книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

максимума кривой А*. Расположение линий А* и о* на плоско­ сти (х, уо) показано на рис. 170, в, а соответствующее располо­ жение на плоскости (хо, уо)— на рис. 171, в. При дальнейшем увеличении р, может быть еще одна возможность, при которой состояние равновесия с меньшей абсциссой устойчиво, а с боль­ шей — неустойчиво. Мы предоставляем читателю проследить воз­ никновение такой возможности на плоскости (х, уо) и соответ­ ствующую картину на плоскости (хо, уо). На рис. 171 в области

или фокуса устойчивы, в области 3 — фокус или узел с меньшей абсциссой неустойчив, фокус или узел с большей абсциссой ус­ тойчив, в области 4 — единственное состояние равновесия не­ устойчиво, в области 5 — три состояния равновесия, два неустой­ чивых узла или фокуса. Как уже указывалось, возможен еще

лежащим на сплошной части линии о (см. рис. 171), соответству­ ет наличие сложного фокуса. При изменении хо, уо, при которых точка пересекает сплошную часть линии о, фокус меняет устой­ чивость, при этом могут рождаться (или стягиваться) предель­ ные циклы. Решение вопроса о числе и характере этих пре­ дельных циклов требует вычисления ляпуновской величины, что в рассматриваемой задаче весьма затруднительно.

Рассмотрим возможность существования предельного цикла, окружающего все три состояния равновесия. Непосредственно

< 0. Следовательно, все траектории входят в прямоугольник, ограниченный прямыми у — 0 , у = у*, где у* достаточно велико, а « £ х ^ 1 (а — величина, удовлетворяющая уравнению (4)). По­ этому при значениях параметров, при которых у системы суще­ ствует единственный неустойчивый узел или фокус (это будет иметь место для значений параметров из области 1) заведомо должен существовать по крайней мере один устойчивый пре­ дельный цикл или нечетное число циклов — устойчивых на еди­ ницу больше, чем неустойчивых.

Будем предполагать, что цикл один.

Кривая о проходит через точку заострения кривой А лишь при специальных значениях параметров, при которых одновре­ менно выполняются равенства

f(x)*=W (x'), * ( * ) - Ф (*')'.

Если этих соотношений нет, то кривая о не проходит через точку заострения кривой А, и, следовательно, трехкратное со­

332 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

стояние равновесия системы, соответствующее точке заострения

ласть трех состояний равновесия через точку заострения, устой­ чивый предельный цикл будет окружать три состояния равно­ весия (он не может исчезнуть в сложном узле с о ^ О ). Мы уже говорили о возможном рождении предельных циклов из слож­ ных фокусов. При изменении параметров такие предельные цик­ лы могут исчезать в петле сепаратрисы (или появляться из петли).

Полных сведений об образовании петель сепаратрис и о рас­ положении соответствующих бифуркационных кривых в про­ странстве параметров получить не удается, но все же некоторую информацию об этом можно получить с помощью систем, соот­ ветствующих общей точке кривых Д и о — точке М*. В этом случае система имеет двукратное состояние равновесия, для которого о = 0 .

Как указано в § 4 гл. 10, при бифуркациях такого состояния равновесия возникает петля сепаратрисы. При значениях пара­

ное исследование характера состояний равновесия, что эта пет­ ля окружает левое состояние равновесия — узел или фокус. При значениях же параметров, при которых точка М* лежит на верхней части кривой Д — при бифуркациях точки М*, появ­ ляется петля вокруг правого узла или фокуса. Пусть параметры изменяются так, что от первого из указанных расположений

Рис. 172

сепаратрис мы переходим ко второму, не проходя при этом через кратные состояния равновесия (можно показать, что это всег­ да возможно). Тогда можно показать, что мы непременно долж­ ны пройти через расположение, представленное на рис. 172, а, когда петля сепаратрисы охватывает оба состояния равновесия, образует большую петлю. Можно показать, что при этом суще­ ствует случай, когда седловая величина отрицательна. Тогда

334 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

стоящая в правой части уравнения (14), возрастает и уравнение (14) име­ ет единственный корень.

функции g(x) следует, что сначала при возрастании х кривая о* пересека­ ет кривые семейства (3) в направлении уменьшения х0 (от нижних к верх­

кривая о не имеет самопересечения, в противном случае она имеет самопе­ ресечение.

§6 . Фазовая автоподстройка частоты. Рассматривается си­

стема [43]

2 [V i («А — a osi) + (a A — a oso)Г] [(«о + г ) («г + r ) ] _1-

При фиксированном р монотонный поворот будет осуществ­ ляться, если измененные значения параметров ai и S] выбирать так, чтобы выполнялось условие

(aiSo — a0si) (aiSi — aoSo)>0.

В частности, монотонный поворот осуществляется при изме­

пересекаются с касанием по оси ф. При изменении р поле на­ правлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах поворачивается в противоположных направлениях. Прямая у — 0 в этом случае будет контактной кривой.

2. Качественные структуры на концах fc-кривых. Чтобы про­ следить за изменением качественной структуры фазового про­ странства при монотонном повороте поля направлений с изме­

я — arcsin Р) между особыми точками отмечена координата т|о точ­ ки пересечения прямой с со-сепаратрисой седла. Если с убыва­ нием s двигаться в пространстве параметров вдоль fc-кривых, то векторное поле будет монотонно поворачиваться по часовой стрелке и г|о будет расти. В то же время на нижней ветви изо­ клины горизонтальных наклонов на верхнем полуцилиндре (име­ ющей положительные значения ординаты лишь вне интервала (arcsin р, я —arcsin Р)) максимум, равный

Отсюда следует существование по крайней мере одного не­ устойчивого предельного цикла, расположенного выше миниму­ ма верхней ветви изоклины горизонтальных наклонов, т. е. для

У>У2 = [к + Ук2 ~ s2(P + I ) 2] (Р + 1 )-1.

Так как кривая Рц, + Qy = — 2 к (s2— у2) (у2 + s2 )- 2 = 0 не пересекает для малых s верхнюю ветвь изоклины горизонталь­ ных наклонов (для малых s всегда уг > s), то этот цикл един­ ственный.

Для малых s кривая Ру + Qy = 0 не пересекает также и ниж­ нюю ветвь изоклины горизонтальных наклонов, поэтому пре­ дельные циклы вокруг точки 0 1 не могут существовать.

Предельные циклы на нижнем полуцилиндре также не могут существовать. Система (1) эквивалентна уравнению

п

но это невозможно при у < 0 и положительных р, а п s, Качественная картина фазового пространства для достаточно

малых s на любой кривой as = к представлена на рис. 173,1.

i'k

Проследим за поведением а-сепаратрис седла при больших s. Рассмотрим две консервативные системы сравнения:

паратрпса седла системы (1 ), выходящая на нижний полуци­ линдр, идет в точку 0\.

Траектории системы (3) на верхнем полуцилиндре представ­ ляют спирали, накручивающиеся на цилиндр и уходящие в бес­ конечность. Поле направлений системы (1) на верхнем полу­ цилиндре повернуто по отношению к системе (3) против часо­ вой стрелки повсюду, за исключенпем прямой у = s (на прямой у — s будет касание с пересечением). Поэтому а-сепаратриса седла системы (1 ), выходящая на верхний полуцилиндр, не мо­ жет пересечь а-сепаратрису седла системы (3), выходящую из

деляет качественную картину разбиения фазового пространства. Качественная картина на любой кривой as = ft для достаточно больших s представлена на рис. 173, 0.

3. Качественные картины фазового пространства п возмож­ ные бифуркации при О < Р < 1 . Кривые к соединяют области пространства параметров, соответствующие структурам, пред­ ставленным на рис. 173,1 и 173,0. При возрастании s вдоль ft-кривых точки Р 1 и Рг на пересечении прямой ф = arcsin (J с

а- п (о-сепаратрисамн седла на верхнем полуцилиндре монотон­

расходятся. Множества точек so(ft), ao(ft), соответствующие не­ грубой бифуркационной структуре, для которой а- и со-сепарат- рисы седла образуют петлю на верхнем полуцилиндре (Pi и Р 2 совпадают), образуют в пространстве параметров непрерывную кривую L. Каждая ft-кривая пересекает в одной точке кри­ вую L.

При переходе через значение s, соответствующее пересече­ нию кривых L п ft, возникает и затем разрушается петля се­

ft-кривых предельные циклы монотонно сближаются. Так как предельных циклов для структуры на рис. 173,0 нет, то суще­ ствует на каждой ft-кривой точка с координатами s+(ft), a +(ft), для которой устойчивый и неустойчивый предельные циклы сли­ ваются, образуя полуустойчивый предельный цикл.

Соответствующая негрубая бифуркационная структура пред­ ставлена на рнс. 173,2—0. Множество точек s+(ft), а* (к) обра­ зует непрерывную £ +-кривую в пространстве параметров, пере­ секающуюся с каждой из ft-кривых в одной точке. Последо­ вательность качественных структур при возрастании s вдоль ft-кривых представлена на рис. 173 последовательностью грубых структур 1, 2, 0. Негрубые структуры, соответствующие бифур­ кационным значениям параметров, обозначены двумя цифрами,

ду структурами 173,1 и 173, 0, определяются лишь с точностью до дополнительного четного числа предельных циклов, охваты­ вающих цилиндр, так как при повороте поля предельные циклы могут возникать из сгущения траекторий, пересекающих кривую

РфЧ- Qy = 0 , разделяться п затем опять попарно в других со­

четаниях сливаться и исчезать. Логическая возможность такого поведения остается неустраненной. Вокруг точки 0\ подобное произойти не может. Раз возникнув, предельные циклы не мог-

22 н. Н. Баутпн, Е. А. Леонтович

ли бы исчезнуть, так как при дальнейшем повороте поля петли сепаратрисы вокруг точки 0\ не возникают и 0\ не меняет ус­ тойчивости.

4. Расположение бифуркационных кривых. Отметим, что

/с-крпвые пересекают L и Ь+ в определенной последовательно­ сти, и поэтому L и Ь+ не пересекаются. Покажем, что кривая L + целиком лежит в полосе р < ос < р + 1.

Используем систему сравнения

Величина Pq, + Qy обращается в нуль на верхнем полуци­ линдре только на прямой у = s. Если эта прямая будет на ци­ линдре циклом без контакта, то двойные предельные циклы не могут существовать (гл. 6 ). Прямая у = s будет циклом без контакта, если

вдоль х-кривых происходит монотонный поворот поля направ­ лений, и поэтому каждая х-кривая может пересекать L не более одного раза. Рассмотрим систему сравнения

340 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

бым системам на рис. 173,’ помеченным двумя цифрами, соот­ ветствуют бифуркационные кривые рис. 174, разделяющие со­

ществования трех предельных циклов). Рассмотрим систему рас­

Известными методами качественной теории обнаруживается, что

тории на нижнем полуцилиндре идут из бесконечности на верх­ ний полуцилиндр. На нижнем полуцилиндре и вокруг точки 0\ циклов нет (см. § 6 ). Все бифуркации могут происходить толь­ ко на верхнем 'полуцилиндре.

Для больших Я структура разбиения фазового пространства