- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу: или в полуполосу
Функция распределения считается известной, она определяет вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной. Тогда вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна:- это разность вероятностей попадания случайной точки в квадрант с вершинойи вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной. Аналогично,. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.
Рассмотрим вероятность попадания в прямоугольник ABCD, заданий уравнениями сторон:. Эта вероятность равна разности вероятности попадания случайной точки в полуполосуАВи вероятность попадания случайной точки в полуполосуCD:.
Y
X
Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
Непрерывную двумерную случайную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения всюду непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.
Двумерная плотность распределения вероятностей – вторая смешанная частная производная от функции :.
Геометрически – это поверхность (поверхность распределения). Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения:
Вероятностный смысл f(x, y)
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD: . Применим теорему Лагранжа:, где. Отсюда– это отношение вероятности попадания в квадрат к его площади.
Перейдем к пределу .
Свойства :
f(x,y)³0 (F(x,y), поскольку– неубывающая функция своих аргументов.
.
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область
– это вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонамии. Разобьем областьDнаnэлементарных областей прямыми, параллельнымиОуиОхна расстоянииDхиDу. Вероятность попадания случайной точки в областьDравна сумме вероятностей попадания точки в элементарные области:. Переходя к пределу, получим.
Раздел IX. Элементы математической статистики
Глава 23. Статическая оценка параметров распределения
23.1. Задачи математической статистики. Вариационный ряд
Первая задача статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.
Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:
а) оценка неизвестной вероятности события, известной функции распределения, параметров распределения, вид которого известен и т.д.
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.
Для исследования какого-либо признака из генеральной совокупности (всех объектов) извлекают выборку – случайно отображенные объекты.
Вариационный ряд
Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы:
5,5,5,5 6,6 7,7,7 8
4 раза 2 раза 3 раза 1 раз.
При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называетсячастотой варианты. Полученную таблицу называютвариационным рядом.
xi 5 6 7 8 ni 4 2 3 1
xi x1 x2 … xk yi n1 n2 … nk
В общем виде:
– объем выборки.
Графическое изображение вариационного ряда – полигон.
Для непрерывного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной hи находят для каждого частичного интервалаni– сумму частот вариант, попавших вi-й интервал.
Гистограммой относительных частотназывают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиноюh, а высоты равны, где– относительная частота.