книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

структура рис. 159,5 с двумя предельными циклами, между ко­ торыми нет состояний равновесия. На интервале 1 < А < А (1> при некотором А = А<0) предельные циклы сливаются в двойной полуустойчивый предельный цикл (рис. 159,4) и затем исчезают. По­ следовательность структур вдоль нижней ветви дискриминантной кривой представлена на рис. 159,4—10.

3.5. Структуры разбиения фазового пространства и бифурка­ ции внутри дискриминантной кривой в области трех состояний равновесия. Дискриминантная кривая, представленная в парамет­ рическом виде уравнениями (3), может рассматриваться как оги­ бающая семейства прямых о —XXQ — cp(£o)= 0 в плоскости (А,, о). Полупрямые

касающиеся в точке А = —ф'(£о) дискриминантной кривой, одно­ кратно покрывают область, ограниченную линией симметричных структур и нижней ветвью дискриминантной кривой, при хо, из­ меняющемся от точки перегиба до минимума характеристики

ответствует для системы (1) повороту против часовой стрелки изоклины о —Хх —у = 0 вокруг седла, возникшего в точке х = хо при разделении седло-узла на седло и узел.

Рассмотрим бифуркации, осуществляющиеся при движении по полупрямым (16), касающимся дискриминантной кривой на ин­

устойчивого предельного цикла разделяется на седло и неустой­ чивый узел, который при дальнейшем уменьшении А превраща­ ется в фокус (рис. 160,44).

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с пря­ мыми L\ = 0 и 4,2 = 0 происходят бифуркации состояний равнове­ сия: при уменьшении А сначала из фокуса х\ (рис. 160,10) и за­ тем из фокуса Х2 рождаются неустойчивые предельные циклы (фо­ кусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя пре­ дельными циклами (рис. 160,5). Так как при А = 0 предельных циклов нет (у = о — интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,4), то рассуждениями, аналогич­ ными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании А до ну­ ля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис: возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина по­

ложительна {Рк + Qy= — ф' (х0) — 1 = А — 1, где А — координата

§ 2] ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ТУННЕЛЬНЫМ ДИОДОМ 303

ного цикла, так как это запрещает знак седловой величины (см. гл. 11)). Так как при А, = 0 циклов нет, то при дальнейшем уменьшении X из слияния устойчивого и неустойчивого предель­ ных циклов должен возникнуть двойной предельный цикл и за­ тем исчезнуть. Точки бифуркаций на полупрямых (16), соответ­ ствующие петлям сепаратрис вокруг верхнего и нижнего фокусов, либо могут совпадать, либо должны разделяться точкой бифурка­ ции, соответствующей большой петле.

Для полупрямых (16), касающихся нижней границы дискри­ минантной кривой на интервалах (1, Я,(0>), (Х<0>, А,ш ), (А,(1), Х<2)), (Х(2\ Я[), бифуркации будут аналогичными, но число их от ин­ тервала к интервалу будет уменьшаться за счет того, что неко­ торые бифуркации уже произошли при движении вдоль дискри­ минантной кривой.

Так как указанные бифуркации имеют место на прямых, це­ ликом заполняющих рассматриваемую область внутри дискрими­ нантной кривой, то существуют непрерывные кривые, на которых осуществляются бифуркации. Их начальные и конечные точки располагаются на линии сим­

ке X — 1 сепаратрисы вырож­ денного седло-узла (см. гл. 4)

нужно рассматривать как вырождение петли сепаратрисы во­ круг верхнего фокуса, стягивающейся вместе с фокусом в одну точку. Кривая двойных циклов проходит между точкой X = X* на линии симметричных структур и точкой X = Х<0> на дис­ криминантной кривой слева от кривой, на которой осуществляет­ ся большая петля.

Некоторые из бифуркационных кривых могут пересекаться, и поэтому последовательность качественных структур и бифурка­ ций при изменении параметра X вдоль отрезков касательных внут­ ри дискриминантной крривой может быть различной.

3.6. Структуры разбиения фазового пространства и бифурка­ ции вне дискриминантной кривой (в области одного состояния

304 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

равновесия). Здесь возможны три структуры: неустойчивый фо­ кус внутри устойчивого предельного цикла, устойчивый фокус, окруженный двумя предельными циклами, и устойчивый фокус (узел), к которому траектории идут из бесконечности. Первая из перечисленных структур существует для точек вне дискрими­

ласть одного состояния равновесия (см. рис. 159,5—9) исчезает состояние равновесия седло-узел и остаются два предельных цикла вокруг устойчивого фокуса (на рис. 159,6—8 неустойчивый пре­ дельный цикл при исчезновении седло-узла возникает из замкну­ той траектории, образованной со-сепаратрисой седло-узла). На ин­

тойчивого и неустойчивого предельных циклов, начинается в точ­ ке X = Хз на прямой L\ = 0 (здесь аз = 0) и пересекает дискри­ минантную кривую при X = Х<0>, выделяя некоторую окрестность дискриминантной кривой и прямой L\ =>0, для точек которой есть одно устойчивое состояние равновесия и два предельных цикла (область [2] на рис. 158, 161). При переходе из области L\ < 0 в область Ь\ > 0 при X > Хз устойчивый цикл стягивается к фокусу (аз < 0) и возникает структура без предельных циклов (область [5] на рис. 158, 161). Границами области без предельных циклов служат кусок дискриминантной кривой (для 0 ^ X < Хт ), кривая

ства параметров на области различной качественной структуры по обе стороны линии симметричных структур L = 0 приведено на рис. 161. Соответствующие различным областям грубые структу­ ры разбиения фазового пространства (обозначенные теми же но­ мерами) представлены на рис. 160. Жирными линиями изобра­ жены сепаратрисы и предельные циклы, штриховой — неустойчи­ вые предельные циклы. Устойчивые состояния равновесия —чер­ ные точки, неустойчивые — светлые.

Разбиение на рис. 161 соответствует предположению, сделан­ ному в п. 3.4, об отсутствии предельных циклов для структур в точке X = 1 дискриминантной кривой. Если предположение не вы­ полняется, то кривая двойных циклов (штриховая на рис. 161)‘

очевидно, соответствуют системы (1), имеющие двукратное состоя­ ние равновесия с равной нулю координатой т, а точкам кривой (параболы)

A23 = 4 " (reoi---- F " 02_1 — т ) + "«г — 1) = ° (8)

— системы, имеющие двукратное состояние равновесия, получаю­ щееся от слияния состояний равновесия 0 2 и 0 3. Исследуя урав­

кости (тгоь «ог), а при р > 1 — в этом квадранте.

Кроме того, как нетрудно видеть, при р < 1 корень тз отрица­ телен, и, следовательно, у системы (1) при р < 1, при значениях

0 1 , О2, Оз. Прямая (7) в этом случае, очевидно, также соответству­ ет системам с кратными состояниями равновесия. Общая точка N параболы (8) с прямой соответствует динамической системе с трех­ кратным состоянием равновесия и делит прямую (7) на две части Д12 и Д1 3 (Л1 2 соответствует слиянию 0\ и 0 2, а Д13 — слия­ нию 0\ и Оз). На рис. 162—164 цифрами /, II, III указаны соот­ ветственно области плоскости параметров, при которых система имеет одно, два и три состояния равновесия с координатой m > 0.

Рассмотрим теперь вопрос о характере состояния равновесия системы (1). Если не учитывать различия между узлами и фоку­ сами, то границами в пространстве параметров, определяющими области различного характера состояний равновесия и различ­ ной устойчивости узлов и фокусов, являются

A = P'mQ n-PnQ 'm =

2) При переходе через прямую (6), для точек которой система имеет двукратное состояние равновесия, двойное состояние равновесия не исчезает (как в общем случае), а опять разделяется на два, но у одного из них координата m делается отрицательной.

308 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

ствующую значению т = т. Нетрудно убедиться на основании

рождение предельных циклов, на котором мы остановимся ниже. Предельные циклы. Покажем сначала, что существует зам­ кнутая область в фазовом пространстве, содержащая все состоя­ ния равновесия, внутрь которой входят траектории системы. Дей­ ствительно, рассматривая прямые Гх: та = 0 , Г2 :и = ио1 , можно показать, что все траектории входят внутрь полосы, ограниченной

этими прямыми.

ем, что траектории пересекают эту прямую сверху вниз. Таким

тории пересекают эту прямую справа налево, т. е. по-прежнему существует область, внутрь которой входят все траектории си­ стемы (1 ).

Принимая во внимание тот факт, что существуют значения параметров, при которых система имеет одно состояние равно­ весия, лежащее на интегральной прямой тп= 0 , а также прини­ мая во внимание, что состояние равновесия 0з — седло, можно утверждать:

а) если предельные циклы существуют, то они обязательно ох­ ватывают состояние равновесия 0 г;

в) так как существует область фазового пространства, внутрь которой входят все траектории системы и, кроме того, при пере­ ходе из области значений параметров I I в область 11' состояние равновесия Оч (лежащее выше интегральной прямой то = 0) ме­ няет устойчивость, то должен существовать по крайней мере один устойчивый предельный цикл.

Мы покажем, что в некоторых случаях у системы может су­ ществовать два предельных цикла. Рассмотрим выражение для

где /(то) = р(р + Gp — 1)то2 + 2(р — 1 — Gp)m + р + 1.

1)р < 1. В этом случае, очевидно, существует не более двух

состояний равновесия, седло лежит на прямой то = 0, и, очевид­ но, его сепаратрисы не могут образовать петлю (рис. 165).

Возможны два случая:

а) р — 1 + Gp < 0. Уравнение /(то)= 0 не имеет положитель­

цикл.

Особенности в поведении системы в окрестности тех значений, при которых L = 0, можно выяснить, устанавливая знак второй ляпуновской величины Ьч. Однако мы можем рассмотреть воз­ можности, которые здесь могут иметь место и без вычисления этой величины.