книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

На основании изложенного можно установить характер кривой 5 и ее рас­ положение относительно кривой ДгзРассмотрим некоторые основные случаи.

выше асимптоты (так как выражение (16) для т отрицательно). Кроме то­ го, mminф > m (m < 0), откуда фДтошт ф) = 1 —р + (1 — р + Gp) mmin ф >

>0 , и,, следовательно,

В силу (16) у кривой S существует единственная общая точка с асимпто­ той, и при т 0 точки кривой S лежат выше асимптоты, а при т —о° — ниже. Но тогда, принимая во внимание (17), нетрудно видеть, что кривая S непременно должна иметь не менее одной точки самопересечения. Можно показать, что эта точка единственная. Действительно, для значений т' и т", соответствующих точке самопересечения (т' Ф т"),

Ф(т') = ф (т"), Ч»(т ') = Ф (»»*).

Подставляя сюда выражения для ф(т) и ^ ( т ) , после элементарных преобразований и сокращения на т' — т" (m' ф т") получаем

Вычитая из (19) домноженное на р (18) и находя из получившегося выра­ жения и из (18) т'т" и т' + т", получаем

Отсюда следует, что для существования точки самопересечения необхо­ димо, чтобы т' и т" были положительными корнями квадратного уравнения

Очевидно, не может существовать более двух значений, удовлетворяющих (20), и следовательно, более одной точки самопересечения (см. рис, 164).

ются точки Оз и 0 4 , а на прямой Я = 1 — точки 0 4 и 0 2. Выше кривой 1 + р2 — Я2 = 0 система (1) имеет два состояния равнове­ сия: 01 — седло и 02 — неустойчивый узел. Ниже кривой — четы­ ре особых точки: 0i, 0 2 , Оз — узел или фокус, 0 4 — седло.

Слияние особых точек — простейшая бифуркация системы

(1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчи­ вости состояния равновесия Оз, с бифуркациями сепаратрис (се­ паратрисы, идущие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгущения тра­ екторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти би­

быть подставлены координаты точки Оз. Кривая Оз = 0 представ­ ляется уравнением

Я ( 1 - 2ц2) = ЗрУ 1 + р2 — Я2.

Она начинается в точке (р = У1/5, Я = 1) и заканчивается на

кривой 1 + р2 — Я2 = 0, которой она касается в точке В (У1/2, У3/2). При переходе через кривую аз = 0 в направлении возрастания р фокус из неустойчивого становится устойчивым, и из него появ-

^ляется неустойчивый пре­ дельный цикл. Первая ляпуновская величина для точек кривой аз = 0 имеет значение

в фазовом пространстве сливаются три особые точки, и точки В (рис. 167)— вырожденного седло-узла. Качественная картина раз­ биения фазового пространства на траектории будет определяться наличием или отсутствием предельных циклов, охватывающих фа­ зовый цилиндр, и расположением сепаратрис, ограничивающих узловую область особой точки седло-узел. На рис. 168 изображе­

ны структуры, осуществляющиеся вдоль кривой при возраста­ нии параметра д.

Для точки А (0, 1) пространства параметров X, д (см. рис. 167) картина разбиения фазового цилиндра на траектории представле­ на на рис. 168,7 (см. пример 1 §3 гл. 14). Предельных циклов нет (это вытекает из расположения контактной кривой рассматривае­ мой системы и консервативной системы р = X — 0) (см. гл. 6, § 5). Есть только две особые точки: седло 0\ и сложная особая точка О234 (л/2, 0). На куске АВ кривой будет осуществляться структу­ ра разбиения, представленная на рис. 168, 77. При переходе от точки А к точкам куска АВ осуществляются две бифуркации: 1) от сложной особой точки отделяется особая точка типа седлоузла с неустойчивой узловой областью, так как на куске АВ

будет п34 = (Т>ф 4- (?р)з4 = (1 — 2р2)/Х>0; 2) из бесконечности

появляется устойчивый предельный цикл, так как в уравнении по­ является член —рр, и бесконечность становится неустойчивой. В точке В происходит бифуркация: точка становится вырожден­ ной, и исчезает узловая область. Внешним признаком этого слу­ жит обращение в нуль величины <734. При переходе через точ­ ку В вдоль кривой в направлении возрастающих р особая точка седло-узел с неустойчивой узловой областью превращается в сед­ ло-узел с устойчивой узловой областью, так как величина <7з4 меняет знак и становится отрицательной. Качественная структу­ ра фазового пространства, представленная па рис. 168,777, будет существовать на некотором куске кривой, примыкающем к точ­

структуры разбиения на траектории при больших р и X. Можно показать, что для больших р и X качественная структура будет такая, как на рис. 168, V. ы-сепаратряса седло-увла имеет всюду отрицательный наклон. Предельных циклов нет (см. приложе­ ние I). На рис. 168 представлены качественные структуры, по­ следовательно переходящие одна в другую при возрастании пара­ метров вдоль рассматриваемой кривой. Сепаратриса седло-узла при этом проходит через негрубые расположения, представленные на рис. 168. На рис. 168,777—7F ы-сепаратриса седло-узла идет в седло 0\. На рис. 168,7F—F совпадают а- и ю-сепаратрисы сед­ ло-узла, образуя замкнутый контур, охватывающий цилиндр. При возникновении петли к ней стягивается устойчивый предельный цикл (так как для седло-узла на куске кривой справа от точки В будет аз4 < 0 (см. гл. 10)).

3. Проследим за сменой качественных структур и бифуркация­ ми при возрастании д вдоль прямой, соответствующей некоторо­

му фиксированному значению X из интервала i < Х< УЗ/2 (пря­ мая располагается ниже точки В). Последовательность структур

Рис. 168

разбиения фазового пространства на траектории представлена на рис. 169,1.

структура фазового пространства в целом изменится. В уравнении появится член —рр, и бесконечность станет неустойчивой. Из бес­ конечности появится устойчивый предельный цикл. Эта структу­ ра изображена на рис. 169, 2.

2) При возрастании параметра р точка в пространстве пара­ метров попадает на кривую 1 + р2 — А,2 = 0, и из сгущения траек­ торий возникает сложная особая точка седло-узел с неустойчивой узловой областью, изображенная на рис. 169, 2—5. При дальней­ шем возрастании р сложная особая точка распадается на две про­ стые: седло и неустойчивый узел (рис. 169,5).

Следующая бифуркация прослеживается при переходе точки через кривую Оз = 0; при этом из состояния равновесия при воз­ растании р появляется неустойчивый предельный цикл. Бифур­ кационному значению параметра р соответствует разбиение на

подвижной изоклине вертикальных наклонов:

<5фз/3р = —рз (1 + Р2 —А,2)_1/2 < 0, <Эф4/<Эр = р4(1 + р2 —А,2)_1/2 > 0,

а векторное поле по обе стороны изоклины поворачивается в про­ тивоположных направлениях: сверху — по часовой стрелке, сни­ зу — против. Точки Рц Рз и Р 4 лежат на сепаратрисах, не пересе­ кающих изоклину вертикальных наклонов, и поэтому на прямой

маться, а точки Рз и Ра — монотонно опускаться.

Единственно возможная последовательность бифуркаций при возрастании ц такая, при которой слияние точек Pi и Рз предше­ ствует слиянию Р 1 , Рз и Р 1 , Ра. Очевидно также, что если послед­ няя из перечисленных бифуркаций осуществляется, то осуществ­ ляются и остальные. Осуществимость последней бифуркации

меньше максимума изоклины вертикальных наклонов, равного единице) ю-сепаратрнса седла будет иметь всюду отрицатель­ ный наклон, и, следовательно, точка Р\ будет лежать заведомо выше точки Р4. Очевидно, что в этом случае и предельные циклы, охватывающие фазовый цилиндр, не могут существовать. Осу­ ществляется структура разбиения фазового цилиндра на траек­ тории, представленная на рис. 169,8. Слиянию точек Р ь Рз и Pi, Ра соответствуют расположения сепаратрис, представленные на рис. 169, 5—6 и 169, 6—7. Поведение сепаратрис с точностью до четного числа предельных циклов определяет здесь качествен­ ную структуру. Значения параметра ц, соответствующие разбие­ ниям рис. 169,5—6 и рис. 169,5—7, будут бифуркационными. При изменении ц от этих бифуркационных значений в направ­ лении возрастания или убывания векторное поле на сепаратрисах поворачивается соответственно по или против часовой стрелки, и сепаратрисы, идущие из седла в седло, разрушаются. Соответ­ ствующие грубые структуры изображены на рис. 169,5—169,7.

Заметим, что хотя расположение сепаратрис на рис. 169, 7 и определяет качественную структуру лишь с точностью до чет­ ного числа предельных циклов, можно утверждать, что здесь од­ новременно должны существовать и устойчивый, и неустойчивый предельные циклы, охватывающие цилиндр. Неустойчивый пре­ дельный цикл появляется из петли сепаратрисы, охватывающей

цилиндр, так как седловая величина 0 4 = /*,, + Qp положительна, и при разрушении петли к ней может стянуться или из нее по­

целиком расположена в полосе У3/2 < к < 3/2, т. е. вне рассмат­ риваемого интервала изменения к).

При дальнейшем увеличении параметра ц векторное поле на каждом из предельных циклов поворачивается по часовой стрелке; при этом устойчивый предельный цикл опускается, неустойчи­ вый — поднимается. При любом фиксированном к в рассматривае­ мом интервале существует единственное бифуркационное значение ц*, при котором устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются, образуя двойной полуустойчивый цикл. Это — по­ следняя бифуркация, возможная при возрастании параметра ц.