книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

легко проследить все бифуркации и смену качественных структур при монотонном повороте векторного поля с возрастанием пара­ метра р.

Последовательность качественных структур, переходящих од­ на в другую при возрастании р, эквивалентна представленным на рис. 169 последовательностям гру­

бых структур 2—8 (если 1 < X <

<1 + я -1) или структур 2, 5, 6,8

ставленным на рис. 169, за исклю­ чением структур 2—3 и 2—5 (по­ следней нет на рис. 169), которые должны быть заменены структу­ рой I I —I I I рис. 168 (вместо сед­ ло-узла С неустойчивой или устой­ чивой узловой областью будет вы­ рожденный седло-узел).

Качественная структура разбиения пространства параметр.ов отличается от структуры разбиения для исходной системы (2 ) лишь тем, что бифуркационные кривые 5—6 и 6—8 не пересека­ ются с граничной кривой 2—5 и уходят в бесконечность (рис. 236).

Малым изменением аппроксимации (5) можно получить кар­ тину разбиения пространства параметров, качественно совпадаю­ щую с разбиением для исходной системы (2). Рассмотрим систе­

29 н. Н. Баутин. Е. А. Леонтович

характер сшитой сложной особой точки и качественные структу­ ры разбиения на траектории будут изменяться.

точку и должна накручиваться на устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр (бесконечность неустойчива). Качествен­

всюду отрицательный наклон. Предельных циклов нет. Качествен­ ная картина эквивалентна представленной на рис. 168, V. При возрастании параметра р вдоль граничной кривой осуществляют­ ся все релятивно-грубые и бифуркационные структуры, представ­ ленные на рис. 168 от I I —I I I до V.

3. Разбиение пространства параметров на области с различ­ ными качественными структурами фазового пространства. Фокус

444 ГРУБОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. 20

образом, что исчезнут условия, делавшие неизбежным появление областей существования двух предельных циклов, охватывающих цилиндр. При возрастании фо до значения фо = я/2 в простран­ стве ( ц > 0 , А, > 1) исчезает область, в которой возникновение петли сепаратрисы происходит при положительном значении сед­ ловой величины 0 4 .

При фо > я2(я + 1)-1/2 кривая Оз = 0 будет состоять из кус­

ной кривой. Кривая о4 = 0 будет состоять из куска этой же ги­

представляет интерес для ряда задач механики, электротехники, теории фазовой автоподстройки частоты и т. д. при различных характеристиках /'’(ф).

Мы покажем, что если функция /'’(ф) дифференцируемая, пе­ риодическая с периодом 2я, кусочно-монотонная с двумя экстре­ мумами на периоде (lexstrF(x) 1= 1) и такая, что

то пространство параметров f > 0, h > 0 будет грубым по от­ ношению к классу характеристик /'’(ф).

Пространство параметров разбивается на трп области, соот­ ветствующие трем возможным грубым разбиениям на траектории

фазового пространства (ф, ф). Различным /'’(ф) соответствует

8 4] ИССЛЕДОВАНИЕ РОЛИ АППРОКСИМАЦИЙ 445

лишь различное расположение на плоскости параметров бифур­ кационных кривых на интервале 0 < к < 1 (рис. 240).

седло. Характер состояний равновесия определяется по корням

вый. При к = 1 особые точки сливаются, образуя особую точку типа седло-узел.

Критерий Дюлака (см. гл. 6) позволяет сделать исчерпываю­

рассматриваемой области пространства параметров, то не суще­ ствует предельных циклов, охватывающих состояние равновесия, и не может быть более одного предельного цикла, охватывающе­ го фазовый цилиндр. Бифуркации, связанные с появлением пре­ дельного цикла из сгущения траекторий (связанные с рождением двойного предельного цикла), для рассматриваемого класса ха­ рактеристик невозможны.

Условие (2) позволяет утверждать, что бифуркация, связан­ ная с петлей сепаратрисы, возможна только в верхнем полуци­ линдре {у > 0). В самом деле, если существует замкнутый кон­ тур, составленный из интегральных кривых уравнения (4), то

но это невозможно лри у(ф)< 0 и положительных А и ifКаждая траектория системы (3) на нижнем полуцилиндре пересекает ось у — 0 (если только она не будет ш-сепаратрисой седла).

Теперь остается установить для характеристик рассматривае­ мого класса возможность бифуркаций, связанных с появлением предельного цикла из петли сепаратрисы в верхнем полуци­ линдре.

Для определенности выберем так начало отсчета по коорди­

Другой корень уравнения ^(ф) = 0 обозначим фо. Введем систему сравнения (5)

Характеристика Ф(ф) расположена ниже характеристики

лишь одна структура разбиения фазового пространства на траек­ тории. Все траектории идут из бесконечности к устойчивому пре­ дельному циклу на верхнем полуцилиндре, расположенному в по­

лосе (у + i ) / h < ф < Y/'A-

Проследим поведение траекторий системы (3) на верхнем полуцилиндре, используя сведения о поведении траекторий си­

J 4] ИССЛЕДОВАНИЕ РОЛИ АППРОКСИМАЦИЙ, 447

тывающую состояние равновесия Ф = фь Отметим, что а-сепа- ратриса седла на верхнем полуцилиндре не может возвратиться в то же седло и, накручиваясь на цилиндр, уходит в бесконеч­

риса седла на верхнем полуцилиндре также будет накручивать­ ся на цилиндр. Так как при h > 0 бесконечность для систе­ мы (3) неустойчива, то отсюда следует существование для ма­ лых h устойчивого предельного цикла, охватывающего цилиндр (единственного в силу критерия Дюлака) (рис. 240, б).

Для больших h структуру разбиения фазового пространства на траектории можно установить, используя систему сравнения

(5). На верхнем полуцилиндре изображающая точка, двигаю­ щаяся по траектории системы (3), слева направо пересекает траектории системы (5) сверху вниз. Пусть у — ц есть точка пересечения ©-сепаратрисы седла на верхнем полуцилиндре с прямой ф = ф1 . Если выбрать h так, чтобы верхний край полосы, содержащий предельный цикл системы (3), лежал ниже прямой Р П и, следовательно, выполнялось условие (^ + 1)/й < т), то ©-сепаратриса седла на верхнем полуцилиндре попадет в об­ ласть (выше полосы, содержащей предельный цикл системы (5)), заполненную траекториями, пересекающими траектории

всегда возможен, так как с возрастанием h векторное поле по­

Рис. 241

предельной точкой седло-узел. Циклов нет. Для к > 1 при лю­ бых h существует единственный устойчивый предельный цикл,

которых происходят бифуркации. Например, легко обнаружить,

(1, 2У2/(я + Я)), в которой происходит смыкание с вертикальным

куском границы.

Особенно простое уравнение бифуркационной кривой будет

ющее при возрастании к (индекс замкнутой кривой, содержащей внутри отрезок притяжения с примыкающими к нему траектория­ ми, равен нулю).

Пространство параметров (if, h) уравнения (1) будет грубым по отношению к классу характеристик ^ (ф ), F \ (ф) л ^г(ф)» если

отождествить в указанном выше смысле сходные элементы при­ тяжения или отталкивания.

§ 5. Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного мотора. Приведем некоторые примеры систем с бо­ лее сложным разбиением пространства параметров — грубым по отношению к некоторому цлассу характеристик. Рассмотрим си­ стему (уравнения автоколебаний синхронного мотора) (гл. 18, § 3)

риодами соответственно 2я и я, для трех видов характеристик:

Введем малый положительный параметр р, положив D = р7\ А = ра, В = рР, С = pf. Для аналитических характеристик по­ лучим уравнения

dy/dt = —sin ф + р [Т —(а + ^ cos 2ф —к sin ф) у], йф/dt — у. (10)

450 ГРУБОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ [ГЛ.2»

Система (10) имеет два состояния равновесия: фокус и сед­ ло. При малых (I фокус будет устойчивый, если а + Р > 0, и не­ устойчивый, если а + £ < 0.

Структура разбиения фазового пространства на траектории определяется характером особых точек, характером и располо­ жением предельных циклов и поведением сепаратрис. Мы рас­ смотрим эту систему методом Понтрягина (см. гл. 15).

Рис. 243

При р = 0 система (10) имеет интеграл Н ( у , у ) ^ у У 2 —

— cos<p = h. Значениям константы h из интервала —1 < h < 1 со­

ответствуют замкнутые интегральные кривые, охватывающие со­

то значения константы h, выделяющие кривые консервативной

системы, вблизи которых при малом р на верхнем и нижнем полуцилиндрах будут предельные циклы системы (11), соответ­ ственно определяются как корни уравнений

t|>i(fe)=0, ф2(й )= 0,

= р J [v — (а — 2 sin2 ф) У 2(соз ф +й)]йф =

о