![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Этот вопрос возникает, если требуется сравнить точности приборов, методов измерений и т.д.
Пусть ХиY–
нормально распределенные генеральные
совокупности. По двум выборкам объемамиn1иn2найдены исправленные выборочные
дисперсиии
.
При уровне значимостиaпроверяем нулевую гипотезу
,
при конкурирующей гипотезе
.
Исправленные выборочные дисперсии
обычно различные. Требуется установить:
различие значимо (существенно) или
незначимо, т.е. объясняется случайными
причинами. Выбираем F– статистику, распределенную по закону
Фишера–Снедекора. Наблюдаемое значение:(отношение большой исправленной дисперсии
к меньшей), число степеней свободы:
(где
- объем выборки с большей исправленной
дисперсией),
(где
- объем выборки с меньшей исправленной
дисперсией). По таблице критических
точек распределения Фишера–Снедекора
для уровня значимостиa,
числа степеней свободы
определяем
.
Если
,
то гипотеза принимается, если
,
то гипотеза отвергается.
Если Н1 :,
то значение
определяется для уровня значимости
, поскольку необходимо построить
двухстороннюю критическую область
и
.
Иногда требуется проверить нулевую
гипотезу
– определенное заданное значение
генеральной дисперсии. Для проверки
используют статистику
– исправленная выборочная дисперсия.
Определяют
.
а) Если конкурирующая гипотеза имеет
вид
то
для определения
выбираем правостороннюю критическую
область и по таблице распределения
Пирсона (
)
определяем
(на
уровне значимости
для числа степеней свободы
).
Если
,
то гипотезу
принимаем, если
– отвергаем гипотезу
.
б) если
то
строим двухстороннюю область, определяем
левую
и правую
критические точки. Если
то гипотеза
принимается, если
или
,
то гипотеза
отвергается.
в) Если
то строим левостороннюю критическую
область, находим
.
Если
,
то принимаем гипотезу
,
если
,
то
отвергается.
Пример. По 2 выборкам объемамиn1= 10 иn2 = 18 найдены
исправленные выборочные дисперсии.
При уровне значимости
проверить гипотезу:
.
Находим
.
Критическая область – двухсторонняя.
,
поскольку 3 > 2,5, то гипотеза отвергается
(дисперсии различаются значимо).
24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
Пусть XиY– нормально распределенные генеральные
совокупности, генеральные дисперсии
которых известны и равнысоответственно. По данным независимых
выборок с объемамиnиm, извлеченных из
генеральных совокупностей, найдены
выборочные средние
.
Для проверки нулевой гипотезы
используем
случайную величину
,
(
),
которая имеет нормированный нормальный
закон распределения (N(0;1)).
По данным выборок определяем
.
а) Если конкурирующая гипотеза имеет
вид
,
тоzкрнаходим
из равенства
– функция Лапласа. Если
,
то гипотезу
принимаем; если
– то принимаем конкурирующую гипотезу
.
б) Если конкурирующая гипотеза
,
тоzкр определяем
из равенства
Далее – аналогично: если
,
то
принимаем; если
– то принимаем
.
Если требуется проверить гипотезу
,
то наблюдаемое значение определяют по
формуле
.zкр определяют
из равенства
и
при
.
Далее – аналогично.
Если
неизвестно, то
(
– исправленное выборочное
среднеквадратическое отклонение),
определяют по распределению Стьюдента
сk=n– 1 числом степеней свободы на уровне
значимости
(двухсторонняя область) и 2
(правосторонняя
или левосторонняя критическая область)
(верх-низ у Гмурмана). Если
–H0 принимаем,
иначе – отвергаем.