![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения, однако можно использовать и плотностью распределения.
Плотностью распределениявероятностей
непрерывной случайной величиныХназывают производную от функции
распределения:
Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.
Теорема.Вероятность того, что
непрерывная случайная величинаХпримет значение, принадлежащее интервалу
(a,b),
равно,
т.е.Р(a<Х<b) =
.
Доказательство:
Если известна функция распределения,
то Р(a
X
b) = F(b)
– F(a).
По формуле Ньютона-Лейбница:F(b)
– F(a)
=
=
,а Р(a
X
b) = Р(a
< X < b).
Пример.Дана плотность вероятности:
.
Найти вероятность того, что в результате испытания Хпримет значение(0,5; 1).
Р(0,5 < X <
1) =
=0,75.
Функцию распределения можно найти по
плотности распределения: F(x)=.Действительно,F(x)
= P(X<x)
илиF(x)
= P(–< X< x),
тогда
.
По известной функции распределения
можно найти плотность:
.
Пример. НайтиF(x),
если.
Если x
a,f(x)
= 0, то,
если
:
.Если
,
то
.
Свойства f(X)
1 . f(x)0, т.к.
F(x) – неубывающая функция, поэтому,0.
2.
=1.
Этот интеграл выражает вероятность
события, состоящего в том, что случайная
величина примет значение
(–;)
– достоверное событие, поэтомур =
1.
Вероятностный смысл
,
тогда:
– вероятность того, что случайная
величина примет значение
.
22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Распространим определение числовых характеристик дискретных случайных величин на величины непрерывные.
Математическое ожидание М(x).
ПустьХзадана плотностью распределенияf(x).
Допустим, что все возможные значенияХ
[a,b].
Разобьем его наnотрезкови выберем на каждом произвольную точку
Тогда
.
Переходя к пределу, получим:
.
Если возможные значения случайной
величины принадлежатR,
то
,
предполагаем, что этот интеграл сходится.
Дисперсия дискретной случайной величины:
Поступим аналогично:
.
ЕслиХ (–;),
то
.
Более удобная формула:
.
Аналогично:
– среднее квадратическое отклонение
непрерывной случайной величины. СвойстваМ(X) иD(X)
сохраняются для непрерывных случайных
величин.
22.10. Закон равномерного распределения
При решении практических задач приходиться сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.
Рассмотрим равномерное распределение. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайных величин, плотность распределения постоянная.
Пример. Шкала измерительного прибора. Ошибка при округлении отсчета – случайная величина Х, которая можно принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми значениями, т.е.Химеет равномерное распределение.
Найдем f(x)
считая, что все возможные значения
случайной величины заключены в интервале
(a,b).Хпринимает все значения(a,b),
поэтомуf(x)
= 0 приx < aиx > b.
Значениеf =const= с найдем из условия нормировки:=1,
,
.
,
функция распределения:
.