книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

р, не изменяет знака н ооуславливает неизменность характера бифуркаций, связанных с сепаратрисами седел. Только для суж­ дений о бифуркациях, связанных с двойным предельным циклом, нет полной информации. Знание других бифуркаций позволяет сделать ограниченные высказывания об области существования систем с двумя предельными циклами.

Для больших значений параметра р расположение сепарат­ рис седел будет таким, как на рис. 251, а (это непосредственно следует из расположения главных изоклин для достаточно боль­ ших р). Не существует предельных циклов, охватывающих ци­ линдр. При малых р расположение сепаратрис будет, как на

Рис. 251

рис. 251, е (при р = 0 а-сепаратриса седла идет в бесконеч­ ность; при малых р появляется устойчивый предельный цикл из бесконечности). При убывании р векторное поле поворачивается монотонно, поэтому существует единственное при любом фикси­ рованном «о значение Ро, при котором а- и со-сепаратрисы седел образуют петлю. Множество точек «о, Ро образует непрерывную кривую, пересекающую полосу 0 < а < 1.

От петли, однако, не может появиться устойчивый предель­

ный цикл, охватывающий цилиндр, так как в седле Лр + Qy — = а > 0.

Из петли может появиться или к ней стянуться лишь неустой­ чивый предельный цикл; чтобы это оказалось возможным при убывании р до значения р = Ро, из сгущения траекторий необ­ ходимо должен возникнуть двойной предельный цикл, охваты­ вающий цилиндр (рис. 251,6).

устойчивый, нижний — неустойчивый) (рис. 251, в), и неустойчи­ вый предельный цикл может превратиться в петлю сепаратри­ сы (рис. 251,г), исчезающую при дальнейшем убывании [} и порождающую неустойчивый предельный цикл, который охваты­ вает состояние равновесия (рис. 251,5). При значении (i, удов­ летворяющем условию (20), неустойчивый предельный цикл стя­ гивается к состоянию равновесия и исчезает.

Описание изменений качественной структуры разбиения фа­ зового пространства на траектории при изменении () позволяет утверждать необходимость появления области с фазовым про­ странством, содержащим два предельных цикла, которые охва­ тывают цилиндр, и позволяет проследить такую же последова­ тельность бифуркаций в зависимости от [}, как и для случая малого р. Однако последовательность структур разбиения фазо­ вого пространства на траектории, представленная на рис. 251 и строго доказанная для случая малого р, может быть отожде­ ствлена с соответствующими структурами, относящимися к слу­ чаю немалого р, лишь с точностью до четного числа предельных циклов.

Логическая возможноть такого расхождения остается неустраненной, и грубость пространства параметров здесь нужно понимать в том ограниченном смысле, о котором было сказано вначале. В этом смысле приведенное описание доказывает гру­ бость пространства параметров по отношению к переходу от ма­ лых р к немалым в довольно широкой полосе 0 < а < 1 про­ странства параметров а, (}.

ДОПОЛНЕНИЕ

§ 1. Динамические системы на двумерных поверхностях. В на­ стоящей книге приведен ряд сведений о двумерных динамиче­ ских системах, фазовым пространством которых является плос­ кость или сфера. Здесь мы рассмотрим некоторые свойства ди­ намических систем на двумерных поверхностях.

В гл. 12 уже рассматривались динамические системы на ци­ линдре, правые части которых являются периодическими функ­ циями одного переменного. В целом ряде вопросов встречаются системы второго порядка, правые части которых — периодические функции двух переменных:

(период мы всегда, так же как и в случае цилиндра, можем считать равным 2я). Такую систему естественно рассматривать как систему, заданную на торе1). При этом и, v — циклические координаты на торе (одна и та же точка тора соответствует бес­ численному множеству значений и + 2гая и v + 2тл, п и т — целые числа). Кривые и = const и v = const — меридианы и па­ раллели тора.

Рассмотрим простейшую динамическую систему на торе:

стояний равновесия.

464 ДОПОЛНЕНИЕ

где и может принимать всевозможные значения —° ° < и < + « > 3).

раллели, то для установления характера траекторий рассматри­ ваемой динамической системы достаточно рассмотреть траекторию v — Хи, которую мы обозначили через Lo. Характер этой тра­ ектории существенно отличается в случаях, когда Я, — рациональ­ но и иррационально.

I. X — рационально.

Пусть X = т/п. Тогда при и = 2гея мы имеем v = 2 тя . Точка

после ге оборотов вдоль меридиана и т оборотов вдоль паралле­ ли). Все другие траектории имеют тот же характер.

II.X— иррационально.

Вэтом случае траектория Lo заведомо незамкнута. Действи­ тельно, для того чтобы она была замкнута, должны существовать

такие целые г е й т , чтобы имело место равенство 2 гея = 2mA,я, или X — т/п,

что невозможно, так как по предположению X иррационально. Нетрудно видеть, что через ге оборотов по и в ту и л и другую сторону мы получаем для vn значение vn= ±2ппХ. Но значениям

циональном числе пХ. Справедливо утверждение: в случае, когда X иррационально, точки пересечения траектории Lo со всяким мериданом всюду плотны4) на этом меридиане.

Это утверждение опирается на следующее предложение тео­

3)Когда рассматривается изменение к на 2пп, то траектория обходит тор п раз вдоль параллели, а когда v изменяется на 2тп, то обходит тор т раз вдоль меридиана.

4)Множество точек всюду плотно на отрезке (или, как в тексте, на

меридиане), если в любом сколь угодно малом интервале, являющемся частью этого отрезка (меридиана), непременно найдется хотя бы одна точ­ ка этого множества.

5) См., например, [108].

§ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 465

Из того факта, что в случае Я, иррационального точки пересе­ чения траектории Lo всюду плотны на всяком меридиане, на­ пример на меридиане и = 0, очевидно, следует, что каждая об­ щая точка траектории Lo с меридианом является и а-, и m-пре­ дельной для самой траектории, а следовательно, все точки тра­ ектории L0 являются и а-, и to-предельными для самой траекто­ рии Lo. Траектория Lo является самопредельной, незамкнутой.

В математической литературе траектория, все точки которой являются а- (со-) предельными для нее самой, называется устой­ чивой по Пуассону. На плоскости, на сфере и на цилиндре устойчивая по Пуассону траектория может быть либо состоянием равновесия, либо замкнутой траекторией. Рассмотренная выше траектория L0 на торе при К иррациональном является при­ мером невозможного на плоскости типа траектории (а- и ш- устойчивой по Пуассону незамкнутой траекторией).

К рассмотрению динамических систем на других поверхно­

— такое уравнение, где при dy/dx = z F(x, у, z)— аналитическая функция своих переменных. Очевидно, решением этого уравне­

значения. Если, кроме того, при любой из систем значений хо,

альных уравнений первого порядка, уже разрешенных относи­ тельно производной

где (в силу теоремы о неявных функциях) функции /,(х, у) в окрестности значений (tco, уо) — аналитические функции. Реше­

6) Если одно или несколько значений для dy/dx из уравнения (4) об­ ращаются в бесконечность, то, меняя ролями х а у, мы можем искать зна­ чение для dx/dy из соответственно полученного из уравнения (4) уравне­ ния вида

F, (х, у, dx/dy) = 0.

ние <pi(x) каждого из уравнений (6), очевидно, является реше­ нием уравнения (4). Через точку (хо, уо) плоскости (х, у) проходит к интегральных кривых у = ц>{(х) с различными каса­ тельными. При некоторых значениях хо, уо мы, очевидно, можем не получить ни одного действительного значения для dy/dx.

Однако при рассмотрении неявного уравнения (1) естествен­ но пользоваться его геометрической интерпретацией как уравне­ ния на двумерной поверхности. Именно, рассмотрим поверхность

Если ввести параметр t, полагая dx/dt = dF/dz, то для парамет­ рических уравнений кривой, лежащей на поверхности (7), мы получим дифференциальные уравнения

Нетрудно видеть, что система (10) определяет векторное поле на поверхности (7), а решение этой системы

x = x(t), y = y(t), z — z(t)

— проходящую через точку (хо, уо, zo) поверхности (7) целиком лежащую на ней траекторию этой системы.

Мы предполагали, что при рассматриваемых начальных зна­ чениях хо, уо, zo выполняется условие dF(xо, уо, zo)/dx¥=0. При значениях хо, уо, zo, при которых одновременно

F(xо, уо, z0) = 0 , dF(xо, уо, z0)/dz = 0 ,

решения уравнений dy/dx = f((x, у) с разными i могут сливаться (в этих точках касательная плоскость к поверхности параллель­ на оси z).

особых точек7), т. е. ни в одной точке поверхности не выпол­

являются, очевидно, состояниями равновесия системы (10). Со­ стояния равновесия могут иметь тот же характер, что и на плоскости.

Поверхность, на которой рассматривается система (10), может быть как замкнутой, так и не замкнутой8). Замкнутые поверх­

При рассмотрении динамических систем на поверхностях ча­ сто бывает целесообразно перейти от декартовых координат х, у к «локальным» координатам на поверхности (которые на поверх­ ностях, отличных от тора, вводятся значительно сложнее, чем на торе).

Не останавливаясь в настоящем беглом обзоре сколько-ни­ будь подробно на свойствах динамических систем на поверхно­ стях, отметим все же некоторые основные факты.

Траекториями динамических систем на поверхностях кроме траекторий тех же типов, что и на плоскости, могут быть еще незамкнутые, устойчивые по Пуассону, а также незамкнутые и неустойчивые по Пуассону траектории, имеющие в качестве пре­ дельных а- и ©-устойчивые по Пуассону (незамкнутые, самопредельные). В связи с наличием у динамических систем на поверхностях новых типов траекторий вопрос о схеме динамиче­ ской системы на поверхности решается только для простейших случаев. Понятие грубости динамической системы на поверхно­ сти имеет то же значение, что и в плоской области, а необходи­ мые и достаточные условия грубости системы с небольшими мо­ дификациями те же, что и в плоской области.

Вообще же в динамических системах на поверхностях возни­ кает целый ряд новых по сравнению с динамическими системами на плоскости вопросов. Мы отсылаем читателя к специальной литературе (см. [16, 17, 3 *]).

§ 2. Динамические системы в n-мерном евклидовом пространстве. Существенные отличия от систем на плоскости и от систем на поверхностях обнаруживаются уже при п = 3. В трехмерной

7) Очевидно, здесь идет речь об особых точках самой поверхности, что не следует путать с особыми точками векторного поля системы (1 0 ), за­ данной на поверхности.

8) Эта поверхность является фазовым пространством для системы (10),

наряду с состояниями равновесия и замкнутыми траекториями возможны траектории всех тех типов, что и на двумерных по­ верхностях и, в частности, незамкнутые устойчивые по Пуассону (незамкнутые самопредельные).

Однако установление всех возможных типов траекторий, ана­

екторию Ьо, то Ьо среди своих предельных точек может иметь только состояния равновесия. В динамических системах числа измерений га > 2 возможна бесконечная цепочка траекторий, об­ ладающих тем свойством, что все они отличны от состояния равновесия и каждая траектория Li+1 является предельной для

Пример такой динамической системы с неаналитической пра­ вой частью см. [96]. Вопрос о возможности такой же ситуации в аналитической системе остается открытым.

Обратимся к вопросу о перенесении понятий, введенных для двумерных систем, на трехмерные и большего числа измерений. Рассмотрим, какой характер имеют простейшие «грубые» состоя­ ния равновесия и предельные циклы трехмерной системы. Воз­ можны следующие случаи грубых состояний равновесия:

а) узел и фокус, устойчивый или неустойчивый, когда все траектории, достаточно близкие к состоянию равновесия, стре­ мятся к нему при t -*■+оо или t —оо;

б) седло и седло-фокус’, у седла и седло-фокуса есть двумер­ ная сепаратрисная поверхность и две изолированные сепаратри­ сы (по разные стороны от сепаратрисной поверхности); на сепаратрисной поверхности седла есть узел, а на сепаратрисной по­ верхности седло-фокуса — фокус; все другие траектории, прохо­ дящие через достаточно малую окрестность седла и седло-фокуса, выходят из его окрестности и при возрастании, и при убывании t.

Качественный характер седла и седло-фокуса тождествен (в смысле, полностью аналогичном такому понятию, введенному для двумерных систем).

Характер указанных состояний равновесия наглядно и просто

в начале координат при (a — d)2 + Abc>0 будет седло, а при (a — d)2 + АЪс < 0 — седло-фокус.

Аналогично тому, как окрестность предельного цикла двумер­ ной динамической системы изучается с помощью функции по­ следования, в трехмерном пространстве окрестность замкнутой траектории изучается с помощью «отображения Пуанкаре»—

§ 2] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В п-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 469

отображения в себя трансверсальной к циклу площадки а. Точка пересечения площадки с циклом есть инвариантная точка ото­ бражения.

Возможны следующие случаи грубых предельных циклов: устойчивый (неустойчивый) предельный цикл, когда все доста­ точно близкие к циклу траектории стремятся к нему при t -*■+<» (при f-*-—°°), и седловой предельный цикл, который может быть двух типов. У седлового предельного цикла первого типа есть четыре двумерные сепаратрисные поверхности: две примы­ кающие к нему трубки и два примыкающих к нему кольца. На двух из сепаратрисных поверхностей (© сепаратрисах) все тра­ ектории вида спиралей стремятся к циклу при t -*■+°°, на двух

ных для двумерных систем, на трехмерные и большего числа из­ мерений и в первую очередь — понятия грубости. И здесь си­ туация осложняется. Надо иметь в виду, что рассмотрение вопро­ са о грубости трехмерных систем тесно связано с рассмотрением грубости отображения плоской области в себя или плоскости в плоскость. Полностью необходимые и достаточные условия гру­ бости трехмерных систем еще не установлены. Выделены только классы грубых систем, удовлетворяющих некоторым достаточным условиям грубости. Это, в первую очередь, системы Морса — Смейла, удовлетворяющие условиям:

1)число состояний равновесия конечно и все состояния рав­ новесия грубые;

2)число замкнутых траекторий конечно и все траектории грубые;

достаточных условий, возможная качественная структура систем Морса — Смейла может быть очень сложной. У таких систем мо­ жет быть счетное множество «ячеек». Существуют также при­ меры грубых динамических систем со счетным множеством сед­ ловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом. Впервые такой пример был построен американским математиком Смейлом (см. список дополнительной литературы [42*]). Примеры грубых систем со счетным множеством устой­ чивых или неустойчивых циклов с неограниченно увеличиваю­ щимся периодом отсутствуют. Доказательство того, что в грубых многомерных системах не может существовать счетного множе­ ства предельных циклов с ограниченными периодами, не пред­ ставляет затруднений.

Понятие грубости динамической системы в многомерных си­ стемах не играет той роли, которую оно играет для двумерных динамических систем. Именно, метеорологом Лоренцем для це­ лей предсказания погоды была выведена очень простая система

с постоянными параметрами о, г и Ь (см. [36*]). Оказалось, что при некоторых значениях параметров при отсутствии каких-либо устойчивых состояний равновесия или устойчивых предельных циклов у этой системы существует двумерное притягивающее множество «аттрактор»— множество чрезвычайно сложной струк­ туры, к которому все траектории из некоторой его окрестности стремятся при t -> +°°.

В системе (1) есть седло, и это седло принадлежит аттракто­ ру вместе со своими двумя изолированными сепаратрисами Ti и Гг. Аттрактору же принадлежит и счетное всюду плотное мно­ жество седловых предельных циклов с неограниченно увеличи­ вающимся периодом и всюду плотное множество устойчивых по Пуассону траекторий. А главное, этот аттрактор негрубый: при сколь угодно малых изменениях параметра сепаратрисы Ti и Гг входящего в него седла меняют свое расположение — они то включаются в сепаратрисные поверхности одного из седловых циклов, входящих в аттрактор, то отделяются от нее. Так как седловые циклы всюду плотны в аттракторе, то при непрерывном

меняется. Таким образом, аттрактор Лоренца негрубый. Слож­ ные режимы были обнаружены Лоренцем счетом на ЭВМ. Впо* следствии структура аттрактора Лоренца была рассмотрена в ря­ де работ, например в [25*]. Полное рассмотрение см. [9*, 10*].