заданных уравнениями При этом способ разбиения Q на полностью определяет вид уравнения w, опи­ сывающего область Q с помощью уравнений и»-.

Поясним суть метода на простом примере. Пусть некоторая об­ ласть П имеет вид прямоугольника. Такую область можно представить в виде пересечения двух полос, находящихся на интервалах |х |£ а и

\у\йЬ соответственно:

£} = £*!ГЮ2 Уравнения этих Wjполос имеют вид:

Wi = e 2 - x 2 ^ 0 ; wi = b2- y 2^.0 .

Соответственно уравнение границы области П определяется соотно­ шением

W= И^ЛоИ^.

Заменяя знак л а операции R-конъюнкции его выражением (ПЗ.б) при а = 0, имеем

(П3.9)

Формула (П3.9) является аналитическим выражением области Г2, при­ чем функция w положительна внутри этой области, равна нулю на гра­ нице и отрицателыи вне ее.

Отметим, что метод R-функций наиболее эффективен тогда, когда исследуемая область может быть представлена как комбинация про­ стых областей канонического вида: полуплоскость, полоса, прямо­ угольник, круг и тл ., легко поддающихся математическому описанию.

П3.1.3. М етод конформных отображений

Многие задачи МСС могут быть реализованы с использованием в качестве основного решения в (П3.2) так называемых гармонических функций (П2.60), методам построения которых в произвольных облас­ тях на плоскости посвящен раздел математики “Теория функций ком­ плексного переменного” или сокращенно ТФКП. В частности, к таким задачам относятся некоторые задачи “Теории теплопроводности”. По предложению ГЛ.Гуна гармонические функции используются для оцен­

287

ки технологических параметров некоторых процессов ОМД и могут быть применены как основное решение с последующей корректировкой при моделировании течения металлов в этих процессах. Приведем не­ которые необходимые сведения из ТФКП.

Пусть комплексные числа

с действительной частью Re w= cp, мнимой частью Im w = y, модулем

||w|[= уср2 -ну2 образуют множества Z s z и IVзw соответственно. Гео­ метрически множества Z и W представляют в виде плоскостей, в каж­ дой из которых имеются действительная ось (xi - в Z; <р - в W) и мни­ мая ось (Х2 - в Z; у - в IV ). Если одному множеству комплексных чисел z из Z ставится в соответствие другое множество комплексных чисел w из W, то считается, что задана комплексная функция

комплексного аргумента z. Геометрически функция (П3.12) отображает множество точек z плоскости Z на множество точек w плоскости W. Иначе, точка w eW называется образом точки z e Z . Обратное ото­ бражение множества W на множество Z осуществляется с помощью комплексной функции

Если функции (П3.12) и (П3.13) однозначны, то утверждают, что они осуществляют взаимнооднозначные отображения, а сами функции называются однолистными. При однолистном отображении функция (П3.13) называется обратной комплексной функцией.

Назначение функции комплексного переменного (П3.12) равно­ сильно заданию двух функций д ействительных переменных

lim и'=н'0,

z->z0

если существуют пределы

288

lim<p=<p0; linnp=Vo.

Функция w(z) называется непрерывной в точке zo, если она определена в некоторой окрестности го, включая саму точку zo и

lim w(z)=w(z0).

Для непрерывной в точке Zo= а + ib функции вф ) необходимо и достаточно, чтобы функции <р(х,) и vp(x,) были непрерывными в точке Х( =а; хг~Ь.

Функция w(z) называется непрерывной в обм ани D a Z , если она непрерывна в каждой точке z e D .

Функция w, определенная в некоторой окрестности Az точки z, на­ зывается дифференцируемой функцией вточке z, если существует предел

lim d £ ± » £ b d £ l= » ,(z), Az

где функция

(П3.15)

dz

называется производной комплексной функции по комплексному аргумен­ т у. Правила дифференцирования комплексной функции по комплекс­ ному аргументу полностью совпадают с такими же правилами для дей­ ствительных функций действительного аргумента.

Необходимым и достаточным признаком дифференцируемости функции w(z) в точке (П3.10) является выполнение в этой точке условия Ж Д ’Аламбера-Л.Эйлера

Упражнение П3.2. Показать, что функции <р и \р, связанные между собой соотношениями Ж .Д’Аламбера-Л.Эйлера, являются гармониче­ скими функциями, т.е. удовлетворяющими гармоническому уравнении» П .СЛапласа (П2.60)

где А - дифференциальный оператор (П1.76) 3

289

Ниже будет показано, что с помощью гармонических функций q> и \|/ в произвольной области D c Z можно построить поле скоростей те­ чения идеальной жидкости (мощность внутренних сил в такой жидко­ сти равна нулю). Поля скоростей, построенные на гармонических функциях, будем называть гармоническими полями скоростей.

Функция w(z), имеющая производную (П3.15) в точке z е Д назы­ вается моногенной в этой точке. Если однозначная функция w(z) моногенна в каждой точке z е D, то она назьшается аналитической (регуляр­ ной) во всей области D. Производная (П3.15) аналитической функции представляется в следующих равносильных формах:

которые учитывают условие (ПЗ. 16).

В соответствии с теоремой О.Коши всякая аналитическая в облас­ ти D функция /(z) в окрестности точки zoе D может быть разложена в

радиус сходимости которого меньше, чем расстояние от zo до границы

значим ak. Тогда аналигаческая в открытой окрестности (круговой об­ ласти) с центром в точке Zo функция /(z) может быть представлена в ви­ де степенного ряда

2»1(С - z „ r '

шокружность радиуса 8 = ||£-zo||, г < 8< Я .

Всвязи с тем, что аналитические функции многократно дифферен­ цируемы, функцию f{z) можно представить в виде производной некото­ рой аналитической функции w(z)

290