- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равной нулю. D(C) = 0.
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
Если |C| > 1, то величинаСХимеет большие (по модулю) значения, поэтомуD(CX)>D(X).
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X+Y) = D(X) + D(Y). Докажем:
Следствие: D(X+C) = D(X) + D(C) = D(X),С =const.
4. D(X – Y) = D(X) + D(Y). Докажем:D(X–Y) = D(X) + D(–Y) = D(X) + (–1)2 D(X) = =D(X) + D(Y).
Теорема.Дисперсия числа появлений событийАвnнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событияАp = const, равнаnpq = D(X), где .
Иначе. Дисперсия биноминального распределения равна D(X)= npq.
22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х– это корень квадратный из дисперсии:.
Размерность дисперсии равна квадрату размерности Х, тогда как размерность(Х)равна размерностиХ. Во многих случаях это оказывается удобнее.
Пусть – независимые случайные величины, тогда. По свойству дисперсии:, тогда
.
Начальные и центральные теоретические моменты
Начальным моментом порядка kслучайной величиныХназывают математическое ожидание величины:Например,,,,…
.
Центральным моментом порядка kназывается математическое ожидание величины:, например,,и т.д.
Мода и медиана.Модойслучайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для дискретных величин) или то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Если имеется более одного максимума, то распределение называютполимодальным.
Медианойназывают такое значение случайной величины (обычно – непрерывной), для которогоГеометрически – абсцисса точки, в которой площадь делится пополам.
22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех ее возможных значений и их вероятностей – законом распределения. Но его нельзя использовать для задания непрерывных случайных величин. Необходим общий способ задания случайных величин - это функция распределения вероятностей случайных величин.
Пусть x– действительное число. Вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, меньшеx, т.е.Р(X<x) обозначим черезF(x). Еслиxизменяется, то изменяется иF(x), т.е. F(x) – функциях.
Функцией распределенияназывают функциюF(x), определяющую вероятность того, что случайная величинаХв результате испытания примет значение, меньшеx, т.е.F(x)=P(X<x). ГеометрическиF(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается точкой левее точких.
Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Свойства f(X)
Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0 F(x) 1 – F(x) вероятность, 0 P(A)1 .
F(x) неубывающая функция, т.е.F() F(), если > .
Доказательство:
Пусть > . Событие, состоящее в том, чтоХпримет значение меньше, можно разделить на 2 несовместных события:
Хпримет значение, меньше, с вероятностьюР(<);
Хпримет значение <с вероятностьюP( <).
По теореме сложения: Р(<) = Р(<x1) + P( <),
отсюда Р(<) – Р(<) = P( <x2) илиF() – F() = P(<), но.
Следствие 1. Вероятность того, чторавна приращениюF(x) на этом интервале:Р()= F(b) – F(a) (=b, x1=a).
Следствие 2.Вероятность того, что случайная величинаХпримет одно определенное значение равна 0.
Р(a Х < b) = Р(a < Х < b) = Р(a < x b) = Р(a x b).
3. Если возможные значения случайной величины (a,b), то: 1)F(x) = 0 приx a;
2) F(x) = 1 приx >b.
Докажем. Если a, то события X<x невозможны. Пусть b, тогдаX<– достоверное событие.
Следствие. Если значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то .