- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
22.11 Нормальное распределение
Нормальным распределением называется распределение вероятностей непрерывных случайных величин, которые описываются плотностью распределения . Нормальное распределения определяются параметрамиаи. Покажем, чтоa=M(X) ,.
. Введем: ,x = Z+a, dx = dZ, Первое слагаемое равно нулю, т.к. функциянечетная, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат,(это – интеграл Пуассона). Таким образом,M(X) = a.
. Пустьтогда
,
т
f(x) =1
=3
0
a x
График нормального распределения.
Вероятность попадания в заданный интервал
. Пусть .
, гдефункция Лапласа (табулирована).
Вычисление вероятности заданного отклонения
Часто требуется найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Хот математического ожидания по модулю меньше данного > 0.
P( | x – a | < ) = P( a – < x < a + ) = –=P( | x – a | <) = 2. Еслиa = 0, тоР( | x | < ) = 2.
Правило 3хсигм: если = 3, то.
Пример. Случайная величинаХраспределена нормально сМ(x) = 20, (x) = 10. Найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величиныХот математического ожидания по модулю будет меньше 3.
P(| x – 20 | < 3 ) = 2.
22.12. Показательное распределение
Показательным распределением называют распределение вероятностей случайных величин Х, которое описывается плотностью
, где > 0 –const.
Показательное распределение описывается одним параметром , в этом его преимущество.
Функция распределения:
.
Вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной случайной величиныХ, распределенной по показательному закону:(– по таблице).
Математическое ожидание:
.
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение: .
, что позволяет определить, является ли закон распределения показательным.
Показательный закон надежности
Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с функцией распределения , тогда функция надежности:.
Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , где– интенсивность отказов.
Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t.
Свойство.
Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью tне зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времениt. Этим свойством обладаюттолькопоказательные распределения.
Функция надежности
Пусть элемент – это некоторое устройство. Пусть элемент начал работать в момент времени tо=0, а по истечении времениtпроисходит отказ. Обозначим черезTнепрерывную случайную величину – длительность безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время меньшеt, то, следовательно, за время длительностьюtнаступит отказ. Функция распределенияF(t) = P(T<t) определяет вероятность отказа за времяt. Вероятность безотказной работы, т.е. противоположного события (T> t), равна:R(t) = P(T>t) = 1 – F(t).
Функция надежности R(t) – функция, определяющая вероятность безотказной работы элемента за времяt:R(t) = P(T>t).
Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному законупри. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.
По условию, Тогда– искомая вероятность безотказной работы.