книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdfщения U, (1.2.4) или (2.1.70) для расчета тензора деформации T L или Те, (1:2.137) для расчета топора скоростей деформаций Т$. Вместе с основ ным множеством перечисленные уравнения образуют новое замкнутое множество уравнений, содержащее 28 скалярных уравнений и такое же количество скалярных неизвестных, которое используется в математиче ской постановке изотермических задач ТП. Для неизотермических про цессов к этим уравнениям следует добавить уравнение теплопроводно сти (1.4.61), в котором все теплофизические параметры должны бьпь заданы. В этом случае к 28 неизвестным величинам добавляется темпе ратура 6 и замкнутое множество содержит 29 скалярных уравнений.
При решении некоторых задач МСС основное множество уравне ний удобно записывать не через вектор скорости V, как это показано в табл. 4, а через вектор перемещения U. В этом случае в основном мно жестве остается уравнение (1.3.13), а уравнения (1.2.92) и (1.4.5) (табл. 4) заменяются уравнениями (1.2.4) и (1.2.145) соответственно. При этом последнее уравнение необходимо переписать в эйлеровых координатах. Интегрируя (1.2.145), имеем pJi, =с. Для определения константы с вос пользуемся начальными условиями: при t =to величины JL = 1 и р = ро(£*). Теперь (1.2.145) можно переписать в виде
pJb = po. |
(1.5.17) |
Отсюда, учитывая (1.2.56), получаем
P = P OJ E . |
(1.5.18) |
Кроме того, в уравнении движения (1.4.16) вместо вектора скорости нужно записать его значение, рассчитываемое по формуле (1.2.90). Окончательно получаем основную замкнутое множество уравнений в перемещениях (табл. 5).
Так же как и в предыдущем случае, к основнму множеству уравне ний, представленных в табл. 5, можно добавлять необходимое количе ство других уравнений, не нарушающих замкнутость множества.
Т а б л и ц а 5 . Основноемножествоуравнетйвперемещениях
Вид уравнения
T„ = T«(V®L,f) U = E - L
d 1 u V.T0 +pF = p ^ —
d t 2
II |
*3 |
CL |
HI CL |
Суммарное количество |
Номер формулы |
||
неизвестных |
уравнений |
в тексте |
|
9 |
6 |
(1.5.13) |
|
12 |
9 |
(1.2.4) |
|
13 |
12 |
(1.2.90) |
|
(1.4.16) |
|||
|
|
||
13 |
13 |
(1.5.18) |
Дли выполнения второй части математической постановки задачи не обходимо оговорить значения параметров, входящих в замкнутое множе
131
ство уравнений, в начальный момент времени (начальные условия) и на границе области движения сплошной среды (граничныеусловия). Совокуп ность начальных и граничных условий называется крош ит условиями.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что при интег рировании множества дифференциальных уравнений, содержащих производные искомой функции одного аргумента наивысшего порядка п, их общее решение зависит от л констант интегрирования. При интег рировании замкнутого множества уравнений, связанного с постанов кой краевой задачи, количество таких констант зависит от наивысшего порядка производных по времени t и наивысших порядков производ ных по эйлеровым координатам Е,. Общее количество соотношений в краевых условиях должно быть равно общему количеству констант ин тегрирования. Причем эти условия могут быть заданы как для самих параметров, входящих в множество, так и для производных парамет ров по аргументам порядка не выше л - 1.
Исходя из изложенного, подсчитаем количество соотношений в крае вых условиях, необходимых для определения констант интегрирования основного замкнутого множества уравнений (табл. 4). Проще всего это можно сделать путем последовательных подстановок уравнений (1.5.13), (1.2.92), (1.4.5) основного множества в (1.4.16), приводящих множество четырех тензорных уравнений к одному тензорному уравнению. Тогда относительно лагранжевых координат Lk полученное дифференциаль ное уравнение будет содержать производные второго (наивысшего) по рядка по времени г и по эйлеровым Е, координатам. Значит в ЛГ-мерном эйлеровом пространстве количество констант интегрирования л = 2(1 +N). Это же число определяет количество необходимых соотно шений в краевых условиях. При этом отмечаем, что две константы бы ли связаны с интегрированием по времени. Значит начальные условия должны содержать два соотношения. Одно из них определяет значение
лагранжевых координат в начальный момент |
времени t =to, когда |
L,=E„ другое - значение частной производной |
в этот же момент |
времени. Остальные константы интегрирования должны Определяться условиями в каждой точке границы S области О движения сплошной среды. В процессе движения среды пространственные координаты гра ничных точек в общем случае изменяются, а лагранжевы координаты, исходя из определения этих точек (см. п. 1.3) с учетом (1.2.10), остаются неизменными. Поэтому обычно границу области связывают с интерва
лом изменения лагранжевых координат Ьк й Ь к й Ь \ и задают в виде*
U L ; |
(1.5.19) |
* Соотношение (1.5.19) следует рассматривать лишь как удобное математическое, но не физическое, равенство
132
0 L k
На этой границе производные — — должны принимать значения, ко-
SEj
торые задают в соответствии с априорными или апостериорными пред ставлениями об изучаемом движении. В связи с тем, что производные
8 L k |
d L t |
__ |
__ |
__ . |
— — и — — полностью определяют вектор скорости (1.2.95), назначе- |
||||
dt |
dEj |
|
|
|
ние начальных и граничных условий для V может быть заменено на чальными
Г=Го=> V=Vo |
(1.5.20) |
и кинематическими граничными (1.2.170) условиями для вектора скоро сти — условия С. Если последние условия заданы на всей границе об ласти, то, как отмечалось ранее (см. п. 1.2.8), S=Sy.
Вместо кинематических условий (1.5.20) и (1.2.170) для отдельных задач удобнее записывать статические начальные условия
г=г0=>Т„=Т® |
(1.5.21) |
и статические (нормальные и касательные напряжения) граничные усло вия (1.3.50) - условия И . В случае, когда последние условия заданы на всей границе области, имеем S = S C (см. п. 3.5). Наряду с кинематиче скими или статическими граничными условиями при решении задач часто задают смешанные граничные условия, когда на поверхности задаются нормальное напряжение (1.3.52) и тангенциальная скорость
(1.2.175) -условия Н НТС, или на поверхности Sxy задаются касательное напряжение (1.3.53) и нормальная скорость (2.1.171) - условия КННС.
Совокупность всех величин, характеризующих значения кинемати ческих и статических параметров в начальный момент времени и на границе области движения среды, называется механическими краевыми условиями. Различные варианты записи механических краевых условий для параметров основного множества уравнений приведены в табл. 6.
Таблица б. Мехм—ческнскраевыеусловии основногоаяижеетвауравияиЛ
Тип условия |
Обозначение |
|
Наименование условий |
|
|
|
начальные |
граничные |
|
Кииематиче- |
С |
V = Vo |
|
V = V*Vt е S, |
скин |
|
|
|
|
Статический |
Н |
Т„= Тс° |
|
■»Tfl=<j"VjeSe |
|
|
|
||
Смешанный |
ННТС |
V=Vo;Te = T® |
nxVxn^V*; |
|
|
|
з |
||
|
|
|
|
|
|
кн тс |
|
|
Te*T «=p"V i€ S^ |
|
_ _ |
Л |
V -Tn-V ' |
|
|
|
V = Vo;T0= T 0 |
nx(D e*n)xn=^* V se S t, |
|
|
|
|
|
133
В общем случае при решении задач ОМД граница области движе ния металла может состоять из участков, на которых заданы С, Н, ННТС и КННС - граничные условия
S = SyU Sa\J S ^U Sn. |
(1.5.22) |
При расширении основного множества уравнений введенная до полнительных уравнений и параметров движения среды для последних также записываются краевые условия, если эти условия не являются следствием механических краевых условий основного множества урав нений (табл. 6). Так, при добавлении к основному множеству (табл. 4) уравнений (1.2.4) могут быть использованы краевые условия (табл. 6), либо краевые условия основного множеств в перемещениях (табл. 7), где в отличие от табл. 6 вместо С-, ННТС- и КННС-условий в скоро стях используются П-, Н Н ТП - и КННПусловия в перемещениях соот ветственно. Условия табл. 7 применяются при решении основного множества уравнений в перемещениях (табл. 5).
Таблица 7 . Механическиекраевыеусловияосновногомножества уравнений в перемещениях
Тип условия |
Обозначение |
Наименование условий |
|
|
|
начальные |
граничные |
Кинематический |
П |
и=и0 |
U = U" VseSu |
Статический |
Н |
т .-т * |
■•Te= o*V je5e |
|
|
||
Смешанный |
ННТП |
U =U»; To = T * |
■ *U хи=и х; |
|
|
з |
|
|
КННП |
|
ТоТо =P*VJ € Sf, |
|
U = Uo;Te=T* |
U ‘Tm=V* |
|
|
|
■ х(Ов*и)хв='^ VseSx, |
При решении неизотермических задач в их математической поста новке наряду с уравнением (1.4.61) рассматриваются температурные краевые условия. В зависимости от типа решаемой задачи это могут быть граничные условия первого, второго, третьего или четвертого ро да, рассматриваемые для нестационарных задач вмесге с начальными температурными условиями. Последние, как и ранее, означают распре деление рассматриваемого параметра, в данном случае - температуры, в начальный момент времени
f = fo=>0=0o- |
(1.5.23) |
Граничные условия первого рода определяют распределение темпе ратуры 6” на границе Si объема П тела Л /в любой момент времени:
0 = 0 "V je5 i. |
(1.5.24) |
При этом должна соблюдаться совместимость (1.5.24) с условием (1.5.23) при подстановке в последнее координат Е, точек s границы Si, а в первое t = to.
134
Граничные условия второго рода связаны с вектором теплового по тока (1.4.58), проекция <f которого на внешнюю единичную нормаль в к поверхности Sa задана на этой поверхности. Учитывая, что 4"=q'B и
производная температуры по направлению — = V0n, из (1.4.58) полу
да
чаем наиболее часто применяемую запись граничного условия второго рода:
4cVQ-n=qnVseSn. (1.5.25)
Граночные условия третьего рода задаются на поверхности Siп, че рез которую осуществляется значимый конвективный теплообмен меж ду исследуемым объемом Q тела М и окружающей его средой
-кУ 0-п=а(0-0с) V jeSra, |
(1.5.26) |
где а - коэффициент теплообмена; 0с - температура окружающей сре ды. Эти условия применяются в задачах стационарного конвективного теплообмена.
Граничные условия четвертогорода на границе Sjv позволяют учи тывать нестационарный теплообмен конгактируемых а и (3-сред, когда температура их соприкасающихся поверхностей S ^ = Sjv одинакова
к«У0а • Не= KPV0P •npVjе S ^ . |
(1.5.27) |
Ясно, что при р«пении уравнения теплопроводности (1.4.69) для
к
композитной среды М= (J М а, температурные граничные условия на 0=1
стыке Sgp ее компонент должны был, представлены в виде (1.5.27). Приведенная выше математическая постановка краевых задач яв
ляется общей, если учесть, что, как отмечалось ранее, к основному замкнутому множеству уравнений с необходимыми краевыми условия ми всегда, когда требуется, можно добавить уравнения с соответст вующими краевыми условиями без нарушения замкнутости получаемо го при этом множества уравнений.
Следует отметить, что в приведенных постановках задач мы не ис пользовали ограничений, накладываемых на тензор деформаций Теи тен зор скоростей деформаций Т?. Вид этих ограничений (1.2.88) и (1.2.166) для обоих тензоров по форме одинаков. Ранее отмечалось, что при ре шении задач в перемещениях или скоростях тензор Т„ или тензор Т$ оп ределяется по формуле О.Коши (1.2.70) или Дж.Стокса (1.2.137) соот ветственно, которые с точностью до символики также совпадают, и вследствие безусловного выполнения тождества (П1.89) такое опреде ление Те и Т$ приводит к тождественному выполнению условий Б. Сен-
135
Венана (1.2.88) или (1.2.166). Этим объясняется отсутствие последних уравнений в приведенных математических постановках краевых задач.
Если решение задачи основано на постановке в деформациях через тензор Т, или в скоростях деформаций через тензор Т^, то соответст вующие условия Б.Сен-Венана должны учитываться в замкнутом мно жестве уравнений. Пример таких множеств без учета инерционных и массовых сил для сред, свойства которых описываются определяющи ми уравнениями (1.5.2) или (1.5.4), приведен в табл. 8. При этом тензор напряжений представлен в виде (1.4.19) с помощью тензора Тф функций напряжений Э.Бельтрами для безусловного выполнения уравнения равновесия (1.4.18). С использованием тензора Тф уравнения (1.5.2) и (1.5.4) принимают соответствующий вид:
Ts =T*(V2 хТф)...; Т< =T;(V2 хТф). |
(1.5.28) |
Т а б л и ц а 8 . К математический постановкезадачвдеформациях
или скоростях дсформащА
Уравнения для постановки задач |
Суммарное количество |
Формулы втексте для по |
|||
с использованием |
скалярных |
становки с использованием |
|||
т* |
Т* |
неизвестных |
уравнений |
Те |
Т4 |
V2xTe=0 |
V2XT$=0 |
б |
6 |
(1.2.88) |
(1.2.166) |
|
* |
|
|
|
|
T , - T . ( V 2 XT„) |
T? -T ,(v2xTe) |
12 |
12 |
|
(1.5.28) |
Если на границе области движения среды заданы кинематические или смешанные граничные условия, то сложность реализации поста новки задач с уравнениями табл. 8 связана с интегрированием формул Е.Чезаро (1.2.89) или (1.2.167).
1.5.4. Кинематическая постановка задач'
Если в математической постановке краевой задачи все параметры движения сплошной среды записаны через кинематические парамет ры, то это означает, что выполнена кинематическая постановка крае вой задачи.
В дальнейшем для определенности уравнение (1.5.13), использо ванное в табл. 4, будем представлять в виде (1.5.3), полагая, что при не
обходимости компоненты тензора состояния Т * могут быть функция
ми пространственного градиента деформации (2.1.19). Тетерь, после подстановки (1.5.3), (1.2.83), (1.5.18) в (1.4.16) получим:
136
|
Л ) |
_</JE ^ |
|
|
|
|
dt |
D |
|
|
|
4 - ( D ®V JE - J E V ®D ) +pJE F+- |
dt |
=0. |
(1.5.29) |
||
J E |
|||||
LJ E |
|
|
|||
При заданном тензоре состояния среды |
Т *, известных массовых |
силах и исходной плотности ро (1.5.29) представляет собой замкнутое векторное уравнение относительно L или замкнутое множество ска лярных уравнений относительно компонент этого вектора L,.
Частные варианты записи уравнения (1.5.29), используемые в МСС, определяются свойствами деформируемой среды и типом пространст ва, в котором осуществляется ее движение. При этом тип пространства влияет только на вид скалярной формы записи уравнения (1.5.29).
В математических постановках задач ОМД часто используют за
* |
4 . |
пись уравнения (1.5.29) в скоростях или перемещениях. |
Упражнение 1.5.7. Используя симметрию тензоров состояния сре-
ды Тс и Т с с помощью формул О.Коши (1.2.70) и Дж.Стокса (1.2.137),
показать, что определяющие уравнения (1.5.1) и (1.5.3) можно заменить соответствующими соотношениями
4 |
4 |
* |
гъ |
(1.5.30) |
Тв = Тс *(V®u); Т„ = Т |
с *(V®V) 3 |
Теперь основное замкнутое множество уравнений (табл. 4) может быть представлена в виде, приведенном в табл. 9. В этом множестве для изотропных сред определяющее уравнение (1.5.3) заменяется соотно шением (1.5.12).
Таблица 9 . Замкнутоемножествоуравнений кматематической пастанавкезадачвскоростях
Вид уравнения |
Суммарное количество |
Номер формулы |
||
|
|
неизвестных |
уравнений |
в тексте |
Te |
- T * ( v ® v ) |
9 |
б |
(1.5.30) |
V T 0 +pF = p .d^\- |
10 |
9 |
(1.4.16) |
|
^ |
+ p V V - 0 |
10 |
10 |
(1,2.143) |
dt |
|
|
|
|
Упражнение 1.5.8. Доказать, что следствием определяющего урав нения (1.5.12) являются пропорциональность сферических частей тен
137
зоров напряжений S„ и скоростей деформаций S$, а также пропорцио нальность девиаторов напряжений D„ и скоростей деформаций D$:
se = s ?(3r+2n*); |
|
(1.5.31) |
0 о = 2ц*04 |
|
|
и привести соотношения (1.5.31) к виду: |
|
|
Т„ = S„ + p*(V®V + V® V)--n*V -VTs О |
(1.5.32) |
|
3 |
|
|
При подстановке (1.5.32) в (1.4.16) получаем уравнение К.Н авъе- |
||
Дж .Стокса: |
|
|
Va0 +pF +V ц*(V®V+ V® V )--n*T6V-VI = р— . |
(1.5.33) |
|
3 |
J dt |
|
Вместе с уравнением неразрывности среды (1.2.143) и первым соотно шением в (1.5.31), записанном через коэффициент объемной вязкости
к+ -ц в виде 3
<Jo=k*VV, |
(1.5.34) |
уравнение К.Навье-Дж.Стокса (1.5.33) представляет замкнутое множе ство при заданных значениях массовых сил F и функций состояния сре ды X*; ц*.
Для несжимаемых сред к* = оо, а вследствие (1.2.98), (1.2.146), (1.2.148), (1.2.149) имеем =0. Поэтому при вычислении среднего напряжения по формуле (1.5.34) или сферической части Sa тензора напряжений по фор муле (1.5.31) получаем неопределенность. Этот факт, установленный А.Пуанкаре, свидетельствует о том, что в несжимаемой среде напряже ния определяются по кинематическим параметрам лишь с точностью до произвольного среднего напряжения (1.3.20). Для таких сред в (1.5.31) девиатор напряжений пропорционален тензору скоростей деформаций
D„ = 2|л*Т^, |
(1.5.35) |
так как в разложении (1.2.142) сферическая часть S5 этого тензора вследствие выполнения условия несжимаемости (1.2.98) равна нулю.
Для несжимаемых сред уравнение К.Навье-Дж.Стокса (1.5.33) уп рощается:
Vo0 +pF +vL*(V®V + V ® V ) ] = p — |
(1.5.36) |
Л |
|
и вместе с условием несжимаемости (1.2.98), когда плотность р=ро = const, оно образует замкнутое множество. Общее количество скалярных
138
уравнений в этой системе можно сократить, если воспользоваться запи сью поля скоростей через функцию тока Y и лагранжеву координату Ы в виде (1.2.104), приводящем к безусловному выполнению (1.2.98) вследствие тождества (П1.85). В этом случае уравнение К.НавьеДж.Стокса имеет вид;
V o 0 + p 0F + v { p * [ V ® ( V ¥ x V L 3 ) + ( V ¥ x VL3 ) 0 V ] } = p o |
У, ( 1 .5 .3 7) |
- |
dt |
скалярная форма записи которого содержит три уравнения относи тельно трех неизвестных величин сто, ¥ и Ьг.
В некоторых случаях решение задачи удается разделить на две час ти: определение НДС с точностью до среднего напряжения в первой части с последующим интегрированием уравнением движения (1.4.16) - во второй части. В таких случаях постановка первой части не должна содержать ни в замкнутом множестве,'ни в краевых условиях среднего напряжения и все параметры НДС при ее реализации должны зависеть от констант интегрирования уравнения движения.
Упражнение 1.5.9. Доказать тождество
V x(V T0)=V x(V D a), |
(1.5.38) |
которое приводит уравнение движения (1.4.16) к виду
Vxfv-Da+p^F-^ = 0 Э |
(1.5.39) |
Теперь, повторяя замену девиатора напряжений Da на выражения, определяемые функциями ¥ и Ьз так, как это было сделано при выводе уравнения (1.5.37), из (1.5.39) получим
Vx < V -{p* [ V ® ( V ¥ x V L 3 )+ (У ^ х V L3 )® V ]}f
+Po F - |
< /(V ¥ x V L 3 ) |
(1.5.40) |
> = 0 . |
||
|
dt |
|
При решении задач ОМД уравнение (1.5.40) часто используется без учета инерционных и массовых сил:
Vx<V{p*[V0(V¥xVL3)+(V¥xVL3)®V]}>=O. (1.5.41)
Граничные условия к решению уравнения (1.5.29) получают из граничных условий, приведенных в табл. 6, где вместо тензора напря жений используют его значение, рассчитываемое по формуле (1.5.13). Аналогичным образом в других вариантах кинематической постановки краевой задачи при записи граничных условий используют краевые ус
139
ловия основного множества уравнений (табл. 6), в которых статические параметры исключаются с помощью соответствующих рассматривае мым средам определяющих уравнений.
При решении некоторых задач МСС, например, теории упругости, кинематическую постановку удобно осуществлять в перемещениях. Она фактически сводится к замене лагранжева вектора L вектором пе ремещения с помощью (1.2.4) во всех уравнениях основного множества уравнений табл. 5 или в уравнении (1.5.28) и в краевых условиях, где статические параметры заменяются с помощью определяющих уравне ний типа (1.5.30) на кинематические параметры.
В частности, для изотропных сред из (1.5.1) с помощью (1.5.9) по лучаем (1.5.10) и соотношения, аналогичные (1.5.31):
S„ = Se(3>.+2p); |
|
D „=2pD s. |
(1.5.42) |
В этом случае из основного множества (табл. 5) имеем |
|
,2 |
|
V [ T 8X V u + p ( V ® u + V ® u ) ] + p 0F = p o — 5- . |
(1 .5 .4 3 ) |
А
Для линейно-упругих сред, когда параметры X и р постоянны, из (1.5.43) получаем уравнения ГЛаме:
(X + p )V 2 •u + p .V u + p o F s 'P o |
(1.5.44) |
На основе приведенных выше дифференциальных уравнений и со ответствующих краевых условий выполняются кинемэтические поста новки задач МСС.
1.5.5. Статическая постановка задач
Если в математической постановке краевой задачи все парамет ры движения сплошной среды записаны через статические параметры, то это означает, что сформулирована статическая постановка краевой задачи.
В частности, после подстановки (1.5.28) в (1.2.88) получаем замкну тую относительно компонент тензора ТФ функций напряжений множе ство дифференциальных уравнений, называемую обобщенными уравне ниями Э.Бельтрами без учета массовых и инерционных сил
4
V2x[TV(V2xT*))=0. (1.5.45)
Статические граничные условия для постановки с использованием уравнения (1.5.45) записывают с помощью (1.4.19) в виде (1.3.50):
140