книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

дит в бесконечность при h -*■°°, но будет лежать внутри полосы сколь угодно малой ширины е на любом заданном интервале

сравнению с ipi не может измениться ни за счет изменения знака ipmin в точке минимума, ни за счет изменения знака \|3i(0 ). С дру­ гой стороны, как бы ни было мало Хо, функции г|ц + фг и г|ц име­

(8 ) из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл.

получим систему, близкую к кусочно-линейной консервативной системе

dq>/dt = у = Р, dy/dt = Т - s(<p)- IL[<X + $с(2<р)~ 4s((p)]y = Q (1)

(р — положительный параметр).

Система (2) имеет замкнутые фазовые траектории при Т < 1, Замкнутые фазовые траектории системы (2) охватывают состоя­ ние равновесия. Другие траектории представляют собой спирали, накручивающиеся на фазовый цилиндр (рис. 204).

Сшивание траекторий консервативной системы внутри полосы

—п/2), если 0 < Г < 3 —2У2. В зависи­ мости от Т изменяется число сшива­ ний для периодического движения. В дальнейшем ограничимся случаем, когда периодическое движение сшива­

ется из траекторий не более чем трех полос ( Т > 3 —2У2). При этом будут исчерпаны все возможные случаи разбиения фазового пространства на траектории.

2. Состояния равновесия. Седловая величина. Система (1)

имеет при Т < 1 два состояния равновесия: Oi(nTI2,0) и 0г(я — яГ/2, 0). Состояние равновесия 0\ будет неустойчивым фокусом, если для точки 0 \ будет

(^ ф + = — р (а + Р — 2РТ — уТ) = — рог > 0, а < 0,

устойчивым фокусом, если а > 0, и центром, если а = 0. В послед­

Существенно, что выражения £*Ф+ Qy для фокуса и для сед­ ла имеют одинаковое значение. Как будет показано, это опре­ деляет существенные особенности структуры разбиения фазового пространства и пространства параметров.

3. Предельные циклы. Если систему (1) записать в виде

выделяющие кривые Снаконсервативной системы, вблизи которых

= — J fa + pc (2ф) — ys (ф)] у dq>. (5) ch

Чтобы выполнить интегрирование, нужно сделать определен­ ные предположения о расположении петли сепаратрисы консер­ вативной системы на плоскости и тем самым о числе кусков, из которых сшивается кривая

(—л/4) (1 —Т)2< h < 0 будут соответствовать замкнутые кривые, сшитые из кусков эллипса и гиперболы, расположенных соответ­ ственно на полосах (0 , я /2 ) и (я/2 , я ) .

396 МЕТОД ПОНТРЯГИНА В КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 18

для Г > 0 ,5 будет

_ JL (i _ Tf < - ■ £ ( 1 - T f < - - f ( Г 2 - AT + 2 ) < 0 .

есть функция, принимающая положительные значения, монотон­ но возрастающая и обращающаяся в нуль в единственной точке h = - ft2/2 .

Выражения (7) определяют ф(Л) как непрерывную функцию, сшитую из трех кусков с различными аналитическими представ­ лениями на интервалах (—а2, —а2/2 ), (—а2/2 , —ft2 /2 ) и (—ft2/2 , 0 ). Функция г|з(Л) на интервале (—а2, —ft2 /2 ) имеет знак, противо­

мых, одно из которых положительно, а другое имеет знак, про­ тивоположный знаку о. Выбором о значение ф(й) на всем интер­ вале (—ft2 /2 , 0 ) может быть сделано как положительным, так и отрицательным.

Проследим за корнями функции ф(й) и изменением качест­ венной структуры разбиения фазового пространства на траекто­ рии при возрастании о от отрицательных значений. При о < 0 функция ф(й) на всем интервале (—а2 , 0 ) будет положительной.

6 3] АВТОКОЛЕБАНИЯ СИНХРОННОГО МОТОРА 397

Предельных циклов нет. Фокус неустойчивый. Структура раз­ биения фазового пространства изображена на рис. 205,1.

на интервале (~Ь2/2,0). Существует континуум замкнутых кри­ вых, окружающих состояние равновесия типа центр. Петля се­ паратрисы не может существовать, так как о|з(0 )¥=0 ; (о-сепарат- риса седла скручивается с границы области, заполненной замк­

рис. 205,2 к структуре рис. 205, 4 может происходить либо при возрастании ho до нуля (этому соответствовало бы влипание не­ у с т о й ч и в о г о предельного цикла в петлю сепаратрисы седла), либо при слиянии его с другим корнем функции i|i(h). Не про­ водя подробного исследования поведения функции г|>(/г) при раз­ ных о, можно по знаку седловой величины заключить, что при

ние в нуль величины г|>(0 ), соответствующее возникновению петли сепаратрисы, должно предшествовать исчезновению корня

Описанному процессу соответствует на фазовой плоскости смена

дельный цикл; рис. 205,4 (ф (/г)< 0 ) — циклов нет.

Приведенные простые рассуждения дают строгое доказатель­ ство существования области пространства параметров, для точек которой система (1 ) имеет по крайней мере два предельных цик­ ла. Непосредственное исследование функции г|>(/г) позволяет убедиться, что г|>(Л) не может иметь более двух корней. Это исследование, однако, довольно громоздко [67].

Г Л А В А 19

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СШИТЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИИ

§ 1. Кусочно-линейная система с тремя параметрами. Рас­ смотрим дифференциальное уравнение [71]

х + а [1 — $F' (х) ] i + F(x) = 4 .

Полагая

и вводя новые переменные и параметры, приходим к системе вида

Будем рассматривать фазовую цилиндрическую поверхность склеенной системы, развернутую на часть плоскости, соответст­

плоскости на области 1 и 2, в каж­ дой из которых фазовые траектории определяются соответственно линей­ ными системами. Прямые х = —я / 2 И 1 = Зя/2 отождествляются. Склеен­ ная система имеет два состояния равновесия: Oi(a, 0 ) и Ог(я — а, 0 ).

сепаратрисы которого определяются уравнениями

У ~ ( — ^ j ± V + 1 ) [# — (я —- о )].

400 МЕТОДЫ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ В СШИТЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 19

Обозначим через Si, 5г и S3 полупрямые х = —я /2 , х = я / 2 И 1 = Зя/2, соответствующие значениям у > 0.

Фазовые траектории системы осуществляют точечные преоб­

бега изображающей точки (см. рис. 206) через области 1, 2, со­ ответствующие преобразованиям L \ и L 2 .

Величины S i , S 2 , т, 0 принимают положительные или нулевые значения. Интегрируя линейные уравнения (1) в областях 1 и 2, обычным образом получаем параметрические уравнения для функций соответствия.

Для области 1 получаем

производных получим, если в правых частях полученных выра­

можные виды кривой, соответствующие преобразованию Li, изо­ бражены на рис. 207.

Рис. 207, а соответствует случаю (я/2 — а) ек*п — (я/2 + а) <С 0 й, в частности, всегда реализуется при малых hi. Промежуточ­ ный между изображенными случай, когда кривая проходит че­ рез начало координат, соответствует т* = я и обращению в нуль выражения (2 ).