книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

тивной системы, охватывающей состояние равновесия, определя­ ются как корни уравнения

■фз(^) — О,

-">o

= — 16p{[a — (16/15) (x4 — x2 + 1)] E (я/2, x) + [<i(x2 — 1) —

— (8/15) (3x2 — x4 — 2)] F (1/2, ях)},

биение на области, соответствующие различным возможным распределениям корней уравнений. Каждому распределению бу­ дет соответствовать определенная структура разбиения фазового пространства на траектории. Следующий набор условий (каж­ дому условию соответствует некоторая кривая в плоскости (о, v) )

определяет все возможные в системе (9) бифуркации:

корней. Перечисленному набору условий соответствуют следую­ щие уравнения граничных кривых и бифуркаций:

1.о = 0 — при возрастании о из фокуса появляется неустой­ чивый предельный цикл.

2.о = 1 — при возрастании о устойчивый предельный цикл появляется из +°°, при убывании о неустойчивый предельный цикл появляется из —°°.

4.2яу — 8о + 128/15 = 0 — при убывании о от петли сепарат­ рисы на верхнем полуцилиндре появляется устойчивый предель­ ный цикл.

5.2яу + 8о — 128/15 = 0 — при возрастании о от петли сепа­ ратрисы на нижнем полуцилиндре появляется неустойчивый (если —j5po>0) или при убывании о от петли сепаратрисы

5(1, 0). При возрастании о двойной предельный цикл, возник­ ший на нпжнем полуцилиндре из сгущения траекторий, разделя­

ЧГ2ЧГ1 — 4f2'Ifi = 0 имеет единственный корень h = 0,86, соответ­ ствующий о = 1,09. При возрастании о исчезает двойной пре­ дельный цикл, охватывающий состояние равновесия.

Разбиение пространства параметров о, v на области, ко­ торым соответствуют различные качественные структуры раз­ биения фазового пространства, представлено на рис. 244. Штри­ ховкой отмечены две тонкие области, для точек которых в фа­ зовом пространстве есть два предельных цикла.

характеристиках может быть аналогично проведено методом ма­

вают особую точку, при 0 < h < ° o — фазовый цилиндр. Состояния

границ в пространстве парамет­ ров о и v:

1)о = 0, 2) о = 1,

3)o = (4V2/3) (1 + я/4)-1 =

=1,056...,

4)2nv — (У2/2)я3/2(1 +

+ я/4) о + (4/3) я 3/2= О,

Сохранятся и тонкие области, для точек которых в фазовом пространстве есть два предельных цикла. Их размеры лишь не­ значительно изменятся. На рис. 245, а, д представлены разбие­ ния цилиндрического фазового пространства соответственно для областей 1 и 2 рис. 244.

Для полигональных характеристик (см. рис. 243, б) качественно эквивалентные рис. 245, а, д разбиения фазового пространства будут соответствовать областям пространства параметров, рас­ положенных, как и на рис. 244, в полосе 0 < а < 1. Для обеих рассмотренных аппроксимаций уравнения (9) области 1 и 2 в пространстве параметров будут разделены узкой полосой, для точек которой в фазовом пространстве есть два предельных

цикла, не исчезающей при изменении аппроксимации, несмотря на весьма малую ее ширину (максимальная ширина порядка 0,015 для о = 1 весьма быстро убывает при о -*■ 0, так как би­ фуркационная кривая между точками А и В касается в точке А прямой, ограничивающей снизу область 2). Грубость простран­ ства параметров по отношению к изменению характеристики

Ри с . 245

ссохранением «тонких» элементов не является очевидной и свя­ зана с сохранением для различных аппроксимаций особенностей бифуркаций при возникновении и исчезновении петли сепарат­

рисы. Эти особенности определяются знаком величины Р<р + Оу для седла (см. гл. 10).

Для фиксированного о при возрастании параметра v можно перейти из области 1 в область 2. При этом разбиение фазового пространства, изображенное на рис. 245, а, переходит в разбиение

при монотонном изменении v) а- и а>-сепаратрисы седла на нижнем полуцилиндре должны образовать петлю, охватывающую цилиндр.

От петли, однако, не может появиться неустойчивый пре­ дельный цикл, изображенный на рис. 245,3, так как седловая величина, которая при обеих аппроксимациях (см. рис. 243, а, б)

с точностью до членов порядка ц2 дается выражением Ру + Qy = = — цР<т, в интервале 0 < о < 1 отрицательна ((} > 0), и, сле­ довательно, при возрастании v в петлю сепаратрисы должен превратиться устойчивый предельный цикл. Чтобы это оказа­ лось возможным, необходимо должен возникнуть двойной пре­ дельный цикл при возрастании v до значения v = v o (рис. 245,б).

Высказанные соображения позволяют выделить класс харак­ теристик, для которых области 1 я 2 необходимо разделяются областью с двумя циклами. Все сказанное может быть почти дословно повторено по отношению к условиям существования тонкой полосы с фазовым пространством, содержащим два пре­ дельных цикла (охватывающих состояние равновесия) и разде­ ляющей области 2 я 4.

При изменении характеристик, вообще говоря, будут пере­ мещаться бифуркационные кривые на плоскости параметров и их точки пересечения. Если на плоскости параметров есть точ­ ки, в которых пересекаются более двух бифуркационных кривых (и, следовательно, смыкаются более четырех областей), то окре­ стность таких точек при изменении характеристик может изме­ нить качественную структуру разбиения плоскости параметров при соответствующем изменении характеристики.

Сохранение структуры разбиения плоскости параметров в этих точках требует более жестких условий для класса харак­ теристик, не изменяющих структуру разбиения плоскости пара­ метров. Такой точкой, например, для рассматриваемой плоско­ сти параметров a, v при характеристиках рис. 243, а, б будет точка А, в которой смыкаются пять областей. Неизменность ка­ чественной структуры разбиения плоскости параметров системы

(9) при характеристиках рис. 243, а, б обуславливается тем, что величина Р<р + Qv с точностью до величин порядка ц2 для фо­ куса и для седла имеет одинаковое значение при обеих аппро­ ксимациях, и при изменении знака а не только появляется цикл из особой точки, но и происходит изменение характера бифур­ каций для петли сепаратрисы. Это условие не будет соблюдено, если перейти к релейным характеристикам.

Рассмотрим [109] систему (9) с релейными характеристиками (см. рис. 243, в) и малым параметром ц. При ц = 0 система будет иметь интеграл

Замкнутые кривые семейства (13) при 0 < h < я охватывают особую точку, при я < h < оо — фазовый цилиндр. Система будет иметь особые точки на линиях сшивания: в точке 0\ (0, 0) — квазифокус, в точке Ог(я, 0)— седло, сшитое из обыкновенных траекторий.

Функции Ф1 (h), -фг {h) и ■фз(Л) для релейных характеристик имеют особенно простой вид. Приведем выражение для фз (^)/Р, имеющей некоторые интересные особенности:

[«*■» - 2 » (* - {■ я ) " + * ( * - } я )№]. (К)

будут медленно закручивающиеся или медленно раскручиваю­ щиеся спирали. В этом можно убедиться, построив, например,

Функция ф*, описывающая бифуркации в окрестности особой точки с учетом членов порядка р2, может быть получена из так называемых вторых приближений.

Приведем уравнения границ на плоскости (о, v ):

■1) о = 0, 2) п = 1 ,

3)а = (1 /4 )(З У З -1 )= 1,049...,_

4)2яу — (1/3)У2я3/2(4о+ 1 — ЗУЗ) = 0,

5) 2nv + (1/3)У2 я3/2(4а + 1 -З Г З ) = О, 6) при v > 0 не существует,

раметров качественно эквивалентными соответствующим разбие­ ниям для аналитических и полигональных характеристик, но будут в случаях различия сходными, допускающими отождеств­ ление в указанном выше смысле. Различие в бифуркациях бу­ дет на прямой а = 0 (рождение неустойчивого предельного цик­ ла при изменении знака о из грани­ цы некоторой области, содержащей внутри особую точку).

Разбиение пространства парамет­ ров о, v для системы с релейными характеристиками отличается от представленного на рис. 244 распо­ ложением кривой АВ. Точка А не лежит на оси а = 0. Кривая АВ ка­ сается в точке А границы области 2

цикла от петли сепаратрисы, охватывающей цилиндр. Характер и взаиморасположение других бифуркационных кривых не из­ меняются при замене полигональных или аналитических харак­ теристик релейными (рис. 248).

30 н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

р) рассматривалась в § 3 гл. 15. Напомним здесь некоторые факты. При р. = 0 система имеет интеграл

тывают состояние равновесия, при 0 < h < °° — фазовый цилиндр.

ческое. В соответствии с физическим смыслом переменных и па­ раметров рассматриваем лишь верхний полуцилиндр (у = 0 — интегральная кривая) и положительные значения параметров.

Особенность разбиения фазового пространства на траектории состоит в рассматриваемой задаче в том, что для значений параметров, при которых возникает сепаратриса, идущая из сед­ ла в седло, образуются сразу два замкнутых контура, составлен­ ных из сепаратрис седла на цилиндре и отрезков оси ф: контур, охватывающий состояние равновесия, и контур, охватывающий фазовый цилиндр. От контуров, составленных из сепаратрис сед­ ла, при изменении параметра появляется либо предельный цикл, охватывающий состояние равновесия, либо предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр. Поэтому функция ф(А), корни которой определяют структуру разбиения на траектории, может быть записана единообразно для циклов любой природы:

еV V - (yZ - 3fe)2

Функция ф(А) доопределяется для А = —2/3 и А = 0 ее предель­ ными значениями.

для которого производная дН/ду непрерывна на линиях сшива­ ния ф = 0 и ф = эЬя.

а е\ и ег имеют те же значения, что и в предыдущем случае. Исследование обнаруживает тождественность поведения и свойств функций т|' (А) для исходной и аппроксимирующей си­ стем по отношению к зависимости корней от параметра к. Со­ ответствующие бифуркационные значения к для аппроксимирую­ щей системы будут к = 3; 9/5; 1,65. Пространство парамет­ ров системы будет отличаться от представленного на рис. 250 лишь незначительным смещением заштрихованной полосы, соот­

ветствующей системам с двумя циклами.

Тождественность разбиения фазового пространства для ис­ ходной и аппроксимирующей систем обуславливается здесь в первую очередь сохранением особенностей бифуркаций, связан­ ных с сепаратрисами седел, так как седловая величина не из­ менилась при переходе к аппроксимирующей системе (для обеих

систем в седле Р$ + Q'y = &ц).

Возвратимся к уравнениям (15), не предполагая более пара­ метры а и ^ малыми. Изменение числа состояний равновесия системы (15) происходит при а > 1 . Будем рассматривать об­ ласть а < 1, где число состояний равновесия не изменяется по сравнению со случаем малого ц. Простейшие бифуркации, свя­ занные с предельным циклом, могут быть найдены и сохраняют тот же характер, что и для малых значений а и р. Появление устойчивого предельного цикла из бесконечности происходит при возрастании р от нуля (это видно из уравнений (15) непосред­ ственно, так как при изменении знака р бесконечность из устой­ чивой становится неустойчивой). Появление неустойчивого пре­ дельного цикла из состояния равновесия происходит из кривой

(соответствующая граница на рис. 250 есть касательная к кри*