книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdfОтсюда ясно, что сферическая часть тензора малых деформаций характеризует изменение объема. Оставшаяся часть (П1.56), называемая
девиатором деформаций
De = [M = Te-Se, |
(1.2.84) |
характеризует изменение формы окрестности материальной частицы. Теперь вектор искажения (1.2.72) можно рассматривать как сумму
трех векторов
du = De‘ dx + Se- dx + Ta- d x , |
(1.2.85) |
характеризующих изменение формы, изменение объема и жесткое вращение окрестности материальной частицы соответственно, где Т« называется тензором жесткого поворота.
В связи с тем, что для Se любое направление осей координат явля ется главным, главные направления De совпадают с главными направ лениями Те. Отметим, что первый инвариант (П1.60) любого девиатора (П1.56), в том числе и De, равен нулю, а остальные его инварианты в
общем случае отличны от нуля: е1 = 0; е11= - —е^е**,; еш = е^едеуез*.
Известно, что выбор множества осей координат является субъек тивным фактором. Однако свобода ее выбора всегда связана с необ ходимостью решения поставленной задачи. В некоторых случаях в качестве независимых координат можно назначить компоненты тен зора деформации или связанные с ним величины. В частности, в теории малых деформаций удобно применять шестимерное пространство А.А.Ильюишна, в котором параметры движения характеризуются сред ней деформацией со (1.2.80) и пятью независимыми компонентами е^- девиатора De деформаций. С помощью замены
Г, =2 e!!Cosfp+-|j- е22sinP ;
Г, =2 en c o s |P + - +e22sinp|; |
|
Г3 = 2ej2; Г3 - 2е23; Г3 - 2е 31 |
(1.2.86) |
для произвольного значения параметра р, независящего от времени, характеристики движения представляются скалярной величиной со и пятимерным вектором Г = Г,еЛМодуль такого вектора
(1.2.87)
называется интенсивностью сдвиговых деформаций.
41
1.2.5. У словие совместности деформаций
Предполагается, что исходное недеформированное в момент вре мени to и деформированное в произвольный момент времени t состоя ния всегда рассматриваются в евклидовом пространстве. Из геометрии Г.Римана известно, что математически это предположение относитель но компонент градиентов (1.2.13), (1.2.19) и компонент тензоров (1.2.28), (1.2.40), (1.2.46), (1.2.57) записывается в виде равенства нулю тензора Г.Римана - Э.Б.Кристоффеля (П1.99) либо в лагранжевых, либо в эйлеровых координатах. Решение задач с использованием таких со отношений выходит за рамки излагаемого курса. Для малых деформа ций (1.2.70) равенство нулю компонент тензора (П1.99) эквивалентно условию
V2xTe=0. (1.2.88)
На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тен зор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При раде нии же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны быть на ложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое называется
условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности де формаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций Те в (1.2.88) является необ ходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравне ний О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П 1.108) с заменой в ней а на и; ао на ио; ТСо на Tffio и Тъ на Те
U = UO+T<DO,(X - XO) - J(x - y ) x ( v x V r f y ) + J V 'y , |
(L2,89) |
|
*0 |
хо |
|
где ио и ТшО - значения вектора перемещения и н тензора жесткого по ворота Тшсоответственно в начале пути интегрирования при х= х0.
Определение вектора перемещения и по тензору деформаций Те с помощью формулы (1.2.89) удобно лишь тогда, когда этот тензор удов летворяет уравнению совместности деформаций Б.Сен-Венана (1.2.88). В противном случае интегрирование может быть трудно выполнимым. Эго является основной причиной редкого применения решения задач МСС в деформациях.
42
1.2.6. П оле скоростей
По определению, скорость перемещения материальных частиц вы числяется по формуле 0-2.15). Учитывая (1.2.4) и (1.2.10), вектор скоро сти V можно также рассчитать по формуле
|
|
|
|
v <Л| |
|
(1.2.90) |
|
|
|
|
~dt |
|
|
В |
лагранжевых |
координатах из (П1.91) |
и (1.2.10) имеем |
|||
V = |
|
Э Е(V ) |
|
D „ |
|
|
dt |
dt |
-. В эйлеровых координатах вследствие независи- |
||||
|
|
|
|
|
||
мости пространственных координат от времени |
дЕ-I _ |
|||||
|
sO такая проце |
dt
дура приводит к тождеству У = Т5*V. Для практики наибольший инте рес представляет раскрытие полной производной (1.2.10) с помощью
п
(1.2.16), где вместо Та нужно подставить (1.2.9) |
|
dL dL + V*(V<8>L) = 0. |
(1.2.91) |
dt ~ dt |
|
Откуда решая замкнутую относительно компонент V,- вектора ско рости V систему, приходим к формуле И.И.Гольденблата
У = _D^ |
(1.2.92) |
V
где компоненты Д вспомогательного вектора D получаются из яко биана (1.2.20) путем замены дифференцирования лагранжевых коорди нат по координате Е{ дифференцированием по времени t. Если такую замену дифференцирования выполнить в декартовых координатах, то компоненты вспомогательного вектора будут иметь вцд:
a z ^ a z a .
1 ijk dt дЕ2 дЕ3 ’
п -= dLf dLj dLk
2 'Jk dEx dt dE3 ’
(1.2.93)
3 v* dEl dE2 dt '
Для произвольных координат вспомогательный вектор
43
D = ^ . ( V L 2 x V L3) + ^ - ( v L 3 x V L ,)+ ^ - ( v L , x VZ,2) . |
(1.2.94) |
Подстановкой (1.2.94) в (1.2.92) получим окончательный вид фор мулы, предложенный Б.В*Кучеряевым, для определения вектора скоро сти по заданному закону движения (1.2.9) в эйлеровых координатах
v = - _i_ |
(1.2.95) |
JE |
|
Упражнение 1.2.3. Доказать, что |
|
V.D-^L Э |
(1.2.96) |
dt |
|
В общем случае |
|
D V J E |
(1.2.97) |
В частном случае при выполнении (1.2.55) устанавливаем, что в окрестности материальной частицы, движущейся без изменения объе ма, поле скоростей должно быть солеиоцдальным
V V =0. |
(1.2.98) |
Эго соотношение называется условием несжимаемости сплошной среды. Выполнение условия постоянства объема (1.2.55) приводит (1.2.92) к виду:
V = -D . |
(1.2.99) |
В частности, в декартовых прямоугольных координатах такой век тор имеет компоненты, совпадающие с точностью до знака с компо нентами вектора D в формуле (1.2.93).
Каждая функция L/(Ek,t) в пространстве Ек при фиксированном времени t представляется семейством изоповерхностей L,=const. Ес ли две такие функции, например, Li и L i ие зависят от времени
дь azg |
я |
= —— |
= 0, то геометрически это означает, что вид изоповерхностей |
Li —const n L i=const в пространстве Екие меняется по времени. dL дЬ,
Упражнение 1.2.4, Показать, что при |
формула (1.2.92) |
преобразуется к виду
44
v . _ L ^ . ( v i , „ v 4 |
3 |
(1.2.100) |
Для стационарного поля скоростей (1.2.24) в (1.2.100) величина |
||
-—2-=const. Обозначим эту величину |
-~~ = _v0‘ |
Тогда из (1.2.100) по |
лучим |
|
|
V=-J2-(VL}XVZ4). |
(1.2.101) |
Ясно, что при выполнении условия (1.2.55), учитывая тождество (П1.85), из (1.2.101) получаем условие несжимаемости (1.2.98). Такое поле скоростей полностью определяется константой vo и двумя функ циями Li(£i) и Ьз(Е^\
V = VO(VLJX VLI). |
(1.2.102) |
В гидродинамике обычно одну из лагранжевых координат, напри мер Li, связывают с функцией тока Y, совпадающей с L i с точностью до постоянного сомножителя и несущественной аддитивной константы:
'J'= -voL i + C. |
(1.2.103) |
Тогда из (1.2.102) с учетом (1.2.103) получим
V =V*F х VL3. |
(1.2.104) |
В частности, при двухмерном течении, когда Ь з-Е з, из (1.2.104) имеем:
V sV ’F xV fi. |
(1.2.105) |
Из теории векторных полей известно, что векторной линией назы вается пространственная линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением вектора в этой точке. Векторная линия поля скоростей называется линией тока. Следовательно элемент длины dE линии тока колинеарен вектору скорости V: V х </Е = 0. Отсюда в со ответствии с (П1.2) имеем
dE=VdX, |
(1.2.106) |
где dX - скалярный параметр. В скалярной форме (1.2.106) имеет вид
^ 5 .=Е к =^ Ь .=ах. |
(1.2,107) |
|
V1 v 2 |
v3 |
|
45
Эта соотношения называются дифференциальным уравнением линии тока. Подобно соотношению (1.2.15) уравнения (1.2.106), (1.2.107) пред ставим в виде
(1.2.108)
Отличие (1.2.15) и (1.2.108) состоит в том, что в (1.2.15) время t входит как в левую, так и в правую части равенств, а в (1.2.108) - толь ко в правую часть. Интегрирование (1.2.15) по времени позволяет рас считать траекторию движения материальной частицы - линию, по ко торой перемещается эта частица. Таким образом, в общем случае ли ния тока и траектория материальной частицы не совпадают. Для ста ционарных полейскоростей (1.2.24) время как переменная величина не входит в первую часть соотношения (1.2.15). Поэтому для стационар ных течений скалярные параметры dt в (1.2.15)и dkn (1.2.106)...(1.2.108) практически совпадают, что для таких течений приводит к совпадению понятий траектория материальной частицы и линия тока.
Покажем, что в стационарных течениях на линии тока величины *Р и Ьз, входящие в (1.2.104), постоянны. Для этого подставим (1.2.104) в дифференциальное уравнение линии тока (1.2.107).
Упражнение 1.2.5. Показать, что вдоль линии тока величины Y и
Ьз из (1.2.104) удовлетворяют соотношению |
|
V '¥ dL 3 -V L 3d'¥ = 0O |
(1.2.109) |
Обращение (1.2.109) в тождество может быть связано либо с равенст вом нулю дифференциалов 'F и Ьз:
</Т = 0;</Ьз = 0, |
(1.2.110) |
либо с пропорциональностью *F и Ь з. Последнее невозможно, так как в соответствии с (1.2.103) функция *F пропорциональна лагранжевой ко ординате Ь\ и вследствие линейной независимости (П2.1) всех коорди нат Li функция Y не может быть пропорциональна двум другим лагранжевым координатам, в том числе и Ьз. Следовательно, (1.2.110) яв ляется единственным условием обращения (1.2.109) в тождество. Так, как условия (1.2.110) выполняются вдоль линии тока, то это значит, что на этой линии имеем *F= const и Ьз = const, а сама линия тока находится на пересечении изоповерхностей ¥(£,) = const и Ьз (Е^ = const (рис. 14). Изоповерхность *Р= const называется поверхностью тока.
Таким образом, функцией тока называют всякую функцию ¥ ти па (1.2.103), принимающую на линии и поверхности тока постоянное значение.
4б
Рис. 14. Линия тока как пересечение поверхноститока 'Р* const с лагранжевой поверхность1) ■const
Рассмотрим несколько примеров построения поля скоростей по заданным законам движения (1.2.9).
Сначала рассмотрим сжатие (осадку) между двумя параллельны ми абсолютно жесткими плитами прямоугольного параллелепипеда с исходными размерами Ло, Ло, 1о и текущими размерами Л, Л, I, в котором не происходит изменения объема (hobo£o=tibt) и отношение начальной к текущей ширине равно отношению начальной к текущей длине
Пусть Л= Л(г) - изменение высоты параллелепипеда во времени t, удовлетворяющее начальному условию Л(Го)= Ло- В общем случае при осадке в направлении оси Е\ с увеличением времени t происходит уменьшение текущей высоты Л и соответствующее увеличение размеров b и £. Закон движения (1.2.9) для рассматриваемой задачи может быть представлен в виде:
(1.2.111)
Условия задачи позволяют записать лагранжевы координаты через высотные параметры
47
^ = ^ ^ = E J A ; Z , = E ,J A . |
(1.2.112) |
Тогда для начальных условий имеем: А=Аои Lt=Eh а из граничных условий на гранях параллелепипеда (Li=Ao; Ьг=Ьо\ L i = to и Ei=h; Е г-Ь \ Ei =i) с учетом заданного условия постоянства объема получим:
Определим пространственный градиент деформации (1.2.19)
V 0L =
и частные производные L, по времени t: |
ВЦ |
h0El |
dLj - Е1 .... |
|||
at |
~~ и1 ’ |
2jhfiQ |
||||
|
|
|
||||
dL3 |
Е3 |
, где А' - частная производная функции А(г) по времени Г. |
||||
“ 2 |
^ |
’ |
|
|
|
Далее устанавливаем, что якобиан (1.2.20), составленный из компонент тензора V0L, равен единице и условие задачи о неизменности объема параллелепипеда, выражаемое формулой (1.2.55), выполняется незави симо от времени t. Поэтому вектор скорости (1.2.95) должен удовле творять условию несжимаемости (1.2.98), а его компоненты в соответ ствии с (1.2.99) в эйлеровых координатах Е{ определяются формулами (1.2.93):
— A'; v2 = |
— A'; |
v3 = -— А'. |
(1.2.113) |
А |
2А |
2А |
|
Упражнение 1.2.6. Используя соотношение (1.2.111) и условия рас смотренной выше задачи об осадке параллелепипеда, построить поле скоростей в лагранжевых координатах L,.
Упражнение 1.2.7. Выполнить расчет компонент тензоров дефор мации по теориям конечных (1.2.42), (1.2.59) и малых деформаций (1.2.70). Показать, что во всех случаях поля деформаций являются од нородными и не зависят от координат в любой момент времени. По
строил» графики 8 ^ =SLjk |
и 8Ejk =8£ft0 M ошибок |
48
8, |
= L* — ik\00%; 8$ |
=E* 6tk-100%, |
(1.2.114) |
* |
ъа |
гш |
|
получаемых при замене конечных деформаций малыми 3 Закон движения (1*2.111) может быть использован для расчета па
раметров осадки при плоской и осесимметричной деформации.
В первом случае отсутствие движения в одном из направлений, на
пример Ь ь обеспечивается равенством £=£о и его следствием L i -Е ъ Тогда изменение ширины полностью определяется условием постоян
ства объема Ь = Ьц— , а закон (1.2.111) принимает вид: h
Li =Ег> |
(1.2.115) |
Во втором случае расчеты удобнее вести в цилиндрических коор динатах, для которых в индексированных переменных при подстановке значений индексов вместо цифр 1, 2, 3, как это делалось ранее, следует использовать буквы z, <р, р. При осесимметричной деформации L 9=Er Параметры Ь и Ы в законе движения (1.2.111) обозначим Л и й соот ветственно. Тогда, учитывая условие постоянства объема для цилинд
рического образца (h^Rl = hR2), закон (1.2.111) принимает вид:
(1.2.И6)
Таким образом, закон движения (1.2.111) при А=А(*)£А<> позволяет с помощью формулы (1.2.95) построить нестационарное поле скоро стей, соответствующее процессу осадки образца в условиях объемной и двухмерной (плоской или осесимметричной) деформации.
Отметим, что формулы (1.2.111) и их частные виды (1.2.112), (1.2.115), (1.2.116) также можно использовать для построения поля ско ростей, соответствующего процессу растяжения образца. Для этого не обходимо представить закон А=Л(г) так, чтобы с увеличением времени t происходило увеличение текущей высоты А и соответствующее умень шение размеров Ъ и (. В общем случае закон нестационарного измене ния высоты образца может быть представлен в виде:
А=А0±АА/(0, |
(1.2.117) |
где ДА - абсолютное изменение высоты образца к конечному моменту времени tk] f ( t ) - положительная безразмерная непрерывная функция времени, удовлетворяющая условиям: /(Го)=0 и f(t$ = 1. При решении
49
задач растяжения в правой части (1.2.117) ставится знак плюс, осадки -м инус.
Дня стационарных процессов, как отмечалось ранее, поле скоро стей определяется по формуле (1.2.101), а при выполнении условия по стоянства объема (1.2.55) - по формуле (1.2.102).
Пусть в (1.2.111) координата Ьг линейно зависит от времени t
L2 = -vof+tf(£,), |
(1.2.118) |
а остальные лагранжевы координаты вследствие |
соотношений h = |
=h (Er, Ei) и b = b(Ev,Ei) - зависят только от эйлеровых координат. То гда. используя функцию тока в виде (1.2.103), по формуле (1.2.104) для объемного течения в декартовых координатах имеем:
d\\t dL$
V
Щ Щ '
где в соответствии с (1.2.103) и (1.2.111)
И0Е.
V = -v0- ^ - L+C.
Подстановкой (1.2.120) и Ьз из (1.2.111) в (1.2.119) находим
v V o 5 .(_ё*_*+ £ dh дЬ
0 h2b2 |
1Щ |
дЕ2) |
V-» = V У о (кЬ -Щ Ъ |
dh |
дЬ |
° h 2b2 |
дЕ3 |
дЩ |
(1.2.119)
(1.2.120)
h0b0E, ( |
db |
|
dh дЬ |
|
’'З - О - Ц г - [ |
ж |
к + Е ' |
(1.2.121) |
|
дЕг dEf) |
||||
h Ь |
|
|
Такое поле скоростей можно использовать для моделирования многих стационарных и квазисгационарных процессов ОМД, в кото рых в качестве модели металла допустимо применение сплошной не сжимаемой среды. Например, к таким процессам относятся прокатка прямоугольной заготовки в калибрах и в валках с гладкой бочкой (с постоянным радиусом R B валков), прессование и волочение такой же заготовки в профилированный канал матрицы. В некоторых частных случаях, имеющих большое прикладное значение, вид поля (1.2.121) существенно упрощается. Нижеследующая серия упражнении посвяще на таким случаям.
Упражнение 1.2.8. Металлическая полоса с поперечным сечением ho х bo пропускается (прокатывается) между двумя вращающимися валка-
so