книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

ГЛАВА 20

ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ И ГРУБОСТИ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ [39, 41, 42]

Введение. В уравнениях движения динамических систем, моделирующих поведение технических устройств, обычно бывает возможно наряду с параметрами системы выделить не содержа­ щие параметры нормированные характеристики (синусоидаль­ ные, полигональные, релейные и т. д.), описывающие поведение отдельных элементов этого устройства. Выбор таких характери­ стик всегда в какой-то мере произволен и диктуется, с одной сто­ роны, соответствием поведения характеристики модели поведе­ нию реальной характеристики изучаемого устройства, а с другой стороны, ограничен требованием получения такой системы урав­ нений, исследование которой может быть проведено с необходи­ мой полнотой.

Удачный выбор характеристики (удачная аппроксимация)’ весьма важен для создания модели, пригодной для исследования.

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в урав­ нениях движения. При этом возникает важный вопрос о допу­ стимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между ис­ ходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохране­ ния при изменении характеристик качественной структуры разбения пространства параметров и фазового пространства иссле­ дуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не из­ меняя существенно общую картину зависимости поведения траек­ торий от параметров, и выяснить, что может происходить с про­ странством параметров системы при изменении характеристик. В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифур­ кации могут быть прослежены регулярными методами, и, кроме

432 ГРУБОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. 29

того, для сшитых аппроксимирующих систем (кусочно-аналити­ ческих) могут возникать новые типы бифуркации, для которых еще нет полной классификации. Поэтому представляет интерес

будем называть грубым по отношению к классу характеристик Fi(x) и ^Даг), если для всех характеристик этого класса остается неизменной качественная структура разбиения пространства па­

сводится к задаче изучения бифуркаций, возможных в системе при изменении характеристик. Если при замене одной характе­ ристики другой не исчезают какие-либо возможные бифуркации и не появляются новые, то система будет грубой в указанном вы­ ше смысле по отношению к этим характеристикам. В общем слу­ чае эта задача очень трудна и не существует регулярных методов для ее решения. Бифуркации, возможные в системе, в неодина­ ковой степени доступны для исследования. Простейшие из них характеризуются значениями некоторых величин, отнесенных к точке фазового пространства (таковы бифуркации сложных со­ стояний равновесия или бифуркации, связанные с оценкой числа предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия типа фокус или от петли сепаратрисы), другие требуют сведений о глобальном поведении траекторий и не могут быть получены ре­ гулярными методами (сюда относятся весьма сложные вопросы о существовании сепаратрис, идущих из седла в седло, и рожде­ нии двойных предельных циклов из сгущения траекторий).

Однако в некоторых случаях такие глобальные оценки могут быть получены при использовании специфики исследуемых урав­ нений или при использовании специально подобранных систем сравнения, и тогда поставленная задача допускает полное реше­ ние. Чаще, однако, оказывается возможным выделение таких классов характеристик, при которых можно обеспечить неизмен­ ность разбиения пространства параметров на области не тождест­ венной, но лишь сходной в некотором смысле структуры.

Например, можно условиться не различать области простран­ ства параметров, которым соответствуют разбиения фазового про-

изоклины вертикальных и горизонтальных наклонов, и возника­ ет структура разбиения фазового пространства с отрезком покоя на интервале 0 < ф < я/2. Интегральными кривыми, по которым движутся изображающие точки на интервале 0 < ф ^ я /2 , будут

попадает в область выше максимума изоклины горизонтальных

Я и р от значения Я = р = 1 вдоль прямой отрезок покоя рас­ падается, и на его концах возникают особые точки: 0 3 4 (0 , 1 )— сшитая из фокуса и седла и 0 2(я /2 , 0 )— сшитый узел (неустой­ чивый). Изоклина горизонтальных наклонов располагается на

чивом куске отрезка покоя, превращается в траекторию, накру­ чивающуюся на предельный цикл, охватывающий цилиндр (бес­

8 И АППРОКСИМАЦИИ ПИЛООБРАЗНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 435

конечность неустойчива). Устойчивый предельный цикл появля­ ется из траектории, примыкающей к отрезку покоя, и куска от­ резка покоя.

При возрастании Я и_р вдоль прямой седло-фокус 0 3 4 превра­

щается при р = ( 1 + 2 Уя)/я = р* в седло-узел с устойчивой уэловой областью. Обе ©-сепаратрисы сшитого седло-узла для р, близких к р*, должны выходить из узла 0% Для больших Я и ц предельных циклов нет, так как ©-сепаратриса, входящая в седлоузел, имеет всюду отрицательный наклон. Справедливость этого следует из того, что если взять точку (фо, т)о> 1 ) на ©-сепарат­ рисе, то при достаточно больших р координата г|о на прямой Ф = фо будет больше максимума изоклины горизонтальных накло­ нов (Я + 1)/(х, так как в области р > 1 векторное поле поворачи­ вается по часовой стрелке при возрастании р вдоль прямой и при этом т]о растет, а (Я + 1)/р. -*■ 1.

Качественные структуры, последовательно переходящие одна в другую при возрастании р и Я вдоль прямой Я = р, будут экви­ валентны некоторым представленным на рис. 168 гл. 16, § 4. Для любого р из интервала 0 < р < р* структура разбиения фазового

и 0 2 (я/2, 0)— сшитый узел (неустойчивый). Контактная кривая с кривыми вырожденной системы (р = Я = 1) при изменении па­ раметров вдоль прямой будет р — я - 1 и, следовательно, всегда проходит через седло. Векторное поле в области р > 1 поворачи­ вается при возрастании р по часовой стрелке, и поэтому ©-сепа­ ратриса, идущая в седло по направлению к < —2 я -1, не может пересекать интегральную кривую р = я - 1 е"-1-2ф вырожденной си­ стемы, касающуюся отрезка покоя как раз в той точке, в которой

ризонтальных наклонов. Предельных циклов, охватывающих ци­ линдр, нет при любых значениях Я и р на рассматриваемой полу­ прямой. Структура разбиения фазового пространства для всех точек этой полупрямой будет одинакова и эквивалентна изобра­ женной на рис. 169, 8 (§ 4 гл, 16).

ными качественными структурами фазового пространства. Про­ следим за сменой структур и бифуркациями при изменении р для фиксированного Я = Яо из интервала 1 < Я < pi. При р = 0 каче­ ственная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для р из интервала 0 < р < Яо качественная картина будет эквивалент­ на представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При р = Яо в точке (0 , 1 ) появляется сшитое вырожденное состояние равновесия (если р < р*) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой об­ ластью (если р > р*). Качественная картина эквивалентна пред­ ставленной на рис. 168, I I —I I I или 168, I I I соответственно. При дальнейшем возрастании р сложная сшитая особая точка разде­

ратрисы вокруг цилиндра.

Характер бифуркации при возникновении и разрушении пет­ ли сепаратрисы определяется знаком седловой величины

<т4 = (Р'9 + <?р) 4 = п(ц2_ 1} (яр + р - ярЯ - 1).

Кривая 0 4 = 0 касается прямой р = я(Я —1 )т 1 в точке Я = = р = 1 и располагается справа от нее. Слева от прямой для би­ фуркационных значений параметров седловая величина имеет отрицательное значение. С возрастанием р при возникновении петли сепаратрисы к петле стягивается устойчивый предельный

цикл.

При фиксированном Я = Я1 из интервала pi < Я < рг при воз­ растании р на интервале Я] < р < л(Я1 — 1 )+ 1 осуществляется лишь одна бифуркация: при р = р(2 )(Я1 ) возникает петля сепарат­ рисы вокруг цилиндра, к которой стягивается устойчивый пре­ дельный цикл. При фиксированном Я = Я2 > р2 при изменении р

рис. 169, 5— 6 и 169,6—8, образуют бифуркационные кривые, на­ чинающиеся в точке X = р = 1 и заканчивающиеся на прямой

биения пространства параметров существенно отличается от раз­ биения для исходной системы (2) (см. рис. 167). В частности, здесь отсутствует область существования двух предельных цик­ лов, охватывающих фазовый цилиндр. (Номера областей на рис. 231 соответствуют номерам качественных структур рис. 169.)

§ 2. Рассмотрение системы (2) при аппроксимации, включа­ ющей отрезок параболы. Рассмотрим систему (2) при аппрокси­

а фз — либо меньший его корень, если А, — р > 0, либо определя­ ется по формуле, приведенной в начале § 1, если X — р < 0. Ве­ личины р4 и рз находятся из уравнений соответствующих изоклин.

и0 2 . В плоскости параметров границей области существования

При переходе через кривую оз = 0 в направлении возрастаю­ щих р фокус из неустойчивого становится устойчивым и из него появляется неустойчивый предельный цикл (первая ляпуновская величина для точек кривой аз = 0 имеет значение

а3= р 2 + я (2 + 'я )2 + 4я2Хр > 0

я(2 + я — 2 яХр) 3/2

2.Структура разбиения фазового пространства на граничной кривой, разделяющей области двух и четырех точек. Точкам на кривой 4р2 — 4Я.р + 1 = 0 (р > 1/2) соответствует фазовое про­

траектории могут идти в особую точку, и седло-узел становится

имеет всюду отрицательный наклон и, следовательно, предель­

ходящих одна в другую, будет такая же, как на рис. 168.

3. Разбиение пространства параметров на области с различ­ ной качественной структурой фазового пространства. Обращение

тельна выше кривой 0 4 = 0 .

Отправляясь от известных структур разбиения фазового про­ странства на граничной кривой, можно проследить смену качест­ венных структур при возрастании р, повторяя почти дословно

рассуждения, проведенные в гл. 16, § 4, так как при изменении ц осуществляется монотонный поворот поля направлений, а приня­ тая аппроксимация (4) не из­ меняет существенно поведения величин оз, аз и сц, определяю­ щих характер возможных би­ фуркаций в окрестности фокуса

ипетли сепаратрисы. Для ап­ проксимирующей системы, как

идля исходной системы (2 ),

§ 3. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно­ постоянной для sin <р, и пилообразной для cos <р функциями. По­ лагаем

сложная особая точка (0, 1), качественно эквивалентная вырож­

ной качественной структурой фазового пространства. Вдоль всей граничной кривой характер сложной особой точки и структура разбиения фазового пространства на траектории сохраняются. Бесконечность неустойчива; а-сепаратриса седла 0\ не может идти в особую точку и накручивается на устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр. Качественная картина разбиения

бую точку по направлению к = —2 л- 1 — 2 ц, попадает при ф = О в область отрицательных наклонов и идет в бесконечность. Пре­ дельных циклов нет. Качественная картина эквивалентна изобра­

которой фокус 0% меняет устойчивость, в точке пересечения с граничной прямой X —ц — 1 = 0. Седловая величина отрицатель­ на выше прямой 0 4 = 0 .