книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

траектории) системы (А).

Такой участок траектории называют отрезком скользящего движения.

§ 2. Возможные типы полутраекторий сшитых систем. При дальнейшем описании свойств сшитых систем рассмотрим в пер­ вую очередь, так же как и в случае систем с аналитическими правыми частями, каков возможный характер отдельной траекто­ рии или полутраекторий такой системы.

которой принадлежит конец L f — точка MQ. Тогда L f определе­ на для всех t > t0, и ее возможный характер такой же, как и у

линии сшивания I, являющуюся граничной для еще одной ча­ стичной области Gk (А Ф i) .

не касается дуги I, и при возрастании t уходит от граничной ду­ ги I внутрь области Gh. Тогда могут быть следующие случаи:

б2) точка М считается точкой траектории, совпадающей с граничной кривой I (рис. 186, б);

щих реальным задачам: полутраектория доопределяется всегда однозначно при возрастании t. Однако в сторону убывания t траектория, вообще говоря, не определяется (и однозначность доопределения при убывании теряется).

§ 3. Особые траектории сшитых систем. Рассмотрим теперь вопрос об особых траекториях сшитых динамических систем. Очевидно, все особые траектории каждой из частичных систем (А;), целиком лежащие в этих областях (состояние равновесия, предельные циклы сепаратрисы состояний равновесия, лежащие в Gi), являются особыми траекториями сшитой динамической системы. Кроме того, рассмотрим другие особые траектории склеенной системы.

а) Состояния равновесия О какой-либо из систем (А,), опре­ деленной в области Gi, лежащие на линии склейки I, граничной для Gi. При этом здесь возможны следующие два случая:

ai) точка О является состоянием равновесия как для системы (А() так и для системы (Aft) (I является общей границей для областей G, и Gh, в которых соответственно определены системы (А,) и (А*)); в этом случае мы получаем склеенное состояние равновесия; простейшие примеры — склеенный фокус (рис. 188)

мящиеся к О и в области Gt и в области Gk стремятся к О при f-*-±oo);

аг) точка О является состоянием равновесия только для од­ ной из систем (Ai) и (Aft), например для системы (Аг); тогда к такому состоянию равновесия траектории в области Gh, для которой дуга I также является граничной, могут стремиться («втыкаться») при конечных значениях t.

б) Точки дуги сшивания I, являющиеся точками стыка тра­ екторий двух систем (А,- и (А*) (определенных в областях G(

рассмотрен ряд задач, в которых есть сшитые предельные циклы указанных типов. Эти задачи рассмотрены путем построения то­ чечных отображений и при этом в параметрической форме. Отметим, что рассматриваемые при этом диаграммы Ламерея состоят из двух функций соответствия.

г) Если сепаратриса состояния равновесия О пересекает ли­

Сепаратриса, очевидно, является особой траекторией.

д) Пусть траектории систем (Af) и (Ак), определенные в об­

системы (А;) и (Ак) определены в областях, содержащих замы­ кание и Gk, и, следовательно, в некоторой окрестности дуги I)

Рис. 192

и в силу доопределения на линии сшивания I эта точка считает­ ся неподвижной. Тогда мы можем получить, например, непо­ движные точки типа:

1)сшитый фокус— квазифокус (рис. 192, а);

2)сшитое седло — квазиседло (рис. 192, б).

Вслучае 2) части траекторий, касающихся дуги I, аналогич­ ны сепаратрисам.

Вокрестности этих сшитых неподвижных точек качественная структура фазового пространства будет тождественна (в обыч­

366 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 17

склейки. Такой траекторией, в частности, является траектория скользящих движений.

Не ставя своей целью (такая цель вообще вряд ли достижи­ ма и имеет смысл) перечислить все возможные случаи доопре­ деления, и в соответствии с этим — все возможные типы особых траекторий, приведем все же чисто геометрические примеры, когда у сшитой системы роль особой траектории играет континуум траек­

тории.

ми, играет роль элемента притяжения (очевидно, такая область мо­ жет также играть роль элемента отталкивания) для других тра­ екторий. На рис. 194 представлены некоторые возможные слу­ чаи, когда континуум траекторий, лежащий между с ш и т ы м и сепаратрисами, вместе с этими граничными сепаратрисами ана­ логичен сепаратрисам аналитического седла. На рис. 194, а—б

представлено образование, аналогичное седлу, сшитое из двух сдвинутых аналитических седел с отрезком притяжения (соот­ ветственно отталкивания) для континуума траекторий (в обоих случаях концы отрезка притяжения (соответственно отталкива­ ния) являются состояниями равновесия одной из сшиваемых

сшитое из обыкновенных траекторий с отрезком неподвижных точек (на концах этого отрезка нет с о с т о я н и й равновесия). На рис. 195 отрезок неподвижных точек вместе с некоторой окрест­ ностью аналогичен седло-узлу. На рис. 196, а — аналог двукрат­ ной точки, для которой о = 0 (см. гл. 4); на рис. 196, б — ана­ лог седло-узла.

Этими примерами мы здесь ограничиваемся.

Если в рассматриваемых дальнейших конкретных примерах сшитых систем встретятся еще другие случаи доопределения

или другие возникающие при сшивании особенности, то мы об­ судим их также при рассмотрении соответствующей конкретной сшитой задачи.

§ 4. Бифуркации в сшитых системах. Метод Понтрягина для сшитых систем. Сшитые динамические системы, возникающие из приложений, всегда содержат параметры, и при изменении пара­ метров качественная структура рассматриваемой системы может, очевидно, изменяться.

Мы рассмотрим простейшие возможные в сшитых системах бифуркации (изменения качественной структуры) при естествен­ ном предположении, что при всех рассматриваемых значениях параметров линии сшивания остаются неизменными.

При этом, очевидно, нам достаточно рассмотреть только би­ фуркации сшитых особых траекторий, так как бифуркации тра­ екторий, целиком лежащих в какой-либо из частных областей Gi — те же, что и описанные в гл. 1 0 , 1 1 .

Естественно выделить и рассмотреть следующие простейшие бифуркации, аналогичные простейшим бифуркациям аналитиче­ ских динамических систем:

ai) бифуркации сшитого состояния равновесия типа фокус (см. рис. 188);

тых илп несшитых), идущих из седлообразной точки покоя в та­ кую же точку покоя или седло (сшитое или несшитое);

быть также некоторые специфические для таких систем бифур­ кации. В силу того, что в сшитых системах аналогами состояний равновесия могут быть дуги притяжения или отталкивания (см. рис. 193, а), состоящие из неподвижных точек, или область, заполненная замкнутыми траекториями, и т. и., то, естественно, встречаются также бифуркации таких образований, аналогичные рождению предельного цикла из фокуса. Однако мы не будем их здесь рассматривать особо, а рассмотрим их, если они встре­ тятся в конкретных примерах. Ниже мы приведем рассмотрение некоторых из перечисленных выше простейших бифуркаций.

1. Сложный сшитый фокус и рождение из него предельного

Приведенная система имеет частный вид, ввиду того, что у обеих систем (I) и (II) второе уравнение одно и то же. Однако такого вида сшитые системы часто встречаются. Так, например, если рассматривается уравнение второго порядка

х + f(x, х) + G(x, х) = О,

в котором f(x, х) и G(x, х) кусочно-непрерывны, то оно приво­ дится к системе вида (I) — (II); одно из уравнений будет одним

замену переменных. Если уравнение дуги сшивания, являющей­ ся аналитической дугой, есть

f(x, z/) = О,

Очевидно, принимая во внимание замены переменных, с по­ мощью которых мы пришли к системам (Bj) и (В2) соответст­ венно, система (Bj) рассматривается при £ < 0, а система (В2) — при £ > 0. При этом

мы получим два уравнения в полярных координатах: одно — для