книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

При дальнейшем возрастании ц векторное поле на двойном цик­ ле поворачивается по часовой стрелке н двой ной предельный цикл исчезает. Негрубая структура разбиения на траектории, соответ­ ствующая значению ц = ц*, изображена на рис. 169, 7—8 . Для всех ц > ц* осуществляется разбиение на траектории, представ­ ленное на рис. 169, 8.

4.Таким же образом прослеживаются бифуркации в зависи­

мости от ц при любых фиксированных А, > Т3/2. Чпсло воз­ можных бифуркаций здесь уменьшается, но появляются две новые.

1) При убывании ц от значений, соответствующих разбиению, представленному на рис. 168, V (для участка граничной кривой выше точки D на рис. 167), исчезает особая точка седло-узел и из а-сепаратрпсы седло-узла появляется устойчивый предельный цикл (при обратном изменении ц устойчивый предельный цикл превращается в а-сепаратрпсу седло-узла). ___

2) Так как крпвая 0 4 = 0 располагается выше прямой А > У3/2 п образование петли сепаратрисы для некоторых значений А мо­ жет осуществиться при 04 < 0 , то для этих значений А переход от разбиения типа 169,6 к типу 169,8 при возрастании р, будет происходить путем стягивания устойчивого предельного цикла к петле сепаратрисы, охватывающей цилиндр. При этом возни­

седла О4 образуют петлю, охватывающую цилиндр, но нет устой­

структура 8 рис. 169. Смена структур будет происходить при из­ менении ц в интервале между кривой 1 + р2 —А2 = 0 п прямой

1 + А —р = О (УА2^ < р < А + 1 ) .

Множество точек, соответствующее негрубым бифуркацион­ ным картинам 4—5, 5—6 , 6 —7 и 6 — 8 на рис. 169, образует не­ грубые кривые {4.5}, {5.6}, {6.7} и {6 ,8 } 4) в плоскостп (р, А) (см. рис. 167). Эти кривые имеют положительный наклон. Последнее следует из того, что при возрастании параметров р п А в отдель­ ности векторное поле на сепаратрисах, идущих из седла в седло п не пересекающих контактную кривую (изоклину вертикальных наклонов), поворачивается в противоположных направлениях. Только при одновременном возрастании пли убывании р и А по­ ворот векторного поля вдоль сепаратрис, идущих из седла в сед­ ло, может быть не монотонным п не разрушающим сепаратрисы.

<) Где символ {к. 1} означает кривую, разделяющую области, обозначен­ ные соответственно числам к а I.

2 1 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

322 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

Бифуркационные кривые {4.5} и {5.6} начинаются и заканчива­

Кривая {5.6} заканчивается в точке С (см. рис. 167). В точке С, как и на кривой {5.6}, сепаратриса седла 0 1 идет в седло 0 4 (см. рис. 168, I I I —IV, 169, 5—6). Ни для одной точки любой пря­ мой к = const, проходящей выше точки С, это уже невозможно.

Кривая {6.7} начинается на прямой X = 1 и заканчивается на кривой о = 0. Дальше она превращается в кривую {6.8}, заканчи­

лю. Ни для одной точки любой прямой к = const, проходящей вы­ ше точки D, это невозможно.

ния на траектории высокой степени негрубости, представленная на рис. 169,4—5—6—7. Точка (я/2, 0 )— сложная особая точка. Только от структуры 4—5—6—7 с петлей сепаратрисы можно сколь угодно малым изменением параметров перейти к негрубым

ственная точка со структурой, содержащей петлю сепаратрисы,— точка пересечения кривых {4.5}, {5.6} и {£.7}.

Множество точек, соответствующих бифуркационной карти­ не 169,7—8 с двойным полуустойчивым предельным циклом, на рис. 167 образует непрерывную кривую {7.5} с положительным наклоном. Кривая {7.5} начинается на прямой к = 1 и заканчи­ вается в точке пересечения кривых {6.7} и (5.51, служащих про­

расположения бифуркационных кривых в плоскости (р, к) для рассматриваемого случая р > 0 , к S* 1 .

Для качественных картин в различных областях на рис. 167 остается неустраненной логическая возможность того, что число предельных циклов в действительности окажется большим на четное число циклов. Используя конкретные особенности уравне­ ния (1 ), для некоторых кусков плоскости параметров возможно устранить эту неопределенность.

а) Если к > Зр, то система (1) имеет единственный предель­ ный цикл, охватывающий цилиндр.

Введем в правые части системы (1) множитель р- 1 / 2 (этим лишь вводится вместо t другой параметр, другое «время»). Ха-

щ е с т в л я е т с я д л я з н а ч е н и й п а р а м ет р о в , п р и к о т о р ы х в ы п о л н я е т с я н е р а в е н ­

к а с а т е л ь н о й . Р а с с м о т р и м т оч к и п е р е с е ч е н и я и зо к л и н ы н а п р а в л е н и я х 2 и к а ­ с а т ел ь н о й . И с к л ю ч а я р и з а м е н я я р 0 и х 2 и х зн а ч е н и я м и , п р и х о д и м к у р а в ­ н ен и ю

в о д н ы е . Р а зн о с т ь зн а ч е н и й в т о р ы х п р о и зв о д н ы х с о х р а н я е т зн а к п р и д о с т а ­ т о ч н о б о л ь ш и х X н а в с е м и н т е р в а л е 0 ^ ф ^ ф0, т. е. и зо к л и н а и к а с а т е л ь ­ н а я н е п е р е с е к а ю т с я . И зо к л и н а л е ж и т н и ж е к а с а т е л ь н о й (в е л и ч и н а р* —

с к а с а т е л ь н о й и р а с п о л а г а е т с я в ы ш е к а с а т е л ь н о й н а в с е м и н т е р в а л е 0 ^

^ф ^ фо.

описывает динамику химического реактора полного перемеши­

вания.

По смыслу задачи х > 0, у > 0, ц > 1 и все остальные пара­ метры п, X, хо, уо — положительные (не обязательно целые).

1. Число н характер состояний равновесия. В рассматривае­ мой'задаче Р(х, у) и Q(x, у ) — трансцендентные функции, поэто­

3 2 6 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

более чем в трех точках. Система имеет, следовательно, не бо­ лее трех состояний равновесия. Рассмотрим, какие из состояний

нии равновесия, имеющем абсциссу х, противоположен знаку

Ее вид установлен в приложении I. Она пересекает ось х при некотором значении x i > a > 0 . Будем обозначать через А* часть кривой (7), лежащую над осью х (только эта часть рас­ сматривается при сделанных предположениях относительно воз­ можных значений переменных и параметров). На рис. 170 изо­ бражено семейство кривых (3) (тонкими линиями) и кривая А*

(сплошной толстой линией). Из выражения для F( X, XQ) следует, что большему значению хо соответствует ниже находящаяся кривая (3). Если XQ мало, то кривая (3) расположена высоко, не пересекает кривую А* и не имеет экстремумов. При больших хо кривая (3) пересекает линию Д* и имеет в точках пересече­ ния максимум и минимум. Нетрудно видеть, что для точек под

Fx (х , х0) отрицателен, состояния равновесия — узлы или фокусы. В точках линии Д*, в которых Fx (х, х0)= 0, соответствующие состояния равновесия кратные, причем в точках линии Д*, не являющихся максимумом этой линии,— двукратные, а в точке,

являющейся максимумом,— трехкратное.

Перейдем к выяснению устойчивости узлов и фокусов и уста­ новлению знака седловой величины в седле. Для этого выразим для каждого состояния равновесия

Нетрудно установить, что эта кривая на плоскости (ж, уо) имеет вид, представленный на рис. 170 (см. приложение II). Часть кривой, лежащей над осью х, будем обозначать через а*.

328 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

Очевидно, если точка, соответствующая состоянию равнове­ сия, расположена под кривой а*, то для этого состояния равно­

параметра р, то взаимное расположение этих кривых может быть различным.

На рис. 170 представлены различные возмояшые - случаи, ко­ торые мы обсудим ниже.

До сих пор мы имели дело с вспомогательной плоскостью (х, у0). Однако нашей задачей является также установление разбиения пространства параметров на области с различной ка­ чественной структурой. В рассматриваемой задаче естественно

получить соотношения между параметрами хо, уо- Однако в рас­ сматриваемой задаче это сложно, а между тем параметрические уравнения этой границы могут быть получены просто.

Выражение для уо нами уже найдено (см. (7)), выражение для Яо мы получим, находя Хо из соотношения

Fx {х, х0) = А [х, ф(я) = 0 .

Таким образом, параметрические уравнения границы между областью одного и трех состояний равновесия даются уравне­ ниями

есть возрастающая функция х\ поэтому касательная вдоль ли­ нии (1 1 ) вращается монотонно.

Построенную по этим сведениям кривую на плоскости (яо, уо) будем обозначать через А (рис. 171). Она не меняется при из­ менении р. (этот параметр в уравнения (11) не входит). Точка возврата М соответствует наличию у системы (1) тройного со­ стояния равновесия; все остальные точки кривой А — наличию

двукратного состояния равновесия типа седло-узла (за исклю­ чением одной точки, о которой будет сказано ниже). В заштри­ хованной области система имеет три состояния равновесия, в незаштрихованной — одно.

Найдем теперь на плоскости (хо, уо) бифуркационную грани­ цу, соответствующую наличию состояния равновесия, для кото­ рого о = 0. Для этого нужно исключить х жу жз уравнений

Р (х , у) = О, Q (х, у) = 0, а = Р'х (х, у) + <?' (х, у) = 0.

Так же, как и в случае кривой А*, здесь проще найти из этих уравнений параметрическое уравнение линии, которую будем обозначать через о. Мы получаем

Первое из этих выражений, очевидно, есть уравнение кривой а* (на плоскости (х, уо)). Функция g(x) имеет, как нетрудно пока­ зать, только один экстремум — минимум (см. приложение III).

Вдальнейшем мы будем сопоставлять поведение кривых А*

ио* на плоскости ( х , уо) с поведением кривых А и о на пло­ скости (Хо, уо).

Нетрудно видеть, что кривые А* и о* имеют общую точку при х = 1. Кроме того, мы получаем в уравнениях (7) и (9) одинаковые значения для х и уо при значении

re(|i —1 )