книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdfПриведенная выше задача о движении линейно-вязкой среды по зволяет с помощью (1.5.116) и (1.5.118) рассчитать потенциал (1.5.130) для композитной среды
Лр2£ 2
(1.5.131)
а с помощью (1.5.116) и (1.5.121)- дня эффекгивного-модуля
П э = |
(1.5.132) |
Подстановкой (1.5.131) и (1.5.132) в (1.5.129), на основании теории эффективного модуля, имеем
М-эфф = |
А3 |
(1.5.133) |
Так же как и ранее (1.5.124)...(1.5.12б), эффективные свойства (1.5.133) позволяют в частном случае получить точное значение напря жений (1.5.116), но они не дают достоверной информации о характере распределения кинематических параметров. В более общих случаях теория эффективного модуля не позволяет оценить достоверность рас чета параметров НДС. Однако можно показать, что с помощью энер гетических потенциалов удается произвести оценку области изменения характеристик эффективных модулей, внутри которой находится точ ное решение. Границы такой области называют “вит ой”.
Для приближенного определения эффективных характеристик гетерогенных сред, кроме приведенного, существует много других энергетических методов. К ним, в частности, относятся принцип ДжшДшЭшелби, двухсторонние оценки по методу В.Фойгта-А.Рейсса или по методу З.Хашина- С.Штрикмана и др. Два последних метода связаны с применением вариационных принципов МСС и будут рас смотрены ниже.
Сущность принципа Дж.Д.Эшелби состоит в замене интегрирова ния по объему при вычислении энергии деформирования упругих сред интегрированием по поверхности. Предположим, что сплошная среда М =AfaU3fp состоит из матрицы (окружения) М а и включения ЛГр, а параметрами НДС при упругом деформировании этого тела являются тензор напряжений Та и тензор деформаций Те.
Определим энергию внутренних сил деформирования гетерогенно го тела с учетом соотношения (1.4.50)
171
Int = j T e (V ® i)rfQ . |
(1.5.134) |
Q |
|
Если же эту область будет занимать только среда окружения М а, то при прочих равных условиях параметрами НДС будут тензоры Т° и
Т®, в общем случае отличные от тензоров Та и |
Те. Тогда энергия |
внутренних сил будет иметь вид |
|
Int® = JT® (v®u®)</fl. |
(1.5.135) |
а |
|
Вычитанием (1.5.135) из (1.5.134) получим |
|
Int = Int° + j[T e • (V® о) - Т® • (v® о°)]<Ш. |
(1.5.136) |
Q |
|
Полагая, что для обоих тензоров напряжений Т„ и Т ®выполняет ся уравнение равновесия (1.4.18), к правой части (1.5.136) можно доба
вить соответствующие слагаемые |
|
Int = Int® + j[(V - Т„ )-u-(VT®)-B® + |
|
о |
(1.5.137) |
+ т„ • (v® о) - т® • (v® я® )|< т . |
|
которые позволяют представить (1.5.136) в виде |
|
Int = Int ®+ J [V • (Тс • u) - V • (Т ®•«®)] <Ш. |
(1.5.138) |
а |
|
Применяя здесь к объемному интегралу формулу М.В.Остроградского - К.Гаусса (П1.103), с учетом формулы О.Коши (1.3.13) имеем
Int = Int® + j(a " - o - o j -u0) ^ , |
(1.5.139) |
s |
|
где a" = a j - поверхностные напряжения гетерогенного и гомогенного тел соответственно.
Теперь рассмотрим тело М а отдельно без включения. Очевидно, что внешнее по отношению к М л воздействие тела включения Л/р сле дует представить множеством сил на поверхности Б ф а внутренние па раметры НДС такого тела, используя принцип суперпозиции, можно записать в виде
Т „*Т ® + Т ';
172
т е = т6° + т / . |
(1.5.140) |
Запишем соответствующую работу внутренних сил |
|
I5t = |(т® + т/ )(т °+ т/ )<Ю. |
(1.5.141) |
Q |
|
С помощью (1.5.140) она может быть представлена суммой |
|
Ifit = Int°+Int/ + и ш т , |
(1.5.142) |
где т / ,т / , - параметры НДС, возникающие в теле М л, свободного от внешнего воздействия, приложенного к телу М . Энергия внутренних сил тела М а, где Int° определяется формулой (1.5.135) и
In t' = / Т ' Т / dQ,
|
О |
|
UINT = |
+т/ -т ®)d a. |
(1.5.143) |
|
а |
|
Здесь UINT учитьшает энергию взаимодействия двух схем НДС среды М а, помещенной в объеме Г2а=£Ж1р, где Qp - объем тела включения Мр. Для упругих тел, свойства которых описываются соотношением (1.5.1), энергию удобно записать в ином виде.
Упражнение 1.5.16. Используя симметрию тензора |
4 |
т с в (1.5.1), до |
|
казать справедливость следующего равенства |
|
Т ® - т /= т /т ® Э |
(1.5.144) |
С помощью (1.5.144), учитывая (1.4.50), для получаем |
|
и шт =2jT®(v®u/ )dQ. |
(1.5.145) |
Q |
|
Формула М .В.Остроградского-К.Гаусса (П 1.103) при выполнении для Т° уравнения равновесия (1.4.18) из (1.5.145) с помощью формулы
О.Коши позволяет получить |
|
UINT=2jo2-u f dS. |
(1.5.146) |
s |
|
Если формулу (1.5.139) применить к телу М а, то вместо в следует подставить перемещение в , определяемое из (1.5.140).
В этом случае
173
Int = Int° |
(1.5.147) |
Сравнивая (1.5.146) и (1.5.147), имеем
Int = Int° + —U INT |
(1.5.148) |
Для окончательной записи результата представим U IN T (1.5.145) в виде суммы интегралов по областям Да и Др
U INT = 2 |
jT® -(v®u/ )dSl+ |
j T { ( v ® 0 / ) |
dCl. |
(1.5.149) |
||
|
Э« |
|
Ц |
|
|
|
С использованием (1.5.144) имеем |
|
|
|
|
|
|
U INT - 2 |
J T ° ( V ® U')< /Q + |
JT{.(V ® B °) |
dCl. |
(1.5.150) |
||
|
n. |
|
n. |
|
|
|
или на основании (П1.103), полагая для |
в области Па и для Т° в об |
|||||
ласти Пр выполнение уравнения равновесия (1.4.18), |
|
|||||
U INT = 2 Jo " -u ^d S —2 |
"U°dS+2jc^- |
|
(1.5.151) |
где знак минус учитывает силовое взаимодействие (1.4.34) тел окруже ния и включения в объемах Д* и Др соответственно. Так, как о } = 0 на на S, то
и Шт =2 j(ag - и ' - a } -a°)dS, |
(1.5.152) |
'«Р |
|
Вместо перемещения и напряжения <?/ подставим их значения, по лучаемые с помощью (1.5.140)
U INT = 2 /(сто |
— •■*)«/& |
(1.5.153) |
■о» |
|
|
Изначально предполагалось, что 5 } = а" и а = о. Поэтому
и шт =2 j( CTo |
v°)d S , |
(1.5.154) |
ар |
|
|
174
Подстановкой (1.5.154) в (1.5.148) получаем окончательный ре зультат, представляющий собой формулу Дж Д.Эшелби при заданных статических граничных условиях гетерогенного тела
(1.5.155)
Формула (1.5.155) получена для гетерогенного тела с заданными статическими граничными условиями в напряжениях.
Упражнение 1.5.17. Доказать, что при заданных кинематических граничных условиях в перемещениях формула Дж.Д.Эшелби имеет вид
(1.5.156)
Таким образом, при определении общей для гетерогенного тела внутренней энергии деформирования интегрирование по объему с по мощью формул (1.5.155) и (1.5.156) можно заменить частичным интег рированием по поверхности, что значительно упрощает исследования гетерогенных.сред.
Кроме приведенных примеров отметим еще несколько способов определения эффективных характеристик композитов.
Наиболее простым является метод вириалкного разлож ения, ос нованный на разложении эффективных характеристик в ряд по кон центрации одной из компонент композита. При этом объемная доля содержания такой компоненты в композите должна быть достаточно мала.
При описании поведения поликристаллических материалов, в ко торых скачкообразное изменение свойств при переходе от одной точки к другой связано с ориентацией кристаллитов, А.В.Хершей и Е.Кренер использовали метод самосогласования, в котором каждый анизотроп ный кристаллит рассматривается как шар или эллипсоид, включенный в бесконечную гомогенную среду с неизвестными свойствами. Такая комбинация тел подвергается однородному внешнему воздействию на значительном расстоянии от включения. Затем средние параметры во включении приравниваются (согласовываются, с чем и связано назва ние метода) значениям параметров приложенного к системе внешнего воздействия. В результате получается система уравнений, которая оп ределяет свойства эффективного модуля.
При решении некоторых задач могут оказаться полезными методы механики смеси, которая по сути является механикой набора сплошных сред. Так, для многокомпонентной сплошной среды уравнение нераз рывности в эйлеровых координатах имеет вид (1.4.7), который с помо щью (П1.91) может быть преобразован
175