книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

/(z)=w'(z).

Наоборот, iv(z) определяется с точностью до аддитивной постоянной через функциюДг):

•Kz)=J/(z)rfz.

Z

Используя разложения (П3.19) и (П3.20), получим представление функ­ ции Цг) в виде:

Введем обозначения: к - - п г , ак= С-я. Тогда ряд (П3.21) может бьпъ представлен в следующей форме:

является аналитической функцией во всех точках, кроме z = ZQ. Такие слагаемые будем называть простейшими аналитическими ф ункциям . Точка zo называется изолированной особой ниткой функции w(z), если существует окрестность 0 < ||г -г 0||< Я этой точки (с исключением zo), в которой w(z) аналитична. Различают три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции иiz) в их окрестности:

а) точка z0 назьшаегся устранимой особой точкой, если существует

конечный предел lim n'(z); z~*zt

б) точка Zo назьшаегся полюсом, если lim w(z)=oo; z-»z,

в) точка Zo назьшаегся существенно-особой точкой, если не сущест­

вует lim M z). г~*г*

Функция иiz) называется целой (,голоморфной) в некоторой области D, если в этой области она не имеет особых точек. Функция w(z) назы­ вается дробной (мераморфной) в области D, если в этой области она не имеет других особенностей, кроме полюсов.

Нулем функции w(z) называют любую .точку z = zo, в которой H^ZO) = 0. Аналитическая функция w{z) в области своего существования

ж

может иметь лишь счетное множество нулей (предполагается, что во всей об лает не выполняется условие H^Z) B O). В области аналитично­ сти, в окрестности своего нуля zo функция w(z) разлагается в ряд

где n t I. Число п называется порядком или кратностью нуля. При п= I точка zoназывается простым нулем.

Целая функция tv(z) может быть представлена в виде бесконечного произведения

j

гдер - наименьшее неотрицательное число, для которого

h(z) - целая функция (полином степени не выше р); zk - последователь­ ность нулей w{z), в которую каждый нуль входит столько раз, какова его кратность. Приведем примеры представления целых функций в ви­ де бесконечного произведения:

- Г. Z2 ^

(П3.23)

В ТФКП показано, что с помощью аналитических функций в неко­ торой области D с. Z , ограниченной линиями <р = <р+ = const; q> » qr = = const; ц/ * v|/+ = const; vp = цг = const, можно построить плоское гар­ моническое поле скоростей.

Рассмотрим плоское векторное поле

которое должно удовлетворять условиям соленоидальности

и потенциальности

292

Легко показать, что такое векторное поле может быть определено с помощью гармонических скалярных функций (П3.16), (П3.17). Иначе одновременно соленоидальное и потенциальное векторное поле явля­ ется гармоническим. Действительно, для обращения в тождество усло­ вия (П3.25) удобно ввести некоторую скалярную функцию у , называе­ мую функцией тока, такую что

При подстановке компонент (П3.27) вектора т в условие (П3.23) последнее обращается в тождество. Кроме того, для обращения в тож­ дество условия (П3.26) удобно ввести другую скалярную функцию <р, называемую потенциалом вектора скорости или консервативной функ­ цией, такую, что

При этом подстановка (П3.28) в (П3.26) также обращает последнее в тождество.

Упражнение ПЗ.З. Доказать, что подстановка (П3.27) в (П3.26) и (П3.28) в (П3.25) приводит к уравнениям П.С. Лапласа (П3.17), а под­ становка (П3.27) в (П3.25) и (П3.28) в (ПЗ.26) - к тождеству Ф

Сравнивая (П3.27) и (П3.28) с условием Ж .Д’Аламбера-Л.Эйлера (ГО.16) и с производной аналитической функции »ф) по комплексному аргументу z (П3.18), устанавливаем, что построение гармонического плоского векторного поля может быть сведено к построению аналити­ ческой функции (П3.1 IX называемой для поля ▼комплексным потенциа­ лом. Иначе, искомый вектор т (П3.24) будет равен величине, комплекс­ но сопряженной с первой производной комплексного потенциала по комплексному аргументу z

Величина w' называется комплексной скоростью. Производная ком­ плексной скорости w'(z) по аргументу z может быть представлена в следующих равносильных формах:

Величина ^"называется комплексной скоростью деформации.

293

С помощью гармонического векторного поля (П3.24), удовлетво­ ряющего условиям (П3.25) и (П3.26), можно описать поле скоростей те­ чения идеальной жидкости в некоторой области D, принадлежащей плоскости Z . Такую плоскость будем называть физической плоскостью,

а построенные в D течения - гармоническими течениями. Линии тока

(векторные линии поля скоростей) такого течения будут характеризо­ ваться функцией тока

Эквипотенциальные линии, характеризуемые консервативной функцией (потенциалом)

которые вместе с линиями тока (П3.31) в плоскости Z образуют орто­ гональную сетку.

В ТФКП часто используется принцип отвердения, согласно кото­ рому любая линия тока (П3.31) течения с соленоидальным полем ско­ ростей (П3.25) может рассматриваться как граничная линия некоторой области такого течения.

Комплексный потенциал (П3.10) осуществляет конформное ото­ бражение области D физической плоскости Z на область Е (полоса, полуполоса или прямоугольник) плоскости комплексного потенциала W.

При таком отображении угол между двумя любыми линиями в плоско­ сти Z равен углу между образами этих линий в плоскости W, а беско­ нечно малые окружности в плоскости Z с точностью до малых высшего порядка остаются окружностями в плоскости W.

Таким образом, в ТФКП по существу разработаны методы кон­ формного отображения произвольной области D, ограниченной эквипотенциалями ф =ф +; ф=ф- и линиями тока ф = ф +; ф -ф ~ , в плоскости физического течения Z на прямоугольник Е, ограниченный прямыми линиям и ф+ = const; ф -= const и ц/+= const; \р-= const в плоскости ком­ плексного потенциала W.

ПЗ.1.4. Метод интеграла КЛИварца-Э.Кристоффеля

Для конформного отображения полигональной области D, пред­ ставляющей собой и-угольник с вершинами А к и суммой внутренних углов а*, выраженных в долях л

и построения в этой области комплексного потенциала (П3.10) приме­ няется метод интеграла К.Ш варца-Э.Кристоффеля.

294

В соответствии с этим методом комплексный потенциал (ШЛО) записывается в параметрическом виде:

где функции z и w комплексного аргумента С, записываются с помощью интеграла К.Ш варца-Э.Кристоффеля

z ( c ) = c j n ( ; - « * ) aw < ; + c 2;

отобразить область D физической плоскости Z и область Е плоскости комплексного потенциала W на полуплоскость А вспомогательной плоскости С,.

Величины ак и bj ъ (П3.35) называются константами интеграла К.Ш варца- Э.Кристоффеля. Они являются образами вершин Ак облас­ ти D и Bj области Е на действительной оси %соответственно. Принято за положительный обход области считать такое движение вдоль ее гра­ ницы, при котором область обхода остается слева. Назначение кон­ стант а к и b j на оси £ и вершин В к в области Е, являющихся образами вершин А кв области D, должно быть таким, чтобы при положительном обходе области D в Z и ее образов, как на границе прямоугольника Е в W, так и на границе верхней полуплоскости А в £, последовательность точек А к соответствовала последовательности всех встречаемых их образов.

Главную трудность применения интеграла К.Ш варца - Э.Крис­ тоффеля составляет определение неизвестных констант ак (fry). Частично эта трудность устраняется за счет одного из свойств интеграла: при его составлении три любые его константы из множества ак (из множества fry) можно назначать произвольно (свобода выбора), а остальные кон­ станты ак (fry) и постоянные Сп должны быть определены из условий за­ дачи или в процессе ее решения. Однако следует отметить, что свобода выбора трех констант ак (fry) всегда определяется необходимостью реше­ ния задачи, так как неудачный выбор их может привести к сложному подынтегральному выражению в (П3.35). При назначении констант обычно используют еще одно свойство интеграла К.Ш варца - Э.Крис­ тоффеля: если одна из констант ак (bj) помещена в бесконечность, то соответствующий этой константе в интеграле (П3.35) сомножитель ра­

295

вен единице. Процедура назначения трех произвольных констант на­ зывается нормировкой интеграла К.Ш варца - Э.Кристоффеля.

Значения нижних пределов интегрирования С,о в (П3.35) связаны с выбором множества координат в плоскостях Z ,W uC ,.

Упражнение П3.4. Используя метод интеграла К.Ш варца - Э.Крис­ тоффеля и его нормировки для физической плоскости Z и плоскости W комплексного потенциала:

для плоскости Z для плоскости W

показать, что конформному отображению области D, ограниченной в плоскости Z двумя лучами ф+= const и у - = const, исходящими из нача­ ла координат с углом а между ними, на полосу Е шириной Дф = ф+- ф - в плоскости W соответствует комплексный потенциал

(П3.36)

ха

Покажем, что аналитическая функция (П3.36) описывает в физиче­ ской плоскости Z течение потока источника при Дф>0 (стока при Дц/ < 0) с интенсивностью (мощностью) Ац/, помещенного в начало ко­ ординат. Для этого разложим комплексный потенциал (П3.36) на дей­ ствительную ф и мнимую ф части (П3.11) при Im Ci = 0

Ф=— 1 п ^ х ,2+ х | + 1 п — ;

ха С|

Введем обозначения

Тогда для фиксированного угла а при ф = const для действительной части w получим уравнение окружностей г = const, а при vj/=const для мнимой части w - уравнение пучка прямых k = const. Теперь, используя (П3.36) и (П3.15), вычислим комплексную скорость

Учитывая (П3.29), находим компоненты вектора скорости

Отсюда следует, что при Дц/>0 вектор скорости V=v+iv направлен от начата координат в бесконечность и это соответствует источнику в на­ чале координат, поток которого ограничен двумя лучами с углом т а между ними. Если же Avp< 0, то вектор скорости V направлен к началу координат и это соответствует стоку в начале координат, поток кото­ рого также ограничен двумя лучами с углом т а между ними. В частно­

сти, если а =2, то с точностью до несущественной константы In—- ^1 комплексный потенциал (П3.36), соответствующий точечному источ­

нику (стоку) в начале координат, будет иметь вид:

Упражнение П3.5. Показать, что при вычислении комплексного потенциала (ПЗ. 14) в параметрическом виде (П3.34) с помощью интегра­ ла К.Ш варца-Э.Кристоффеля (П3.35) комплексную скорость (П3.15) можно представить в виде:

dw

(П3.38)

л; *=г

а комплексную скорость деформации (П3.30) - в виде:

ПЗ.1.5, Метод суперпозиции гармонических течений

Другим эффективным методом построения комплексного потенциала (П3.14) в заданной области является метод суперпозиции (линейного сло­ жения) комплексных потенциалов простейших гармонических течений.

» 7

Простейшим течением типа т называется течение, комплексный потенциал которого представляется в виде:

и т.д. Вообще течение типа т> 2 называется мулътшюяем в точке z = z0. При т < 0 комплексный потенциал (П3.40) соответствует мультиполям, помещенным в точке z = » .

Суперпозиция известных течений успешно используется в гидро- и аэродинамике как метод построения новых течений. В основном тексте учебника показано, что этот метод может быть применен для оценки ки­ нематических параметров процессов ОМД. Рассмотрим суть этого метода.

В плоскости физического течения Z поместим j простейших тече­

ний типа т (П3.40) с комплексными потенциалами w j. В результате

взаимодействия всех таких течений в плоскости Z получим новое тече­ ние, комплексный потенциал которого представляется в виде линейной

комбинации комплексных потенциалов w j:

где - k-e параметры суперпозируемых течений, а к повторяющимся индексам m w j применяется правило А.Эйниггейна.

Применение линейного сложения простейших течений для по­ строения новых течений покажем на примере суперпозиции точечного

источника (П3.37) или (П3.42) при С{ =— ; z0 = 0 и однородного пото-

2п

ка (П3.41) при действительном положительном С0= V*. Комплексный потенциал w = + iv° нового течения имеет вид:

w = ^ - \n z + V <ti z.

2п

298

Разложим iv на действительную <р и мнимую \|/ части (П3.11). Тогда со ответственно получим консервативную функцию

Ф=-^1п J x f + x f +Ких, 2*

и функцию тока

Aw х2 „

\|/=— arctg— +F00X2,

2я X]

Далее находим комплексную скорость (П3.15)

, Ач/ 1 »♦>'=—- - + F X.

2я г

или, учитывая (П3.29), определяем компоненты вектора скорости

Отсюда следует, что при г = ±оо скорость совпадает со скоростью одно­ родного потока V„. Исходя из природы суперпозируемых течений, мож­ но предположить, что на действительной оси х\ существует точка, в кото­ рой скорость равна нулю. На этой оси х 2= О вторая компонента v2 = 0. Приравнивая первую компоненту нулю при мнимом аффиксе х2= 0

v, = - ^ i- + F x =0,

происходит разложение одной линии тока на несколько линий с одним и тем же уровнем vp = 0. Такая особая точка называется точкой бифур­ кации. В области ОМД такой точкой является точка пересечения рабо­ чей поверхности валка при прокатке металла с осью, перпендикуляр­ ной линии центра валка (л.ц.в.) (рис. 68). Так как в этой точке скорость металла равна нулю, процесс прокатки осуществляется легче тогда, ко­ гда точка встречи поверхностей металла и валка наиболее удалена от точки бифуркации.

В рассматриваемом примере линия тока, ограничивающая поток источника, асимптотически при Х \ -»оо стремится к линиям х2=в. Зна­ чение величины а найдем подстановкой уровня ц/ = 0 в формулу для вычисления функции тока

299