книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

вые L~, L0 и L+, разделяющие плоскость (Я, d) на области, для которых качественные структуры различаются поведением сепа­ ратрис седла. Поведение сепаратрис с точностью до четного числа предельных циклов определяет структуру разбиения фазового пространства на траектории.

лых и для больших Я будут соответственно существовать струк­ туры рис. 178, 4, 6; при возрастании Я поле монотонно поворачи­ вается и, следовательно, существует единственное бифуркацион­ ное значение, соответствующее точке Я+-кривой).

Кривая LP располагается между L~ и Ь+. Для малых f и Я кривая L0 представляется уравнением d = 3 (см. гл. 15, § 2). Кривые L~, IP и Ь+ с каждой из Я-кривых пересекаются в одной точке и уходят в бесконечность. Они не могут пересекаться, так как при f > 0 и любых Я и d не может осуществляться струк­ тура разбиения на траектории, при которой сепаратрисы седла образуют две петли на нижнем и верхнем полуцилиндрах (та­ кой структуре соответствовала бы точка, в которой пересекаются три кривые L~, IP и L+).

Если предположить, что такая структура при некотором у > 0 осуществляется, то при убывании у в силу монотонности поворо­ та векторного поля на верхнем и нижнем полуцилиндрах (соот­ ветственно по и против часовой стрелки) обе петли разрушаются и возникает структура, в которой и на нижнем, и на верхнем полуцилиндрах а-сепаратриса располагается ниже ю-сепаратри- сы. Только от такого расположения сепаратрис может появиться при возрастании у двойная петля, образованная сепаратрисами седел. При у = 0 и любых Я и d такого расположения сепаратрис не может быть из-за симметрии поля направлений относительно начала координат, и при возрастании у оно не может возник­ нуть, так как из-за различного направления поворота поля на нижнем и верхнем полуцилиндрах при возрастании у точки «-се­ паратрис на каждом полуцилиндре могут только подниматься, а точки оз-сепаратрис — только опускаться.

Из сказанного следует, что при возрастании Я вдоль Я-кри-

каций, при которой сначала сливаются точки Pi и Pi, затем точ­ ки Р% и Pi и, наконец, точки Ра и Рь. Кривые L+ и Oi = 0 пере­ секаются (это следует из асимптотического представления L+— кривой уравнением яр (1 ) = 0 ), и поэтому при движении вдоль к- кривых стягивание предельного цикла к точке (при пересечении

Ci = 0 , на которой фокус меняет устойчивость, на отрезке между

Последовательность качественных структур, переходящих од­ на в другую при описанном изменении параметров, представлена на рис. 178 двумя возможными последовательностями грубых структур: 1—4, 6 или 1—3, 5, 6. Негрубые структуры, соответ­ ствующие бифуркационным значениям параметра, обозначены двумя цифрами, указывающими на грубые структуры, которые они разделяют. При движении вдоль Ад-кривых (0 < Ад < (3/4) л7 ) структура 1 выпадает из последовательности (Ai-кривые не пере­ секают кривую фг (1 ) = 0 ).

системы (1 ) есть устойчивый предельный цикл на верхнем полу­ цилиндре. При d < 0 состояние равновесия Oi устойчивое. Каче­ ственная структура фазового пространства в этой области будет такой, как на рис. 178,4. Кривые А (для —(3/4) пу < к < 0) сое­ диняют области пространства параметров, соответствующие струк­ турам, представленным на рис. 178, 4, 6. При возрастании А вдоль A-кривых точки Р4 и Р5 на со- и а-сепаратрнсах седла на верхнем полуцилиндре (см. рис. 179) монотонно сближаются, сливаются при некотором значении А = Ао(А) (соответственно d = do{k)) и затем монотонно расходятся. Множество точек (Ао(А), do(А)), со­ ответствующее негрубой бифуркационной структуре, для которой а- и со-сепаратрисы седла образуют петлю на верхнем полуци­ линдре, образует непрерывную кривую — продолжение Р+-крпвой

Эта прямая имеет лишь одну точку пересечения с />+-кривой (так как L+ не может иметь с А-кривыми более одной точки пересечения).

Существует единственное значение А = ко, разделяющее А-крп- вые на два класса: Ai-кривые (Ao<Ai<0), пересекающие Ь+

ная на рис. 178, 4. При возрастании А вдоль Ai-крнвых предель­ ный цикл опускается, а сепаратрисы на верхнем полуцилиндре сближаются.

При переходе через значение А, соответствующее пересечению кривых к\ и L+, возникает и затем разрушается петля сепаратри­ сы на верхнем полуцилиндре, к которой стягивается устойчивый

нейшем изменении параметров вдоль Ад-кривых изменения ка­ чественной структуры не происходит. Последовательность каче­ ственных структур при возрастании % вдоль Ад-кривых представ­ лена на рис. 178, 4, 178, 4—6 , 178, 6 .

При возрастании % вдоль Ад-кривых предельный цикл опу­ скается п сепаратрисы на верхнем полуцилиндре сближаются, но при переходе через значение X, соответствующее пересечению кривых к2 и Ь+, при разрушении петли сепаратрисы появляется неустойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре (устой­ чивый предельный цикл не может стянуться к петле сепаратри­ сы, так как седловая величина Ог > 0 ) и возникает структура, представленная на рис. 178,7, с двумя предельными циклами, охватывающими верхний полуцилиндр.

При дальнейшем возрастании параметра К вдоль Ад-крпвых предельные циклы монотонно сближаются. Так как для струк­ туры на рис. 178,6 предельных циклов нет, то существует на каждой Ад-кривой точка с координатами Х++(к), с1++(к), для ко­ торой устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются, образуя полуустойчивый предельный цикл. Соответствующая не­ грубая бифуркационная структура пред­ ставлена на рис. 178, 7—6 . Множество

точек (Х++{к), d++(k)) образует непре­ рывную L++ кривую, пересекающуюся с каждой из Ад-кривых в одной точке спра­ ва от /А-кривой и начинающуюся в точ­

структур при возрастании X вдоль Ад-кри­ вых представлена на рис. 178,4\ 178,4— 7; 178,7; 1 7 8 ,7 -6 и 178,6.

Разбиение пространства параметров X, d при малых "f представлено на рис. 180 цифрами 1—7 отмечены области в про­ странстве параметров, соответствующие

грубым структурам в фазовом пространстве, помеченным теми же цифрами на рис. 178. Негрубые структуры на рис. 178, по­ меченные двумя цифрами, соответствуют бифуркационным кри­ вым рис. 180, разделяющим соответствующие области.

З а м е ч а н и е . Определение А++-кривой опирается на суще­ ствование ТА-кривой, доказанное с привлечением метода малого параметра и, следовательно, для области фазового пространства, ограниченной по координате у. Для двойных циклов, располо­ женных в далеких частях фазового цилиндра, нужно рассматри­ вать продолжение /,'|'+-кривой. Асимптотическое поведение про­ должения 7/++-кривой дано в приложении II.

23 н. Н. Баутин, Е. А. Леонгович

Другие возможные бифуркации. Проследим за изменениями в фазовом пространстве и поведением бифуркационных кривых

против часовой стрелки, и при этом устойчивые предельные цик­ лы на верхнем и нижнем полуцилиндрах поднимаются. Если устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре суще­ ствует для некоторого "fo, то он будет существовать и для всех у > уо. Если для некоторого '(о существует петля на нижнем или верхнем полуцилиндрах, то при возрастании у петля снизу раз­

растании у точки //‘‘-кривой становятся внутренними точками областей 3 и 4, а точки L‘"‘‘-кривой — внутренними точками об­ ластей 4 и 7 (либо принадлежат их границе). Кривая L*+, начи-

нающаяся в точке пересечения L* с прямой 1 + dVl — у2 — 0, не существует выше прямой (предположение о существовании таких точек приводит к необходимости существования для двух значений ^ 1 и точек пересечения кривых L++(y1 ) и L ++(yo), что невозможно из-за монотонности поворота поля на полуци­

структуры разбиения фазового цилиндра с двумя предельными циклами на верхнем полуцилиндре, представленной на рис. 178, 7. Область 7 пространства параметров, соответствующая структуре на рис. 178,7, с возрастанием у опускается.

а области 1—3, 5 ж7 рис. 180 уходят в бесконечность. На пло­ скости единственной бифуркационной кривой будет £ +-кривая (ее существование следует из рассуждений, аналогичных рассуж­ дениям для случая малых у, опирающихся на существование при у = 1 некоторой окрестности оси d, для точек которой есть устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре). Про­ странство параметров и структуры разбиения фазового простран­ ства изображены на рис. 181.

При у > 1 существует единственная структура разбиения фа­ зового пространства на траектории. Все траектории накручива­ ются на устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре (рис. 182). При возрастании у от значения у = 1 при X и d, взя­ тых из области / рис. 181, исчезает состояние равновесия седло-

Ч А С Т Ь IV

КУСОЧНО-СШИТЫЕ СИСТЕМЫ

Г Л А В А 17

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ

Введение. В последующих главах настоящей книги рассмат­ риваются так называемые «сшитые» и «склеенные» динамические системы.

Так называются системы, область определения которых G (могущая совпадать со всей плоскостью (х, у ) ) разделяется на подобласти Gt, в которых определены различные аналитические системы. Траектории этих частичных систем сшиваются тем или другим образом (в зависимости от задачи) на границах G{.

К рассмотрению таких сшитых динамических систем естест­ венно приводят многие задачи из приложений, например, осцил­ лятор с сухим трением, системы с «ударами» (простейшие моде­ ли часов), простейшие задачи регулирования (двухпозиционный авторулевой) и др. (см. [2 , 3]).

Такие системы имеют некоторые типичные черты, именно:

1.«Сшитость» системы (а также «условия сшивания») не­ посредственно вытекает из физического смысла рассматриваемой задачи.

2.Система является кусочно-линейной, т. е. те частичные си­ стемы, из которых она склеивается, являются линейными.

3.На линии склейки может быть определено точечное ото­ бражение (функция последования), которое позволяет опреде­ лить характер рассматриваемой системы.

В частности, в [3] приведено большое число примеров таких систем и дано рассмотрение их методом точечных отображений. При этом в большинстве из этих задач точечное отображение

Такая параметрическая форма в некоторых случаях существенно упрощает рассмотрение. Во многих случаях полученное упроще­ ние, приводящее к рассмотрению сшитой системы, позволяет рассматривать значительно более сложные фазовые пространст­ ва, чем плоскость. Однако в настоящей книге такие задачи не рассматриваются.

В случае, когда сшитая система хорошо отображает черты реальной системы, рассмотрение ее методом точечных отображе­ ний позволяет, вообще говоря, не только устанавливать качест­

358 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ {ГЛ. 17

венную структуру, но и получить также некоторые количествен­ ные характеристики.

Следует, однако, заметить, что полное рассмотрение кусочно-

в случае, когда система кусочно-линейная). Между тем далеко не всегда, исходя из условий реальной задачи, естественно рас­ сматривать кусочно-линейную систему; для некоторых задач ес­ тественно рассматривать системы, склеенные из нелинейных и неинтегрируемых динамических систем. В этом случае исследо­ вание системы методом точечных преобразований не может быть проведено.

Кроме того, следует принять во внимание также следующее: целесообразность введения и рассмотрения кусочно-склеенных

еенаписания).

Так, например, в некоторых слу­

Теоретически всякая система может быть приближенно пред­ ставлена как склеенная из достаточно большого числа линейных систем, так как в достаточно малой области всякая система мо­ жет быть приближенно представлена как линейная. Однако ис­ пользование этого весьма общего утверждения при рассмотрении конкретных задач, вообще говоря, не представляется возможным из-за его полной неэффективности.

Если при рассмотрении конкретной задачи делается такая замена аналитических функций кусочно-сшитыми (или даже

§ 1] СШИТЫЕ СИСТЕМЫ. ДООПРЕДЕЛЕНИЕ НА ЛИНИЯХ СШИВАНИЯ 359

разрывными), то, очевидно, сразу же встает вопрос, будет ли по­

стемы, которые должны описываться не склеенной аналитиче­ ской системой.

Этот вопрос подлежит детальному обсуждению, и ему посвя­ щена гл. 2 0 настоящей книги.

Так или иначе, в силу ли физических или математических причин возникает целесообразность рассмотрения кусочно-сши­ тых, но не обязательно кусочно-линейных (и даже не обязатель­ но кусочно-интегрируемых) динамических систем и их качест­ венного исследования. Но в случае, когда сшитая система не является кусочно-линейной, полное сведение исследования ее качественной структуры к исследованию некоторого точечного отображения, как правило, делается невозможным. Тогда есте­ ственно попытаться распространить теорию бифуркаций и мето­ ды качественного исследования, на нее опирающиеся, на кусоч­ но-сшитые системы, конечно, с той спецификой, которая при этом возникает. Это тем более естественно, что в случае кусочносшитых систем, так же как и в случае аналитических систем, фактами теории бифуркаций объясняются некоторые черты по­ ведения реальных систем (мягкое и жесткое возникновение ко­ лебаний, срыв колебаний и др.).

В настоящей книге при качественном рассмотрении сшитых систем используется не только построение функции последова­ ния (точечного отображения) и его исследование, но также и приемы, опирающиеся на перенесенную на сшитые системы тео­ рию бифуркаций.

§1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания.

Внастоящей главе мы дадим определение кусочно-сшитых си­ стем и укажем некоторые их основные свойства.

При этом мы ни в какой мере не претендуем на полное опи­ сание всех возможных типов кусочно-сшитых систем и их свойств (что и вообще вряд ли имеет смысл), а выделяем лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся в прикладных задачах.

Система

зывается сшитой системой (или кусочно-сшитой, или кусочносклеенной системой), если:

1. Задано разделение области G на конечное число подобла­

При этом подразумевается, что линии и простые замкнутые кривые не имеют общих точек, а простые дуги могут иметь об­ щими с линиями, простыми замкнутыми кривыми и друг с дру­ гом только свои концы.

Линпи, замкнутые кривые и простые дуги предполагаются аналитическими, т. е. если х = cp(s), у = ty(s)— параметрические уравнения линии, замкнутой кривой, дуги I, то функции cp(s) и “ф(s) являются аналитическими функциями s.

Границы областей Gj {] = 1, ..., п) называются линиями сшивания (или линиями склейки).

2. В каждой частичной области Gj вместе с ее границей (т. е.

однозначными аналитическими функциями в некоторой области Н, целиком содержащей G,\ система (Aj) как бы «отрезана» вдоль границы Gj.

Таким образом, на всякой линии сшивания, общей для двух областей G, и Gh, определена как система (А,), так и система (А*). Однако данная сшитая система может быть определена на линии сшивания совсем особым образом (она может быть отлич­ на и от системы (А,), и от системы (А*)). В каждой внутренней точке любой области G5 склеенная система (А) совпадает с си­ стемой (А,).

3. На границах областей Gj, т. е. на линиях сшивания, си­ стема (А) специально доопределяется (в зависимости от условий той реальной задачи, которая описывается рассматриваемой сшитой системой).

При сделанных нами предположениях относительно анали­ тичности частичных систем (Aj) и аналитичности линий, входя­ щих в границы областей (Gj), очевидно, справедливы следующие утверждения.

Всякая простая дуга I, входящая в границу какой-либо об­ ласти Gj (которая может быть либо частью уходящей в беско­ нечность граничной линии, либо дугой граничной замкнутой кривой):

1 ) может быть дугой без контакта для траекторий системы (Ai), определенной в области G{ (для которой она является гра­ ничной), но может не быть дугой без контакта для траекторий системы (Afc), определенной в отличной от G( области Gh (для которой I также является граничной дугой);

2 ) может иметь конечное число точек касания с траектория­ ми системы (А,);