- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
Вероятностный смысл математического ожидания
Пусть проведено nиспытаний, в которых случайная величинаХприняла раз значение , раз значение , … , раз – , Тогда сумма всех значений, принятыхХравна . Найдем среднее арифметическоевсех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытанийn:
где - относительная частота (частость).
Допустим, что число испытаний достаточно велико, тогда и
Таким образом, математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства м(х)
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. М(С) = С, С = const.
С имеет одно значение, равноеС, с вероятностьюp = 1,М(С)=С .1 = С.
Определим произведение постоянной СнаХкак дискретную случайную величину, возможные значения которой равны произведениямСна возможные значенияХ. Вероятностьравна вероятностямХ. Например, еслиимеет вероятность, тоимеет также вероятность.
2. М(СХ) = С . М(Х) – константу можно выносить за знак математического ожидания. Пусть случайная дискретная величинаX задана законом распределения:
-
…
…
Тогда имеет закон распределения:
-
…
…
Случайные величины XиYназываютнезависимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая.
Произведение – случайная величинаXY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значенияХна каждое возможное значениеY. ВероятностиXY равны произведению соответствующих вероятностейXиY.
3. , гдеX,Y– независимые дискретные случайные величины.
Пусть законы распределения вероятностей этих величин:
Составим значения, которые могут принимать Закон распределения:
4. M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Возможные значения случайной величины X+Yравна сумме возможных значенийXиY, а вероятностьX+Yравна произведению вероятностей слагаемых.
Теорема.М(Х) числа появлений событийАвnнезависимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытанииp.
Иначе, М(Х) биноминального распределения равно.
22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
Легко указать случайные величины, имеющие одинаковые значения математических ожиданий, но различные возможные значения, например:
-
–0,1
0,1
–10
10
0,5
0,5
0,5
0,5
Химеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, аY– далекие отМ(Y), таким образом,М(Х) полностью не характеризуетХ. Надо охарактеризовать отклонение случайной величины отM(X): отклонение – это величинаX – M(X).
Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю.
Действительно, , поэтому для оценки отклонения берутквадратотклонения.
Дисперсией (рассеянием)дискретных случайных величин называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:.
Получаем:
Пример.Найтислучайной величины:
-
1
2
5
0,3
0,5
0,2
M(X) = 1.0,3 + 2.0,5 + 5.0,2 = 2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения:= (1 – 2,3)2= 1,69;= (2 – 2,3)2= 0,09;
Напишем закон распределения квадрата отклонения:
-
1,69
0,09
7,29
0,3
0,5
0,2
Тогда (по определению): = 1,69.0,3 + 0,09.0,5 + 7,29.0,2 = 2,01.
Удобнее: .
Доказательство:
.
Вычислим дисперсию в предыдущем примере по доказанной формуле. Составим закон распределения :
-
1
4
25
0,3
0,5
0,2
Тогда = 1.0,3 + 4.0,5 + 25.0,2 = 7,3. Найдем: