Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5172 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

..pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
16.72 Mб
Скачать
☆

8 4]

МЕТОД ПОНТРЯГИНА ДЛЯ СШИТЫХ СИСТЕМ

381

и предположим, что

 

 

Ос Ф 0 .

 

Тогда относительно рассматриваемой сшитой сепаратрисы,

об­

разующей

петлю, могут быть сделаны те же утверждения,

что

и относительно петли сепаратрисы аналитической системы. (До­ казательство этих утверждений может быть проведено совершен­ но так же, как и в случае аналитической системы, на основании рассмотрения функции последования, построенной в окрестности петли из нескольких функций соответствия.) Именно, имеют ме­ сто такие утверждения:

1) Сшитая сепаратриса, образующая петлю, устойчива, если седловая величина ос < 0 , и неустойчива, если ос > 0 .

2) Если оо ^ 0, то при изменении щ из петли сепаратрисы может рождаться не более одного предельного цикла: устойчи­ вого, если Оо < 0, и неустойчивого, если ос > 0. При одном харак­ тере разделения сепаратрисы рождается предельный цикл, при

другом — нет. Соответственно при

р4 -> р”

в петлю сепаратри­

сы может «влипнуть» только устойчивый предельный цикл, если

Оо < 0 , и только неустойчивый, если ос > 0 .

 

 

 

 

5.

Метод Понтрягина для сшитых систем3). Пусть Н ( х ,у ) = *

= h — семейство замкнутых кривых Ch, зависящих от параметра

h, сшитых из кусков Hi(x, y)=zh на интервалах

 

 

Функции Hi(х,

у)

аналитические по каждому из

аргументов.

Тогда система

 

 

 

 

 

 

 

 

х =

Ну (х, у) + рр (х, у),

у =

— Н'х (х, у) +

рq (х, у)

(1 0 )

имеет

при

р Ф 0

единственный

предельный цикл

в

окрестности

замкнутой

кривой

С 0, если дН/ду

непрерывна

в

точках

сши­

вания х = Хи

и q(x, у) — аналитические функции в каждом из

Здесь р(х, у)

интервалов Xi ^

х ^ ®j+i, a hi — корень уравнения

 

 

 

 

Ф (К ) ==

1 (q(я, у) dx — р (х, у) dy) = 0,

ф' (fe?) Ф 0.

 

Предельный цикл будет устойчивым, если рф' (hi) < 0, и не­

устойчивым, если рф' (Ло) > 0. Фазовое пространство может быть как плоским, так и цилиндрическим.

3) См. [106, 107, 124].

Г Л А В А 18

ИССЛЕДОВАНИЕ КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА

§ 1. Уравнение из теории электрических машин. Рассмотрим уравнение [123]

<р+ А[1 — р0'(ф)]ф + 0(ф) = Ч, Я>0, ^>0,

где функция 0 (ф) периодическая с периодом 2 л, при кусочнолинейной аппроксимации

0 (ф) = 0 1 (ф) = (—1 )ь(2 /1 т)ф + (—1 )ft_I2 A;,

(2к —1) л/2 < Ф < (2А: + 1) л/2, й - . . .

- l , 0, 1, ...

В качестве фазового пространства будем рассматривать по­ лосу, заключенную между прямыми ф = —л и ф = л. Точки этих прямых, имеющие одинаковые ординаты, отождествляем. Введем малый положительный параметр, полагая Я = рЯо; к = pfoi и пе­ рейдем к системе, близкой к кусочно-линейной:

dcp/dt = у, dy/dt------0 х (ф ) + Ц {Vo — ^ 0 [ 1 — Р0х (ф)] у\•

(4)

Изучение периодических решений системы (1) позволяет строго установить качественную картину разбиения фазового пространства на траектории для малых Я и ц и выяснить, как изменяется эта картина при изменении параметров.

Траектории системы при р = 0 имеют либо вид замкнутых кривых, охватывающих состояние равновесия (типа центра) в точке ф = 0 , у — 0 , либо замкнутых кривых, сшитых из кусков эллипсов и гипербол, охватывающих пространство (цилиндр). Эти две области разделяются сепаратрисами, составленными из кусков прямых и эллипсов, идущими из седла в седло (в точках

(—л, 0 )

(л, 0 )

система

(1 ) при

р = 0 имеет простые седла).

При

р Ф 0,

но сколь

угодно

малом, замкнутые кривые, охва­

тывающие состояние равновесия или фазовый цилиндр, превра­ щаются в спирали, и только некоторые из интегральных кривых остаются замкнутыми, т. е. превращаются в предельные циклы. Сепаратрисы, образующие вместе с состояниями равновесия при

р = 0

замкнутый контур,

для р Ф 0 вообще не будут образовы­

вать

такой контур, также

превращаясь в спирали, накручиваю-

S И

УРАВНЕНИЕ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

383

щиеся на предельный цикл или состояние равновесия или ухо­ дящие в бесконечность. Знание характера и расположения пре­ дельных циклов позволяет однозначно определить качественную структуру разбиения фазового пространства на траектории.

Система (1) может иметь как циклы, охватывающие цилиндр, так и циклы, охватывающие состояние равновесия 0\ (рчоя/2 , 0 ). Будем отыскивать циклы, охватывающие цилиндр. Тогда, приме­ няя теорему 1 § 5 гл. 12 и учитывая п. 5 § 4 гл. 17, будем иметь

Здесь L\ и Z/2 — части интегральной кривой системы (1), при

р = 0 проходящей через точку Р ( — л, г/р)’ расположенные соот­ ветственно в интервалах —я ^ <р < —л/2 и —л/2 ^ <р «S 0. Урав­ нения кривых L\ и Z/2 соответственно будут

 

 

]У_ _

(ф + л )2

 

(У р)2

 

(1ц)

 

 

2

я

 

2

’

 

 

 

 

 

 

 

 

,

ф^_ _ (уо) 2 ,

2 •

 

(La)

 

 

2 ~

я

2

^

 

Интегрирование ведется в направлении движения по траекто­

риям. Если г/р > 0,

то, вычисляя интеграл в правой части равен­

ства (2 ), получим

 

 

 

 

 

 

 

F1Ы ) = jo {2 лу0 - %о V n i 2 [ 2 У ф У л/2 + 2 h +

 

 

+ h [l + 4 P ) l n [ ( ^ Ф + / л / 2 + 2

+

 

+

(* -

р т )

+ ") " csiD у Гуг>-+ „- ]} 1=

7 .

 

 

 

h = (ifS)*/2.

 

 

 

Для выяснения числа корней уравнения

 

 

находим

 

 

4 >i(fc) = 0

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

< W - - »• /

т

[(* + - Г ») ь (

/

f

+

 

+

 

 

 

+ 2

(1

- Л

„ ) ага1п

 

+

384 МЕТОД ПОНТРЯГИНА В КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 18

ф! (h) =

У2 яЯ0 4А + Я + 2Р

 

"|/я -|- 4 h

(2 Л.-f- я) *

 

нш ^ ( ^ - г я у о + Ло}/"

Н т ф^А) =

ОО.

 

 

h-*oo

 

Исследуя поведение

функции

в интервале 0

убыва­

заключаем, что при 0 < h < ° ° функция \f>i(/i) монотонно

ет, если р > —я/2, и имеет один максимум, если [5 < —л/2. Отсю­ да легко видеть, что при

4^о + ЛоУя/2 (р —2 —я /2 )> О уравнение (3) имеет один положительный корень. Система (1)

имеет

устойчивый предельный

цикл,

охватывающий цилиндр,

в верхнем фазовом полупространстве.

Яо, Чо и

определяемой

В

области пространства параметров

соотношениями

 

 

 

 

ф' (h) = 0 ,

фх (h) > О,

 

4^о + ЯоУя/2(Р —2 —я /2 )< О,

уравнение (3) имеет два положительных корня. Система (1) при этом имеет два предельных цикла в верхнем фазовом полупро­ странстве. При этом большему корню уравнения (3) соответству­ ет устойчивый, а меньшему— неустойчивый предельный цикл.

Отыскиваем далее предельные циклы, охватывающие ци­ линдр и расположенные в нижнем фазовом полупространстве

( j / S < 0

) .

 

 

 

Интегрируя

выражение

(2) и полагая

{УоУ/2 — h, будем

иметь

 

 

 

 

F, W) -

{ - 2лV. - К

[2 V \ УГ\

+ 26 +

+ h( ‘ + i

Ф

V[ -т( +/ 2h1f т щ+ ]

+

 

+ (l — — р) (2 Л +

я) arcsin

1 } =

у®

 

\

Г)я V

т >

2 yУ2h + я J }

Аналогично

предыдущему можно показать, что при

> О,

Яо > 0 система

(1 ) не может иметь более одного предельного цик­

ла, охватывающего цилиндр в нижнем фазовом полупростран­

стве. Если

__

Пш iMfc) - - 2 яу0 +

V~T(Р- 2 - Т - )> 0 ’

то система (1 ) в нижнем фазовом полупространстве имеет устой­ чивый предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр.

5 1)

УРАВНЕНИЕ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

385

Находим, наконец, предельные циклы, охватывающие состоя­ ние равновесия.

Тогда, применяя теорему 1 § 5 гл. 12, будем иметь

(hiY (*)

 

 

 

 

 

А

 

 

Здесь L\ и L2— части интегральной кривой системы

(1),_при

р = 0

проходящей через

точку

Р ' { — зт/2 , z/J) ( 0

< ; z/J <

у

л/2 ),

расположенные соответственно

в

интервалах

—л < ф ^

—зт/2 ,

—я/ 2

< ф *3 0 .

и Li имеют вид

 

 

 

Уравнения кривых L\

 

 

 

 

Г_ _ (ф + л)

= Ац

 

 

(Lx)

 

2

л

 

 

 

 

 

2 2

4 ^ л1 -

2

л

2

’

 

|«3| К

V/

О

(La)

(*)

Из выражения (4) следует, что при (1 —2р/л) (1 + 2р/л)> 0

уравнение F (z/J) = 0 не имеет действительных корней. Пусть 1 —2р/я < 0. Легко видеть, что

Фз (К) = 2i|>i (АД — 4лY0, ips (АД — 2я|>^ (АД, грз(АД -> 2 ^ (АД.

При значениях hi, удовлетворяющих условию (5), имеем (АД < 0, трз(— л/4) > 0, lim % (АД = — оо,

■фз (—"/4) = — 2\ Y л/ 2 (1 —ь2 р/л) ла/4 > 0 ,

lim ф3 (АД — Я0ГV л/2 л(Р — 2 — л/2).

7 ii-» 0

Отсюда находим, что при 1 — 2р/я < 0 , р — 2 — л/2 < 0 суще­ ствует единственный устойчивый предельный цикл, охватываю­ щий состояние равновесия. Аналогично можно показать, что при

1 —2 р /я > 0

система (1 )

не имеет циклов, охватывающих состоя­

ние равновесия.

 

 

Для выяснения качественной картины фазовых траекторий

заметим, что состояние

равновесия

0 \ (р^ол/2 , 0 ) будет устойчи­

вым фокусом при рАо( 1

—2 р/л) > 0

и неустойчивым фокусом при

цХо(1 -

2 р /я ) < 0 .

 

 

На

рис.

199 приведено разбиение пространства параметров

Ко, Хо и р на области, точкам которых соответствует определен­ ная качественная картина фазовых траекторий.

25 н . Н. Баутин, Е. А. Леонтович

386

МЕТОД ПОНТРЯГИНА В КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ

[ГЛ. 18

В области 1 :

 

 

 

 

4^о + Я0 Уя/2 (р —2

—я /2 )< О, 1 + 2 р /я < 0 ,

 

 

ifi(A) =

0, ■ф1(Л )>0,

 

 

система

(1 ) имеет два предельных цикла,

охватывающих ци-

 

 

лпндр в верхнем фазовом полу­

 

 

пространстве.

Верхний

цикл

 

 

устойчивый,

нижний

неустой­

 

 

чивый.

 

 

 

В области 2:

 

 

“Yo > 0,

4^о+ ^0У л /2 (р -2 -

 

— я /2 )< 0 ,

1 — 2 р/я > О,

 

 

Ф1 №) = 0 ,

ф! {h) < О,

 

система (1 ) не имеет предельных

 

циклов.

 

 

 

В области 3:

 

 

Ло >

0,

4^'о + A-oVя/2 ([} —2 —

 

—я /2 > 0, 1 —2 0 /я > О,

 

система (1 ) имеет один устойчи­

 

вый

цикл,

охватывающий ци­

 

линдр в верхнем фазовом полу­

В области 4:

пространстве.

 

 

 

 

 

Я0> 0,

4^о + ХоУя/2 (Р — 2 — я/2) > О,

1 -

2 р/я < 0 , р - 2

- я / 2

< О,

 

еистема (1 ) имеет один устойчивый предельный цикл, охваты­ вающий состояние равновесия, и один устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр в верхнем фазовом полупро-

етранстве.

 

___

 

В области 5:

 

Чо > О,

Я0 > 0 ,

4^0 + Я о У я /2 (Р — 2 — я / 2 ) < 0 ,

1 - 2 р / я < 0 ,

еистема (1 ) имеет один устойчивый предельный цикл, охваты­ вающий состояние равновесия.

В области 6:

 

Р - 2 - я / 2 > 0 ,

Х0> 0 , Чо> О,

- 4чо + ЯоУя/ 2

(р — 2 — я/2 )< 0 ;

еистема имеет один устойчивый предельный цикл в верхнем по­ лупространстве.

» 1 ] УРАВНЕНИЕ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ М А Ш И Н 387

В области 7:

Чо> 0, Яо> 0, - 4 f 0 + Я0 Ул/ 2 (р - 2 - я /2 ) > О,

система (1 ) имеет два устойчивых цикла, охватывающих ци­ линдр. Один из них расположен в нижнем, а другой в верхнем фазовом полупространстве.

Качественные картины фазовых траекторий для перечислен­ ных областей изображены на рис. 2 0 0 .

Рассмотрим качественные картины фазовых траекторий на бифуркационных поверхностях.

На поверхности (Л), определяемой соотношениями

ф1 (Л) = 0 ,

система имеет полуустойчивый и предельный цикл, охватываю­

щий цилиндр в верхнем фазовом полупространстве (рис. 2 0 1 , 1.2).

На поверхностях (В) и (С) соответственно (рис. 201, 1.3 и

201, 6 . 7 )

_ _

 

4f0 + Я0 Уя/ 2 (р - 2

- я /2 ) = 0 ,

4'Ко -

АоУя/ 2 ( 0 - 2

- я /2 ) = 0 ,

25*

388

МЕТОД ПОНТРЯГИНА В КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ

[ГЛ. 18

предельные циклы, схватывающие цилиндр соответственно в верхнем и нижнем фазовых полупространствах, будут «влипать» в сепаратрисы, идущие из седла в седло.

На плоскости (D) ([5 — 2 — я/2 = 0) предельный цикл, охва­ тывающий состояние равновесия 0 \ (р.'уоя/З, 0 ), «влипает» в сепа­ ратрису, идущую из седла в то же седло (рис. 201, 4.6). На по­ верхности (Е ) ( 1 — 2 ji/n = 0 ) в точке 0 \ (р/уоя/2 , 0 ) система имеет состояние равновесия типа центра (рисунок не приводится).

На рис. 201 изображены качественные картины фазовых тра­ екторий, соответствующих бифуркационным значениям парамет­ ров; указываются номера тех областей, на границе между кото­ рыми система (1 ) имеет указанную качественную картину фазо­ вых траекторий.

§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации

ха р а к т е р и с т и к и .

1.Рассматривается система на цилиндре

dy

п /„л

У

АВТОПОДСТРОЙКА

389

при аппроксимации F(<p) кусочно-постоянной функцией

| —

1

при

— п < Ф < 0 ,

(+

1

при

0 < ф < л .

По физическому смыслу параметров: а > 0,

р > 0, ^ > 0. Систе­

ма не определена при у = О, р = 0 .

параметр

р, полагая а = рао,

Введем малый положительный

ф = pYoi и перейдем к системе

 

 

 

dy/dt = — F (ф) +

р (Vo — 2а0?>у/уг + Р2),

dxp/dt = у.

 

 

 

(1)

 

 

 

 

При р = 0 система имеет интеграл

Будем искать предельные циклы, охватывающие цилиндр в верхнем фазовом полупространстве. Замкнутые кривые семейства Н(Ч>1У)= h ПРИ 0 < h < ° ° охватывают фазовый цилиндр. Вблизи интегральной кривой Ch0 консервативной системы (при р = 0 )

имеется предельный цикл системы (1 ), если ho будет корнем уравнения

Интегральная кривая Сп0, проходящая через точку М (—п, уо), состоит из двух кусков С- и С+:

— л г ^ ф ^ О ,

(С-)

0 < ф < я .

( С + )

Вычисляя интеграл, получим

ij)1(fe) = 2ny0 — 4а0Р2р -

(выражение в квадратных скобках всегда положительно, так как

f ( x ) ^ х —arctgа; > 0 , если z > 0 , и

f ( x l)> f(x0), если

х 1> х 0),

4 V 2ла В _________ р — 2 У ft (я ф-ft)________

(3 )

оР (р 2 + 2 h)(р2 +

2 л + 2 h)( l / J T + f t +

УК)'

 

26 н . Н. Баутин, Е. А. Леонтович

390 МЕТОД ПОНТРЯГИНА В КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 18

Из (2)

и (3)

находим

 

 

 

 

 

 

 

(0 ) =

2 л Vo — 4сс0р3

 

— arctg

< 2 лу0,

 

г];1

(оо) =

lim ^(А ) = 2 лу0,

 

 

 

 

(4)

 

 

f t - » OO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 V

2 l l a 0 P

 

 

 

 

 

 

4»i(0) =

— р2 + 2я <

0,

 

 

 

 

 

if! (°o) =

lim it>!(A) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

h-*oo

 

 

 

 

 

 

 

Производная ipi (A) обращается в нуль при условии

 

 

 

 

р2 = 2 Щ я + h).

 

 

 

 

Функция ifi (Л) имеет единственный минимум

 

 

 

 

 

 

 

-

ф

( ^ ) ] -

в ,

(5)

где

 

Ф (z) = z1 / 4

— arctg zl/ 4

> 0,

 

 

 

 

 

 

и единственную

точку

перегиба,

соответствующую

обращению

в нуль второй производной:

 

 

 

 

 

 

“ф1 (А)------4ос0Р

 

Р2 — 2л — 2k

 

 

Р2 —2h

 

У 2я +

2h (Р2 +

2я +

2ft)2

 

У 2h (Р2 +

2h f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

- 4 а 0Р

(А) - £

3 (А)].

Функции E l И £ 2, как легко проверить, состоят из двух моно­ тонных ветвей (имеют единственный минимум) и получаются одна из другой сдвигом на 2л по оси А. Их точка пе­ ресечения (очевидно, един­ ственная) соответствует кор­

ню уравнения ifi (A) = 0 . График функции ф] (А)

имеет вид, представленный на рис. 2 0 2 .

Из (5) очевидно, что, распоряжаясь величиной по­ ложительного параметра ао, можно реализовать случаи,

когда кривая 1 |д(А) целиком расположена выше оси А, когда она касается оси А и когда пересекает ось А.

Касанию (i|Ji,min(Ao) = 0) соответствует рождение полуустойчивого предельного цикла из сгущения траекторий. Бифуркаци­ онная кривая (поверхность) для этого случая дается уравнения-

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности