книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

при любом р лежит на сепаратрисе. Время доопределенного дви­ жения есть «>.

Для ц < г ( р — *j) нужно еще получить уравнения движения изображающей точки по прямой ф = фо. Для любого и это будет

Полученная схема доопределяемых движений по верхней ча­ сти прямой ф = фо приведена на рис. 219, а . Здесь для наглядно­ сти налегающие одна на другую траектории раздвинуты в гори­ зонтальном направлении. Изображающая точка системы (2), попавшая в точку (ф = фо, у = и), и 3* r(p — 1 ), совершает мгно­ венный скачок в соответствии с формулой (7) и продолжает дви­ жение при ф > ф о в соответствии с системой (2 ).

Если гр < и < г(р — у), то изображающая точка перескакива­ ет в точку v = 0 , находится здесь в течение времени (6 ) и затем двигается при ф > фоПри и = г$ изображающая точка переска­ кивает в точку (ф = фо, у = 0 ) и остается там неограниченно долго. Это движение является вырождением при р. -►0 движения по сепаратрисе седла системы (3).

Если и < гр, то изображающая точка мгновенно перескакива­ ет в точку и\ = 0 и находится здесь в течение времени, опреде­

ляемого формулой (8 ), после чего продолжает движение при

Ф < фо-

Из соображений симметрии следует, что если в описанной схеме поменять и на щ, v на ui, на — 4 и наоборот, то получим схему доопределенных движений по нижней части прямой ф = (po­

ll. $ < 0 < ч , r ^ 2 b h < 0. Состояние равновесия системы (3) при малых р — устойчивый узел, лежащий в полосе —р < х < р.

вычисления совпадают с соответствующими вычислениями п. 1 .

жений есть оо. Уравнением движения по прямой ф = фо, как и в случае I, будет уравнение (1 0 ) .

Полученная схема доопределяемых движений по верхней ча­ сти прямой ф = фо приведена на рис. 219, б. Изображающая точ­ ка системы (2), попавшая в точку (ф = фо, У = и), и > г(р —к)> совершает мгновенный скачок в соответствии с формулой (7) и продолжает движение при ф > фо в соответствии с системой (2 ).

При п < г ( р —ч) изображающая точка мгновенно переска­ кивает в точку (ф = фо, у = 0 ) и остается там неограниченно дол­

g 4] СИСТЕМА СО СКАЧКАМИ НА ЛИНИИ СШИВАНИЯ 423

го. Будем говорить, что эти движения ведут в состояние равно­ весия (ф = Фо, у = 0 ), являющееся вырождением при р, -*• 0 узла системы (3).

Из соображений симметрии следует, что если в описанной схе­ ме поменять и на щ, v на щ, то получим схему доопределенных движений по нижней части прямой ф = фо.

Не приводя вычислений, опишем получающуюся в этом слу­ чае схему доопределенных движений (рис. 219, в). Изображаю­

определяемого формулой (8 ), после чего продолжает движение

мих в себя, осуществляемые доопределенными движениями, сов­ местно с точечными преобразованиями прямых ф = фо самих в себя и одной в другую, осуществляемыми траекториями систе­ мы (2 ), можно провести качественное исследование системы для конкретной характеристики F(ф), имеющей разрывы.

П р и м е р 1. Пусть Е(ф)— функция периода 2я такая, что F (ф) = ф/я при —я < ф < я, и пусть 0 < О < 1 . Этот пример ил­ люстрирует первый случай доопределения.

В качестве фазового пространства будем рассматривать поло­ су, заключенную между прямыми ф = —я и ф = я. Точки этих прямых, имеющие одинаковые ординаты, отождествляем. Таким образом, точки разрыва характеристики находятся на линии склейки цилиндрического фазового пространства.

отрезки, отсекаемые сепаратрисами седла (—я£3, 0), соответственно от полупрямых V и U. Кривая u — u(v) изображена на рис. 223 вместе с прямой v = и + 2 г, являющейся графиком функции со­ ответствия при преобразовании полупрямой ф = я, у > 0 в себя, осуществляемом доопределенными движениями.

На рис. 223 изображен случай, когда кривая и прямая имеют точку пересечения. Это означает, что на фазовом цилиндре име­ ется предельный цикл. Легко видеть, что он устойчив и что бо­ лее одного цикла быть не может. При уменьшении г прямая пере­ двигается слева направо, и при некотором г точка пересечения

попадает в точку (и*, у*). При этом предельный цикл влипает в сепаратрису седла (—я£3, 0), образующую петлю. Соответствую­

Качественная картина фазовых траекторий системы для случая, когда имеется предельный цикл, приведена на рис. 224.

на на рис. 225, б. Изображающая точка, попавшая в точку (0, у), где у > 0 , совершает скачок величиной 26 вверх по прямой ср = 0 , после чего продолжает движение при ср > 0 в соответствии с си­ стемой (2). Если у < 0, то изображающая точка совершает ска­ чок величиной 26 вниз по прямой ср = 0 , после чего продолжает движение при ср < 0 в соответствии с системой (2) . Точка (0, 0)

и

будет состоянием равновесия, аналогичным неустойчивому узлу. Из него выходят траектории, проходящие через точки (0, у), где 0 < у < 26 или —26 < У < о . (Вертикальный участок такой тра­ ектории от точки (0 , 0 ) до точки (0 , у) изображающая точка про­ ходит скачком.)

Когда система доопределена на прямых ср = 0 и ср = я, можно проследить любое ее частное решение на любом отрезке времени

нием результатов, относящихся к предельным циклам, охватыва­ ющим состояние равновесия.

Возьмем на прямой <р = 0 две полуоси: полуось и — вниз от начала координат и полуось v — вверх от начала координат. На

обычным способом, только с учетом того, что все v нужно сде­ лать больше на величину скачка. Участок щ ^ и ^ 112 весь пере­ ходит в одну точку vо. Для этих и имеем v(u)= const = i>o- Ана­ логичные соображения можно высказать о функции u(v).

Цикл соответствует точке пересечения линий v(u) и и (v). На рис. 227 показано изменение взаимного положения линий при изменении параметров. На рис. 228 — соответствующие превра­ щения предельного цикла (соответствующие одна другой картин­ ки на рис. 227 и 228 обозначены одинаковыми буквами). Оче­ видно, так же, как и в примере 1 , расположение траекторий рис. 228 может быть изображено на цилиндре.

Для некоторой области в пространстве параметров линии име­ ют точку пересечения на кривых участках (рис. 228, а). Цикл не имеет кусков на прямых <р = —я и <р = я. При соответствующем изменении параметров точка пересечения передвинется в точку

излома линии u(v). При этом цикл коснется прямой <р = я. При дальнейшем изменении параметров точка пересечения переходит на вертикальный участок линии (рис. 228, б) . При этом на цикле появляется вертикальный участок на прямой ф = я, который изображающая точка проходит скачком, после чего некоторое вре­ мя стоит в точке (я, 0 ), прежде чем продолжит движение по циклу. В зависимости от дальнейшего изменения параметров воз­ можны превращения двух типов: 1 ) концевая точка линии u(v) попадает на кривой участок линии v(u). При этом цикл влипает

и исчезает. 2) Точка пересечения переходит на горизонтальный участок линии v(u) (рис. 228, в). На цикле при этом появляется

Р и с . 228

вертикальный участок и на прямой ф = —я. При дальнейшем из­ менении параметров концевая точка линии u(v) попадает на го­ ризонтальный участок линии v(u). Цикл влипает в сепаратрису состояния равновесия (я, 0 ), образующую петлю, и исчезает.