Vi =«*
(2.1.10)
(2.1.8)
Для P-полей b (перемещений или скоростей) первая вариация (2.1.4) функционала Ж .Лагранжа равна нулю
SJJI = 0.
Иначе, если виртуальное векторное поле b совпадает с действительным векторным полем, то функционал (2.1.7) Ж Лагранжа принимает экс тремальное значащ е. Кроме того, в соответствии с вариационным принципом Ж .Лагранжа среди множества КВ-полей Перемещений (ско ростей) P-поля при условии
сообщают функционалу Ж Лагранжа минимальное значение. Продемонстрируем применение этого принципа на примере реше
ния рассмотренной в п. 1.5.8 задачи о движении линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе (рис. 50). Для простоты изложения будем счи тать среду гомогенной.
Воспользуемся методом В.Ритца (п. П2.4) и множество КВ-полей скоростей представим в виде ряда координатных функций, удовлетво ряющих кинем этическим граничным условиям:
2* Л
,1к ;F, =о,
где а* - коэффициенты разложения (к= 1,...,JV). В соответствии с форму лой Дж.Сгокса (1.2.137) по этому полю находим скорости деформаций
5п в ~%22 =0; Sl2 =^21 =e* |
~ |
§ |
(2.1.11) |
|
Л1 |
|
|
При плоском течении несжимаемых сред интенсивность сдвиговых |
скоростей деформаций (1.2.161) имеет вид Н = 2 ^ ^ |
|
. Подстанов |
кой сюда значений компонент тензора скоростей деформаций (2.1.11) получим
2it |
|
Н =2а*% -А . |
(2.1.12) |
А |
|
Так как в рассматриваемой задаче b=v, то в (2.1.5) потенциал Пь =П у (1.5.130). Для линейно-вязкой, несжимаемой среды этот потен
циал вследствие (1.4.31), (1.2.161) и (1.3.24) имеет вид |
|
n v=|TdH. |
(2.1.13) |
Так как функция состояния ц* в (1.S.3S) линейно-вязкой среды постоян
на, из (2.1.13) имеем значение потенциала п„ = -р* н 2.
2
Перепишем функционал Ж .Лагранжа (2.1.7) для рассматриваемого случая
J„ = J n v< / n - J a " -Y d S . |
(2.1.14) |
n s
Тогда для заданных граничных условий (1.5.110), (1.5.111) с учетом симметрии течения относительно оси Е\ получим
г
|
* |
2 Л |
Л |
|
|
J„ =— |
/ \H 2dE,dE2 -A pfV 1dE2 |
|
|
2 |
£0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
или после интегрирования |
|
|
|
|
J„ =2ф* |
- А р а , |
2ih |
(2.1.15) |
|
2»+1 |
|
(2k + 2 j-l)h |
|
где суммирование от 1 до N осуществляется в каждом одночлене по всем индексам i,j и к, повторяющимся в том или ином виде.
Варьируемые параметры атнаходим из условия (П2.74)
д а т
Подстановка (2.1.15) в (2.1.16) приводит к замкнутому множеству уравнений относительно варьируемых параметров ая
а ____mj - Aphl т |
(2.1.17) |
1 2m + 2j-\ 2]i*e 2m+l |
|
Легко показать, что во всех уравнениях т-е сомножители коэффициен та «1 пропорциональны т-м свободным членам, находящимся в правых частях уравнений (2.1.17). Это фактически означает, что все варьируе мые параметры, кроме <ц, равны нулю. Поэтому множество (2.1.17) сводится к одному уравнению относительно параметра a = ai:
3 6р*<
Отсюда получаем значение параметра а, точно совпадающее с решени ем (1.5.119), полученным путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что в множество
КВ-полей скоростей (2.1.10) входит, как частный вариант, P-поле. Если бы в рдде (2.1.10) параметр к изменялся в пределах 2 й к й И , то с помо щью вариационного принципа Ж .Лагранжа было бы получено наи лучшее по минимому функционала (2.1.7) приближение к P-полю. В этом случае
ат " AM2 Am |
(2.1.19) |
2\i*£ Д |
|
где
Д = |
j m |
(2.1.20) |
t |
2 m |
+ 2 j - \ |
|
а определители Дж получаются из (2.1.20) путем замены m-го столбца столбцом, составленным из соответствующих т-х свободных членов
- В (2.1.17).
2ц I 2т+1
Таким образом, на частном примере показано, что с помощью вариационного принципа Ж Лагранжа можно выполнять ранение крае вой задачи, а сам принцип является эквивалентом решения такой зада чи путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями.
Полагая, что все коэффициенты ак, кроме a = ai, в (2.1.8) равны ну лю, педепишем функционал (2.1.15):
J |
2ц*£ |
2 |
2A ph |
(2.1.21) |
Л — ■— а |
|
---------- а. |
|
З к |
|
3 |
|
Теперь, если в (2.1.21) подставил, точное значение (1.5.119) параметра а, получим значение нижней грани функционала:
infJ * = Ар г к 3 |
(2.1.22) |
бр*е |
|
Для представления зависимости (2.1.21) графически удобно ввести сле
|
_ 6Jn \i*£ |
_ |
2 a\i*£ |
|
51 следует, |
дующие обозначения: у = |
; х = |
. Тогда из рис. |
|
А р 2к 3 |
|
А рк |
|
|
что новый функционал у = х 2-2 х принимает |
на P-поле |
(х=1 или |
ДpH2 ч |
у =- 1или1л = |
Др 2НЪЛ |
|
а = — |
) минимальное значение |
6\х*£ |
|
\ i |
£ |
|
2 |
|
|
|
|
|
s.Оф
Здесь потенциалы П* типа “'ll
(2.1.5) должны бьпъ рассчитаны в каждой области Д*.
Для различных моделей сплошных сред (см. п. 5.6) могут быть записаны частные вариан ты функционала (2.1.23) в соот ветствии со свойствами этих сред. Например, если КМ состо ит из нескольких идеальных же стко-пластичных несжимаемых сред (Т = тт= const; V*V=0), то
потенциалы Пь типа (2.1.11)
°а
при Ь=У представляются про изведением напряжения пласти
ческого сдвига т“ a -среды на интенсивность сдвиговых скоро стей деформаций Н и функцио нал (2.1.23) имеет вид
(2.1.24)
(2.1.23)
к
В общем случае для сплошных композитных сред М = U М а
а=1
функционал (2.1.7) должен быть записан в областях Па движения каж дой компоненты с соответствующими границами Sa. При этом на ос новании (1.4.34)...(1.4.41) необходимо учишватъ скачок АЬ^ вектора b
на границе Sop компонент Л#в и Л/р. Тогда для объема П = и п а без
а
учета массовых и инерционных сил получим
к
J„ = I / п badn+ h ^ d S - Ja" *brfS.
а=1
Рис. 51. Зависимость функщюнял* ЖЛягрвн жаотварыфуемогопараметра
J„ = т? J H dQ + Jx”p • AVaprf>S~ J o ” •\ d S .
Особенности граничных условий, оговоренные в начале этого пунк та, приводят к тому, что при использовании принципа Ж .Лагранжа допускаются вариации параметров напряженного состояния на участ ках Sv; Sjy] где соответственно V=0; Vх=0; VP = 0* Однако, вследст вие равшства нулю произведений 8a"*V; 8т"-Vх; 8p"-VP на этих участ-
ках в функционале Ж .Лагранжа слагаемые, связанные с интегрирова нием на таких участках поверхности тела М , не рассматриваются.
Упражнение 2.1.1. Используя вариационный принцип Ж.Лагранжа
и множество KB-полей скоростей |
|
|
2* \ |
*р+1 ;К “ =0. |
|
Г,а =««* 1- 2* +а№ 1- |
(2.1.25) |
г<х
где р ^ о с - 1, показать, что функционал (2.1.24), записанный для течения многослойной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе (рис. 50), принимает минимальное значение на P-поле, для которого все па раметры а<*= 0, кроме параметра aa =aai, вычисляемого по формуле (1.5.115) Э
2.1.2. Принцип А.Касгилиано
В основе этого вариационного принципа лежит метод виртуаль ных статических параметров. Пусть, как и в предыдущем пункте, век тором Ь представлено либо поле перемещений п, либо поле скоростей V, а тензором Т» - либо тензор деформаций Тс, либо тензор скоростей деформаций соответственно.
Сначала предположим, что на части Sb поверхности S тела М с объемом Q заданы кинематические граничные условия типа (1.2.171), а на частях Sa, S^ и S заданы нулевые статические граничные условия (о" = 0, р" = 0, т"=0 соответственно). На последних трех частях поверх ности S кинем этические граничные условия в общем случае могут быть отличными от нуля. По сути типы оговоренных механических гранич ных условий определяют класс задач, решаемых рассматриваемым ни же вариационным методом, область применения которого будет рас ширена в конце этого пункта.
Запишем вариацию энергии поверхностных сил, построенную на
вариации статических параметров Jb-8a"4S. Предполагается, что ва- s
риация поверхностного напряжения Sa" связана с вариацией тензора напряжений 8Т„ внутри области £2 посредством формулы О.Коши (1.3.13). Тогда, используя (П.1.103), преобразуем поверхностный инте грал в объемный
JbSo"</5 = /V ( b - 8 T 0 )</Q |
(2.1.26) |
S |
Q |
|
и с учетом связи вектора b с тензором Т .по формуле (2.1.2) получим
/Ь 8стл<Ю= J [(V 8 T 0 ) b + Ta -8T0]rf£l |
(2.1.27) |
S |
Q |
|
Так же, как и ранее, массовые и инерционные силы будем считать пренебрежимо малыми. При произвольном тензоре напряжений в (2.1.27) уравнение равновесия (1.4.18) в общем случае приводит к неко торой невязке, т.е. не будет удовлетворяться. Интеграл по объему П от скалярного произведения вариации этой невязки на тензор Та обозна чим через 5Jk. Тогда из (2.1.27) получим
8 J k = J b •8a"<JS-jTa -8T„ d i l . |
(2.1.28) |
5 |
Q |
|
С помощью потенциала По, вариация которого
учитывая, что в поверхностном интеграле заданные кинематические параметры не связаны с вариацией поверхностных напряжений и знак вариации можно вынести за пределы этого интеграла, из (2.1.28) имеем
\ b < 5 n d S |
- \ T l a d C l |
(2.1.30) |
vs |
n |
|
Отсюда с точностью до несущественной, неварьируемой функции
J k = J b - o " r f 5 - \ T l a d C l . |
(2.1.31) |
5 |
О |
|
Полученный функционал называется функционалом А.Кастилиано, а вариационный принцип, связанный с поиском напряженного состоя ния, обеспечивающего максимальное значение функционала (2.1.31),
вариационным принципом А.Кастилиано.
В соответствии с принципом А.Касгилиано среди множества СВполей напряжений P-поле сообщает функционалу А.Кастилиано мак симальное значение. Применение этого вариационного принципа про демонстрируем на примере задачи о движении изотропной, однород ной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе с граничными ус ловиями, представленными на рис. 52.
Воспользуемся методом В.Ритца (п. П. 2.3) и представим СВ-поля напряжений с помощью функции напряжений Дж.Эри (1.4.22).
Упражнение 2.1.2. Используя формулы (1.5.45), показать, что функция напряжений Дж.Эри для линейных (линейно-упругих и линей но-вязких) сред должна быть бигармонической (П1.77) 3
Рис. 52. К решению задачи о движении в лрамолтейной полосе однородной лвнейновазкойсреды
1
Функцию Дж.Эри представим в виде ограниченного полиноми ального ряда, удовлетворяющегобигармоническому уравнению (П2.62)
По формуле (1.4.22) найдем компоненты тензора напряжений
(Т11 = 2 (й 2 + U3E1)',
СТ22 = 2(fll + 3<24£l);
СТ|2=-2йзЕ2. (2.1.33)
Далее по формуле (1.3.24) определим квадрат интенсивности каса тельных напряжений
Т 2 =(а, - а 2)2 -2£,(а, - а 2)(а3- г а 4)+Е2(а2-За4)2 +4а2£ 2, |
(2.1.34) |
а по формуле (2.1.29), учитывая, что для линейно вязкой среды p*=const
Т
и Н = — , найдем потенциал
й
По статической формуле О.Ковш (1.3.13), учитывая, что на левой
границе области П = - —J компоненты единичной внешней нормали
п имеют значения Ri=-1; |
«2 = 0, а на правой границе f-Ej = —J-Ri = 1; |
«2 = 0 (рис. 52), находим |
единственную отличную от нуля проекцию |
полного напряжения а" на нормаль: р п=<Уц.
Теперь с учетом заданных кинемэтических граничных условий (рис. 52) запишем функционал А.Касгилиано (2.1.31), который после
интегрирования в пределах —£ й Е х |
I ; 0 й Е г йИ имеет вид: |
|
2 |
2 |
|
|
А |
4<ьА2 |
(а$£-Ар) |
(2.1.37) |
Jk |
+— -— |
2 |
3 |
|
|
Варьируемые параметры атнаходим из условия (П2.74) |
|
£ к = 0. |
|
|
(2.1.38) |
дат |
|
|
|
При этом дифференцирование (2.1.87) по аь а2 и а4 приводит к соотно шениям
а\ = а2; аз= За4, |
(2.1.39) |
а дифференцирование по а3 - к значению этого параметра |
|
Ар |
(2.1.40) |
аг = ~ - |
Подстановкой (2.1.39) н (2.1.40) в (2.1.33) получаем компоненты тензора напряжений и среднее напряжение а0
ст11 - ст22 “ а 0 = 2а{+ АрЕг»
|
|
|
£ |
|
ст12 = “ |
АрЕ2 |
(2.1.41) |
|
£ |
|
|
|
Если (2.1.39) и (2.1.40) подставить в (2.1.37), то получим значение верхней грани функционала Jk:
supJk
6\i £
Сравнение (2.1.41) с ранее полученным путем интегрирования замкнутого множества уравнений решением (1.5.116) показывает, что боковые компоненты тензора напряжений одинаковы, а остальные па раметры напряженного состояния совпадают структурно. Окончатель ный вид этих параметров зависит от значения неизвестного коэффици ента в]. По существу а\ определяет уровень прикладываемых к движу
щейся среде нормальных давлений р я на ее левой = - - j и правой
| Ех= - 1 границах. Причем на кинематические параметры существен
ное влияние оказывает лишь разность Ар этих уровней, а не их индиви дуальные значения. Если, как и ранее на левой границеp n= -pi, а Ар = Pi -Р 2»то значения в (2.1.41) приведут к точному решению (1.5.116).
Поведение |
функционала Jk |
|
|
|
(2.1.37) показано на рис. 53, где |
|
|
|
использованы |
следующие обо |
|
|
|
значения: |
|
6 1 л ц** |
2 а\1*е |
|
|
4 х |
У = — 2г т ; х = — |
ГГ |
|
|
|
|
|
А р 2ft3 |
A p h 2 |
|
|
|
При |
этом |
уравнение |
(2.1.37) |
|
|
|
представляется в видеу = 2 х -х г, |
|
|
|
а рис. 53 |
показывает, |
что |
на |
|
|
|
P-поле (х = 1) функционал (2.138) |
|
|
|
принимает |
максимальное |
зна |
|
|
|
чащ е (у =1). |
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае для сплош |
|
|
|
ных композитных сред функцио |
|
|
|
нал (2.1.31) должен быть записан |
|
|
|
в областях Qa движения каждой |
|
|
|
компоненты с соответствующими |
|
|
|
границами Sa. При этом на осно |
|
|
|
вании (1.4.34)...(1.4.41) на грани |
|
|
|
цах |
компонент М а и М р дол |
Рис. S3. |
функционала А.Касти- |
жен быть задан скачок АЬор век- |
лиане ет варыфуемего параметра |
|
тора |
Ь. |
Тогда |
для |
объема |
|
|
|
П = UПа без учета массовых и инерционных сил получич |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
Г |
|
|
|
|
|
= | Ь - а я</5- S |
|
|
•Abaprf5 |
. |
(2.1.43) |
|
|
s |
|
a = l |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь потенциалы |
П0а типа (2.1.29) должны быть рассчитаны в каж |
дой области Па. |
|
|
|
|
|
|
Особенности граничных условий, оговоренные в начале этого пунк та, приводят к тому, что при использовании вариационного принципа А.Кастилиано допускается вариация кинематических параметров на таких участках S„; S#; границы S, где соответственно ст"= 0, р"=0, Xя = 0, но вследствие равенства нулю произведений ст"-8Ь, р"-8Ь', х"-8Ьх на этих участках в функционале А.Кастилиано такая вариация не рас сматривается.
2.1.3. Принцип минимума мощности внутренних сил
Рассмотрим мощность внутренних сил, представленную в виде, по лученном в (1.4.42)
Int* = JTO (V 0 V)</Q. |
(2.1.44) |
о
Покажем, что экстремали этого функционала удовлетворяют уравнению равновесия (1.4.18).
В декартовых координатах, где </П= dEidEidEi, формула (2.1.44) в скалярной форме записи имеет вид
|
dVt |
(2.1.45) |
Int* = f a ik — -, d E ldE2 dE3. |
п |
дЕк |
|
_ |
|
O V t |
В связи с тем, что в подынтегральное выражение |
F = a ik— — входит |
дЕк
несколько функций, для определения экстремалей функционала (2.1.45) необходимо использовать множество обобщенных дифференциальных уравнений Л .Эйлера-Ж .Лагранжа (П.2.55). При этом первое семейство
„ dF „
уравнении ------= о приводит к тривиальному решению, соответствую- d°ik
щему поступательному движению — —=0. Второе семейство уравне-
дЕк
ний точно совпадает с уравнением равновесия (1.4.18). Таким образом, напряжения, удовлетворяющие уравнению равновесия, являются экс тремалями функционала (2.1.45) и, следовательно, сообщают послед нему стационарное значение. Приведенное доказательство справедливо не только для декартовых, но и для любых других координат.
Пусть тензор напряжений связан с тензором скоростей деформа ций соотношением (1.5.3). Учитывая (1.4.30), это соотношение можно
представить в виде |
|
Т„ =Tc(V®V). |
(2.1.46) |