книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 7] ЧАСТОТНО-ФАЗОВАЯ АВТОПОДСТРОЯКА ЧАСТОТЫ 341

в бесконечность. Циклов нет. Структура разбиения фазового про­ странства эквивалентна представленной на рис. 175,0.

Проследим за изменением качественной структуры и возмож­

дет зависеть от выбранных [} и s. Качественные структуры, осу­

структура с одним неустойчивым предельным циклом. Точке а = = ai (Р, $) соответствует структура с двойным предельным цик­ лом, возникшим из сгущения траекторий. Точке ос — <x2 ((i, s) — структура с петлей сепаратрисы, охватывающей верхний полу­ цилиндр. Проследим за сменой качественных структур и воз­

нии появляется член —Ау и бесконечность становится неустой­ чивой. Из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл. Эта структура изображена на рис. 175, 2. На верхнем по­ луцилиндре два предельных цикла. При возрастании А поле направлений поворачивается по часовой стрелке и предельные

342 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

предельные циклы сливаются, образуя двойной полуустойчивый предельный цикл. При возрастании X от бифуркационного зна­

вый). Эта структура изображена на рис. 175,5. При возраста­ нии X верхний и нижний устойчивые предельные циклы моно­

соответствующее влипанию нижнего устойчивого цикла в петлю сепаратрисы на верхнем полуцилиндре (петля может возник­ нуть только при стягивании к петле устойчивого предельного

верхнем полуцилиндре. При X = Яо устойчивый предельный цикл влипает в петлю сепаратрисы.

Если монотонный поворот поля не повсюду увеличивает шаг спиралей, охватывающих цилиндр (расстояние между витками), то остается еще возможность возникновения двойного предель­ ного цикла из сгущения траекторий с последующим разделением

вдоль прямой a = ao < ai, если ao достаточно близко к ai. Точке (X = 0, a = ai) соответствует структура разбиения фазо­

вого пространства с двойным полуустойчивым предельным цик­ лом на верхнем полуцилиндре. Так как поле направлений пово­

с отрицательным наклоном, для которой двойной цикл не раз­ рушается. Прямая a = ao < ai эту кривую пересекает, если ao достаточно близко к ai.

Проследим за изменением качественных структур при возра­ стании X вдоль прямой a = a o < a i при ao, достаточно близ­ ком к аь При X = 0 будет осуществляться структура рис. 175, 0. Циклов нет. При переходе к положительным X появляется устой­

чивый предельный цикл из бесконечности, который будет опу­ скаться с возрастанием X. Для значения X = Х+ (ао; -(J, s) появ­ ляется двойной предельный цикл ниже устойчивого предельного цикла (двойной цикл не может возникнуть выше устойчивого предельного цикла, появившегося из бесконечности, так как выше цикла при повороте поля по часовой стрелке с возраста­ нием X шаг спирали, накручивающейся на устойчивый цикл сверху, может только увеличиваться). С дальнейшим возраста­ нием X двойной предельный цикл разделяется на нижний устой­ чивый и верхний неустойчивый и осуществляется структура раз­ биения рис. 175,3. При дальнейшем возрастании X устойчивый цикл опускается, неустойчивый поднимается. Так как для X > х* циклов уже нет, то в интервале Х+ < X < х* необходимо осу­ ществляются еще две бифуркации: слияние устойчивого и не­

тельный наклон. Последнее следует из того, что на кривой с положительным наклоном при одновременном возрастании или убывании параметров а и X векторное поле поворачивается мо­ нотонно и при этом двойной предельный цикл не мог бы су­

точки слева и по тем же причинам, что и кривая Х++, имеет отрицательный наклон.

Кривая Р<р + Qy — 0 не имеет в фазовом пространстве дей­ ствительных ветвей, если а < 4sX. Поэтому при условии a < <4sX не может быть более одного цикла, охватывающего фа­ зовый цилиндр (гл. 6 ). Это обстоятельство помогает проследить поведение кривых Х+ и Х++.

Кривые X* и Х++ при убывании а не могут идти ни в беско­ нечность (так как не могут пересекать прямую X = х*), ни к оси X (так как не могут пересекать прямую а = 4sX), ни к оси а (так как имеют отрицательный наклон). Кривые Х+ и Х++ мо­ гут при убывании а прекратиться лишь в угловой точке, соот­ ветствующей смыканию бифуркационных кривых Х+ и Х++. Для значений параметров, соответствующих этой угловой точке, си­ стема будет иметь тройной предельный цикл.

344 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

направлении при возрастании а или К поворачивается монотон­

Кривая Ко по тем же причинам, что и кривые Я+ и Я++, имеет отрицательный наклон.

З а м е ч а н и е . Структуры на прямой К= 0 известны, лишь с точностью до дополнительного четного числа циклов, охваты­ вающих цилиндр (см. гл. 14), поэтому остается неустраненной логическая возможность существования «двойников» бифуркаци­ онных кривых К+ и Л++.

Выясним расположение кривой Ко относительно кривых Л+ и Л++ в предположении отсутствия «двойников». Если при воз­ растании К петля сепаратрисы вокруг цилиндра возникает и за­ тем разрушается прежде, чем появляется двойной предельный цикл, то возникает разбиение фазового пространства на траек­ тории без предельных циклов; со-сепаратриса седла, выходящая на верхний полуцилиндр, накручивается на цилиндр, уходя в бесконечность. При дальнейшем возрастании К предельные цик­ лы возникнуть уже не могут, так как с возрастанием К поле поворачивается по часовой стрелке и шаг спиралей на верхнем полуцилиндре при этом только увеличивается. Никакая часть кривой Ко не может располагаться ниже кривой К+. Поэтому кривые Ко и К+ не могут пересекаться.

Кривая Ко не может проходить и через угловую точку смы­ кания кривых Л4- и А++. Такой точке должна соответствовать структура разбиения фазового пространства с тройным устой­ чивым предельным циклом и простой устойчивой петлей сепа­ ратрисы на верхнем полуцилинд­ ре (седловая величина не равна нулю и отрицательна). Наличие этих элементов в структуре раз­ биения фазового пространства возможно лишь при существова­ нии разделяющего их неустойчи­ вого предельного цикла. Предпо­ ложение о возможности такой структуры в угловой точке при­ водит к противоречию с предпо­ ложением, что эта точка угловая

ным циклом, осуществляющуюся слева от прямой а = 4sX, лишь с переходом через бифуркационную кривую К+, а это невозмож­ но, если начальная точка угловая).

Кривая Ко пересекает К++ справа от угловой точки. Разбие­ ние пространства ос, К для § = const (0 < [ } < ! ) и s = const

представлено на рис. 176. Цифрами 0—3 отмечены области в пространстве параметров, соответствующие грубым структурам на рис. 175, отмеченным темн же цифрами. Цифры указывают на число циклов. Негрубым структурам на рис. 177, помечен­ ным двумя или четырьмя цифрами, соответствуют бифуркацион­ ные кривые на рис. 176,. разделяющие соответствующие обла­ сти. Значки + и ++ на рис. 177 соответственно указывают на

Рис. 177

принадлежность к бифуркационным кривым Л+ н А++. Предель­ ный цикл на рис. 177,1—3+, +> трехкратный.

§8 . Синхронный генератор с асинхронной характеристикой.

Рассматривается система [40]

Будем предполагать к 5* 0 и К > 0 (другие возможные случаи сводятся к рассматриваемому заменой переменных).

нием предельных циклов из сгущения траекторий, из сепарат­ рисы особой точки седло-узел и из бесконечности. Все эти би­ фуркации могут быть прослежены для системы (1). Знание всех

такой сеткой кривых, изменение параметров вдоль которых осу­ ществляет монотонный поворот поля системы (1). Разность по­

Ai —do + (Яоdo —Aidi)cos ср.

Монотонный поворот будет осуществляться, если измененные значения параметров Ai и d\ выбирать так, чтобы выполнялось условие

Яоdo —X\d\ == 0.

Это условие будет выполнено, если Я и d изменять вдоль /г-кривых:

Яd = k, к = const, —«>< & < + 0 0 .

Семейство /е-кривых покрывает всю плоскость (Я, d), за ис­ ключением самих осей Я и d. На прямой у = 0 контакт ложный. Кривые исходной и измененной систем пересекаются с касани­ ем по оси ф. Разность полей направлений при изменении па­ раметра к будет (Ki —Ко)1у- При изменении к поле направлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах поворачивается в проти­ воположных направлениях. Прямая у = 0 в этом случае будет контактной кривой.

2. Рождение цикла из фокуса. Состояние равновесия Qi будет сложным фокусом для поверхности

из него появляется единственный устойчивый предельный цикл (первая ляпуновская величина для точек поверхности щ = О имеет значение аз = —[яЯ( 1 —к2 ) - | / 4 ] / 8 < 0 )-

то на верхнем полуцилиндре есть единственный устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, а если выполняется условие

то на нижнем полуцилиндре есть единственный устойчивый пре­

ласть плоскости параметров, для точек которой в фазовом про­

и состояние равновесия Оi будет неустойчивым. Качественная

изоклины горизонтальных наклонов г/та1< (1 + ч)/[(1 — !<2|)А], то, очевидно, предельные циклы, охватывающие цилиндр, не могут существовать. Такие значения параметров можно выбрать

ствует направлению, по которому ©-сепаратриса входит в седло. Пусть на некоторой прямой ф = фо отмечена координата г)о точ­ ки пересечения прямой с ©-сепаратрисой седла. Если с возра­ станием X двигаться в пространстве параметров вдоль А-крпвых, то векторное поле будет монотонно поворачиваться по часовой стрелке и координата цо на прямой ф = фо будет расти, а мак­ симум изоклины убывать. Поэтому всегда можно выбрать X и d так, чтобы неравенство (1 + ^)/А.(1 —Idl) < Цо выполнялось.

Для указанных значений параметров предельные циклы не могут существовать также и на нижнем полуцилиндре, так как если там существует замкнутый контур, составленный из траек­

§ 8] СИНХРОННЫЙ ГЕНЕРАТОР 349

торий системы (1 ), то должно быть

Ч

____ ^

р

i

1

1 1-2 2-3

шли узел. Предельные циклы вокруг состояния равновесия не

могут существовать при Idl < 1, так как здесь Pv + Qy = ■*= — А( 1 — d cos ф) Ф 0. Качественная картина фазового простран­ ства для достаточно больших к на любой кривой kd = к представ­ лена на рис. 178, 6.

4.Качественные картины фазового пространства и возмож­

ные бифуркации при малых у. Рассмотрим случай d > 0. Условие

ласть плоскости параметров, соответствующую качественной

>(3/4) яч существуют ft-кривые, принадлежащие своей частью к области, выделяемой требованием малости величин у, к и kd и соединяющие области пространства параметров, соответствующие структурам разбиения, представленным на рис. 178,2 и 178,6.

Нетрудно обнаружить, проследив за появлением предельных циклов из бесконечности при малых у и к, что любая ft-кривая, не принадлежащая к области kd < е, также соединяет области пространства параметров, соответствующие структурам фазового пространства на рис. 178,1 ,6 (приложение I). Изменение па­ раметров к и d вдоль ft-кривых осуществляет монотонный пово­ рот векторного поля.

Проследим за поведением при этом сепаратрис седла. Для структуры разбиения фазового пространства, представленной на рис. 178, 2, на прямой <р = фо, проходящей через точку 0\, отме­ тим ближайшие к седлу точки пересечения с а- и ю-сепаратри-

лений поворачивается по часовой стрел­ ке и точки Р\ и Р4 монотонно подни­ маются, а точки Р2, Рз и Рь монотонно

рис. 178, 2, к структуре, представленной на рис. 178, 6, и при этом разности координат уъ~У\ и уь — ул меняют знак (индексы при координатах соответствуют индексам точек).

Множества точек на плоскости (к, d), для которых осуществ­ ляются совпадения точек Р2 и Pi (существует петля сепаратри­ сы снизу), Рз и Pi (существует петля вокруг точки 0 {) или Р 4