![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
21.9. Формула Байеса (Бейеса)
Пусть имеется полная группа несовместных
гипотез Н,Н
,
…,Н
,
вероятности которыхP(H
известны до опыта. Производится опыт,
в результате которого зарегистрировано
событиеА. Известно, что этому событию
наши гипотезы приписывали определенные
вероятностиP
.
Какими стали вероятности этих гипотез
после опыта? Поскольку событиеАпроизошло, следует отбросить гипотезы,
отрицающие появлениеА. По новой
информации надо переоценить вероятности
гипотез, т.е. определить
.
По теореме умножения вероятностей:
.
(i= 1,…,n).
Это – формула Байеса, где
–
вероятность появления событияА.
Пример.Вероятность поражения цели при одном выстреле для первого орудия – 0,2 , для второго – 0,1. Каждое орудие произвело по одному выстрелу, одно попало в цель. Какова вероятность, что удачный выстрел совершило первое орудие?
Событие А– попадание в цель. ГипотезаН- оба орудия попали в цель;Н2– 1 не попало, 2 попало (НП);Н3– 1 попало, 2 не попало (ПН);Н4 –
оба не попали (НН). Поскольку события
независимые:
(
.
,
т.е. гипотезыН
иН4– отпали. По формуле Байеса:
– вероятность того, что попало второе
орудие;
– вероятность того, что попало первое
орудие.
21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
Событие А называетсянезависимымв данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исходов других испытаний. Тогда считаем, что вероятность появления событияАв каждом испытании постоянна и равнар.
Определим вероятность
того, что приnнезависимых испытаниях событиеА,
имеющее одну и ту же вероятностьрдля каждого отдельного испытания,
появится ровноk раз, безразлично в какой последовательности.
Для каждого испытания имеется два
исхода:Аи
.
Значит, если событиеАвстречаетсяkраз, то
– (n–k)
раз. Вероятность реализации такой
благоприятной серии:
Все благоприятные серии получаются в
результате выбора различныхkномеров из общего числаn,
т.е.
.
Напомним, что число сочетаний
.
Тогда по теореме сложения для несовместных
событий:
Пример. Найти вероятность того, что при 10 кратном бросании монеты герб выпадет 5 раз.
,
,
.
При решении задач удобно использовать следующее.
Вероятность того, что в nиспытаниях событие наступит:
менее k
раз:,не менее k
раз:
,
более k раз:,не более k
раз:
.
21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
Если число испытаний nвелико (n> 20), то
вычисления по формуле Бернулли громоздкие.
Например,.
Лаплас получил приближенную формулу:
,
где
.
Функция
табулированная,
т.е. имеется таблица значений функции.
Очевидно, что
– функция четная.
Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстрелер= 0,2. Найти вероятность того, что из 100 выстрелов будет ровно 20 попаданий.
р= 0,2,q= 1 – 0,2 = 0,8
,n= 100,k= 20,
.
(таблица 1), тогда
Вероятность малая, поскольку ровно 20
раз. Почти достоверное событие - около
20 раз.
Формула Пуассона
Если р = const, но близка
к нулю (или)
, аnдостаточно велико,
причем
,
то вероятность того, что вn
испытаниях событиеАнаступитkраз:
.
Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
n= 1000,k= 5,=n .p
= 4. По таблице значений функции
Пуассона:,
по таблице Лапласа вероятность равна
0,1763. Точное значение вероятности равно
0,1562.