книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

^ О >т =^^ -а,О <а <а 0^Ь<0!(Ъ/к,п)еЪо

Рис. 156Г

вокруг фокусов 3 ж1. При этом топологическая структура рисун­ ка 156Б, а переходит в структуру, изображенную на рис. 156Г, а, структура рис. 156Б, б — в структуру рис. 156Г, б.

такие малые добавки, разрушающие условия А, что измененная система имеет четыре предельных цикла (три вокруг начала ко­ ординат) при наличии на экваторе сферы Пуанкаре только одной особой точки типа «седло».

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

На рис. 156В отмечены штриховкой области, вблизи которых существуют квадратичные системы с четырьмя предельными циклами.

§ 2. Электрическая цепь с туннельным диодом. Рассматри­

min ф' (х ) > — 1 возможными бифуркациями являются только по­ явление и исчезновение состояний равновесия, так как на всей

плоскости Рх + Qy ф 0.

1. Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состоя­ ния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие ф'(ж)> —1, и не­ устойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло.

Дискриминантная кривая в плоскости (X, о), отделяющая об­ ласть трех состояний равновесия от области одного состояния равно­ весия, получается из условия соприкосновения прямой у = а — Хх и кривой у = (р(х), и в параметрическом виде дается уравнениями

= 0, соответствует точка возврата дискриминантной кривой. Дис­ криминантная кривая располагается слева от точки возврата и обращена выпуклостью в сторону области трех состояний равно­ весия (вторая производная имеет значение iPa/dX2 = [%а(Ы(За) —

— жо)]-1 и меняет знак, когда параметр хо переходит через значе­ ние, соответствующее точке возврата).

Исключая из (3) параметр хо, уравнение дискриминантной кривой получим в виде

Д ^ 27а2а2- 1 8 аЬ(Х+с) а + 4Ь3о + 4а (X + с)3 + Ъ2 (X + с) = 0.

Точкам дискриминантной кривой соответствуют два состояния равновесия системы (1): фокус (узел) и сложное состояние рав­ новесия седло-узел. Точке возврата соответствует слияние трех состояний равновесия.

Система (1) будет иметь сложный фокус (Рх + Qy = О) на прямых, выходящих по касательной из точек дискриминантной кривой при X = 1 в область X > 1.

Для координат состояний равновесия имеем уравнение

Условие Рх + Qy = 0 дает

3ах2— 2Ьх + с + 1 = 0,

В плоскости параметров X, а прямые (7) и (8) касаются верхней и нижней ветвей дискриминантной кривой при %= 1, пе­ ресекаются в точке

Координаты х\ и хг могут соответствовать как фокусу, так и сед­ лу, и поэтому при переходе через прямые (7) и (8) может ме­

нять знак или фокусная, или седловая величины Рх + Qy. Перенесем начало координат в состояние равновесия (хо, Уо),

где XQ — одно из чисел х\ или хг, определяемых выражением (6).

Состоянием равновесия в начале координат будет сложный фокус, если X > 1, или седло, если X < 1.

Первая ляпуновская величина для системы (10) имеет вид

§2] ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ТУННЕЛЬНЫМ ДИОДОМ 295

Для уравнений (13) величина as может быть подсчитана по го­ товой формуле (гл. 11). Получаем

Отметим, что в выражения (11) и (14) для аз и as не входит величина хо и, следовательно, полученные выражения относятся как к левому (a;i), так и к право­

му (х2) сложным фокусам для

раллельными координатным осям,

параллельные оси у, не будет пересекать, а каждую из других сторон пересечет в одной точке. Все траектории системы (1) бу­ дут с возрастанием t входить внутрь такого прямоугольника. Бес­ конечность при любых значениях параметров системы будет не­ устойчивой (рис. 157).

3. Качественная структура фазового пространства и про­

фазовые портреты для значений Oi и 0 2 будут симметричны от­ носительно точки перегиба характеристики.

При изучении пространства параметров можно поэтому огра­

§ 2] ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ТУННЕЛЬНЫМ ДИОДОМ 297

значений параметров система (1) имеет одно состояние равнове­ сия. При уменьшении Я от значения Я = Яз меняет знак аз, сложный фокус меняет устойчивость (оставаясь сложным) н от него рождается устойчивый предельный цикл. При дальнейшем уменьшении Я на интервале Я1 < Я < Яз устойчивый

зовой плоскости возникает седло-узел с неустойчивой узловой

областью (Рх + Qy = — ф' (х0) — 1 в седло-узле) и, как можно убедиться, при любых характеристиках, соответствующих опре­ деленному выбору коэффициентов ф (х), именно внутри предель­ ного цикла.

Если для пскоторых аппроксимаций седло-узел возникает внутри цикла, а для других вне его, то по непрерывности долж­ на существовать и такая характеристика, для которой седло-узел возникает на предельном цикле. Но седло-узел с неустойчивой уз­ ловой областью не может возникнуть на устойчивом предельном цикле (гл. 11).

Таким образом, достаточно знать взаимное расположение цик­ ла и седло-узла для какой-либо одной конкретной аппроксимации. Для системы (1) с аппроксимацией ф(х) = х3/3 — Зх2 + 1х и пара­ метрами о = 49/7, Я = 7/4 (соответствующими состояниям равно­ весия сложный фокус и седло-узел) численным методом установ­ лено, что цикл охватывает седло-узел. Следовательно, это имеет место для любых кубических аппроксимаций.

При дальнейшем продвижении вдоль прямой L\ внутрь обла­ сти, ограниченной дискриминантной кривой, седло-узел распада­ ется на седло и неустойчивый узел, который затем превращается в фокус. Точке пересечения Я = Яо прямой Ь\ = 0 с линией сим­ метричных структур L = 0 соответствует фазовое пространство, содержащее два сложных фокуса, расположенных симметрично относительно седла (сс-сепаратрисы седла идут к устойчивому циклу, охватывающему все три состояния равновесия, ю-сепарат- рисы скручиваются с неустойчивых сложных фокусов).

З а м е ч а н и е . Качественная структура разбиения фазового пространства на траектории по использованной информации опи­ сывается лишь с точностью до дополнительного четного числа предельных циклов, возможно, возникших из сгущения траекто­ рий. Такая неполнота и в дальнейшем не может быть устранена.

3.3. Структура разбиения фазового пространства и бифурка­ ции при изменении параметров вдоль линии симметричных струк­ тур. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фа­

298 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

устойчивый предельный цикл. Убыванию X вдоль прямой L = О соответствует поворот прямой у = 0 —Хх вокруг состояния равно­ весия в точке перегиба характеристики у = ц>(х). При X = Xi пря­ мая будет касаться характеристики в точке перегиба (L = 0 пе­ ресекает дискриминантную кривую в точке возврата) и возник­ нет сложное состояние равновесия, распадающееся при убывании

Х — Хо из них рождаются неустойчивые предельные циклы (пер­ вая фокусная величина аз положительна). Возникает структура фазового пространства с тремя предельными циклами, а-сепарат- рисы седла идут к устойчивому циклу, охватывающему все три состояния равновесия, со-сепаратрисы скручиваются с неустойчи­ вых циклов, охватывающих устойчивые фокусы.

При дальнейшем убывании X на интервале 0 ^ Хо < Хо смены устойчивости состояний равновесия не происходит, но при X = О циклов уже нет (при X = 0 существует интегральная прямая у = о, проходящая через все состояния равновесия). Предельные циклы могут исчезнуть, только превратившись в петли сепарат­ рис или слившись с циклами, вновь возникшими из петель сепа­ ратрис. Существенно, что циклы вокруг фокусов и цикл, охваты­ вающий все три состояния равновесия, имеют разную устойчи­ вость. В соответствии со знаком седловой величины (гл. 11) толь­

но рассматривать как одну вырожденную большую петлю, от ко­ торой при ее разрушении с убыванием X возникает неустойчивый же предельный цикл, охватывающий три состояния равновесия. При некотором Х = Х* < Х+ предельные циклы, охватывающие три состояния равновесия, сливаются и при убывании X исчезают.

3.4. Структуры разбиения фазового пространства и бифурка­ ции при изменении параметров вдоль дискриминантной кривой.

Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль нижней ветви дискриминантной кривой, на­ чиная от точки возврата (А, = Х2) . На интервале A,i < X < Х%будет существовать структура с неустойчивым фокусом и седло-узлом с неустойчивой узловой областью внутри устойчивого предель­

ется неустойчивый предельный цикл (рис. 159, 9). Чтобы просле­ дить за дальнейшими бифуркациями при убывании X до нуля, следует прежде всего выяснить структуру при X => 0. Она легко определяется, так как при X = 0 существует интегральная пря-

мая у = а, проходящая через оба состояния равновесия (устой­ чивый узел и седло-узел с устойчивой узловой областью). Пре­ дельных циклов нет. Качественная структура эквивалентна изоб­ раженной на рис. 159,1 (узловая область покрыта штриховкой).

дается (характеристическое уравнение имеет два нулевых корня)

а- и одну со-сеператрису). Структура с сохранением типа состоя­ ний равновесия, как на рис. 159,1, осуществляется на интервале 0 * £ Я < 1.

Для прослеживания бифуркаций вдоль дискриминантной кри­ вой существенным является установление качественной структу­ ры при к = 1. Как будет видно из дальнейшего, при возраста­ нии к от нуля необходимо возникает из сгущения траекторий двойной предельный цикл, охватывающий состояния равновесия, однако не существует способов обнаружить точные значения па­ раметров, при которых он возникает. В дальнейшем будем пред­ полагать, что при к = 1 предельных циклов еще нет и осуществ­ ляется структура рис. 159, 2 (изменения в результатах, отвечаю­ щие предположению о существовании предельных циклов уже при к = 1, будут в дальнейшем указаны)1).

При возрастании к от значения к = 1 возникает структура, ка­ чественно эквивалентная представленной на рис. 159,5. Возника­ ет неустойчивая узловая область седло-узла (обе а-сепаратрисы выходят по направлению к = — 1, ©-сепаратриса входит по на­ правлению х = — к). Узел становится фокусом при [1 — (p'(xi)]2—

— 4Я < 0, где ср'{х\) = (11а) (62 — Зас — 4ак).

Сопоставим теперь расположение а- и ©-сепаратрис для струк­ тур на рис. 159, 9 и 159, 5. Отметим точки пересечения с а- и ©- сепаратрисами на отрезке прямой х = х\ выше фокуса (ближай­ шие по ходу сепаратрис от седло-узла). Для структуры на рис. 159,9 след ©-сепаратрисы на прямой х = х\ расположен ни­ же следов а-сепаратрис. Для структуры на рис. 159,5, наоборо-

между следами осг и аг-сепаратрис будет существовать замкну­ тый контур, образованный co-сепаратрисой седло-узла (рис. 159,7). При совпадении следов со- и аг-сепаратрис при Я = Я(1) < Я(2) воз­ никает петля сепаратрисы (рис. 159,5), от которой при ее разру­ шении с уменьшением к рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий оба состояния равновесия, и возникает

’) Проверка наличия или отсутствия предельных циклов для конкрет­ ной характеристики при к = 1 может быть проведена численным счетом, например, траектории, проходящей через точку (хо, <р(хо)) (ф'(яо) = —1 ). Предельный цикл, если он существует, находится в пределах прямоуголь­ ника с указанными в п. 3.2 свойствами,